Ciąg arytmetyczny

Ciąg ARYTMETYCZNY
Ciąg liczbowy nazywamy cięgiem arytmetycznym, gdy różnica pomiędzy dowolnym wyrazem ciągu,
a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała dla danego ciągu (ozn. ją przez r).
Inaczej mówiąc ciąg począwszy od drugiego wyrazu, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej
liczby ‫ݎ‬, zwanej różnicą, czyli ‫ܖ܉‬ା૚ = ‫ ܖ܉‬+ ‫ܚ‬, np.: ‫܉‬૜ = ‫܉‬૛ + ‫ܚ‬, ‫ܴ ∈ ݎ‬, ࢔ ∈ ࡺା
Ciąg arytmetyczny ሺa୬ ሻ ma co najmniej trzy wyrazy.
Ciąg arytmetyczny jednoznacznie wyznaczają jego pierwszy wyraz i różnica ሺaଵ , rሻ.
Dla ࢘ ∈ ࡾ, ࢔ ∈ ࡺା
‫ܖ܉ = ܚ‬ା૚ − ‫ܖ܉‬
‫܉ = ܚ‬૛ − ‫܉‬૚
– różnica między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio go
poprzedzającym (musi być stała)
‫܉ = ܚ‬૜ − ‫܉‬૛ itd. w danym ciągu ‫ ݎ‬musi być konkretną liczbą
lub
‫܉ = ܖ܉‬૚ + ሺ‫ ܖ‬− ૚ሻ ∙ ‫ܚ‬
– wzór na n-ty wyraz ciągu
Zatem
podstawiamy do a୬ = aଵ + ሺn − 1ሻ ∙ r i otrzymujemy aଶ = aଵ + ሺ2 − 1ሻ ∙ r.
aଶ = aଵ + ‫ݎ‬,
aଷ = aଶ + r = aଵ + 2‫ݎ‬,
aସ = aଷ + r = aଶ + 2‫ = ݎ‬aଵ + 3‫ݎ‬,
...itd
‫ = ܖ܁‬ቀ
‫܉‬૚ ା‫ܖ܉‬
૛
lub ‫ = ܖ܁‬ቀ
ቁ∙‫ܖ‬
– wzór na sumę n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego
‫܉‬૚ ା‫܉‬૚ ାሺ‫ିܖ‬૚ሻ∙‫ܚ‬
૛
ቁ∙‫ =ܖ‬ቀ
ሺ૛‫܉‬૚ ା ሺ‫ିܖ‬૚ሻ∙‫ ܚ‬ሻ
૛
ቁ∙‫ܖ‬
Zatem
S୬ = ܽଵ + ܽଶ + ܽଷ + ⋯ + ܽ௡
Zatem
Sଵ = ܽଵ
Sଶ = ܽଵ + ܽଶ ,
z tego wzoru możemy wyznaczyć np.: ܽଶ (czyli drugi wyraz):
Sଶ − ܽଵ = ܽଶ ,
lub Sଶ − ܵଵ = ܽଶ ,
Sଷ = ܽଵ + ܽଶ + ܽଷ , z tego wzoru można wyznaczyć np.: ܽଷ (czyli trzeci wyraz):
Sଷ = ܽଵ + ܽଶ + ܽଷ
Sଷ = ܵଶ + ܽଷ
lub Sଷ − ܵଶ = ܽଷ ,
…itd.
Własności ciągu arytmetycznego:
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego – oprócz pierwszego i ostatniego, jeśli ciąg jest skończony – jest średnia
arytmetyczną wyrazów poprzedniego i następnego, czyli:
ࢇ࢔ =
ࢇ࢔ష૚ ାࢇ࢔శ૚
np.: ܽଷ =
૛
, dla ࢔ ≥ ૛.
௔మ ା௔ర
ଶ
,
(Pamiętajmy, że własność ta nie dotyczy pierwszego wyrazu bo nie ma on wyrazu poprzedniego – nie ma
takiego wyrazu, jak ܽ଴ , jak również ostatniego wyrazu bo nie ma on wyrazu następnego).
W ciągu arytmetycznym skończonym suma dwóch wyrazów jednakowo odległych od pierwszego
i ostatniego wyrazu tego ciągu jest równa sumie wyrazu pierwszego i wyrazu ostatniego.
Dany jest ciąg skończony 2,4, ૟, 8,10,12, ૚૝, 16,18.
Wówczas suma pierwszego i ostatniego wyrazu ciągu wynosi 2 + 18 = 20.
Weźmy sobie dwa wyrazy równo oddalone od 2 i 18 (czyli od pierwszego i ostatniego wyrazu).
np.: 6 i 14 widzimy, że ich suma również wynosi 20.