CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2ystr.9
Transkrypt
CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2ystr.9
CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2y str. 9 10 POTĘGI 1 Potęga o wykładniku naturalnym Spróbuj sobie wyobrazić ogromny arkusz cieniutkiej bibułki o grubości 0,01 mm. Arkusz ten składamy na pół, potem jeszcze raz na pół i jeszcze raz na pół itd. Po pierwszym złożeniu bibułka składałaby się z dwóch warstw i jej grubość wynosiłaby: 2 · 0,01 mm Po drugim złożeniu grubość otrzymanej bibułki byłaby 2 razy większa od poprzedniej: 2 · 2 · 0,01 mm Po trzecim złożeniu grubość bibułki byłaby znowu 2 razy większa i wynosiłaby: 2 · 2 · 2 · 0,01 mm Grubość bibułki po dziesiątym złożeniu to: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 0,01 mm W powyższych wyrażeniach występują iloczyny takich samych czynników. Takie iloczyny można zapisać krócej w postaci potęgi. 2 · 2 · 2 = 23 2 · 2 = 22 czytamy: dwa do potęgi drugiej 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 210 czytamy: dwa do potęgi trzeciej czytamy: dwa do potęgi dziesiątej ĆWICZENIE A. Zapisz za pomocą potęgi liczby 2, jaką grubość miałaby bibułka, gdybyśmy złożyli ją 23 razy, a jaką — gdybyśmy ją złożyli 50 razy. Przypuśćmy, że możliwe byłoby złożenie bibułki 50 razy. Jak myślisz, z czym można byłoby porównać grubość otrzymanej w ten sposób bibułki — z długością ołówka, ze wzrostem człowieka, a może z odległością z Gdańska do Warszawy? Okazuje się, że złożona bibułka miałaby grubość ponad 25 razy większą niż odległość z Ziemi do Księżyca! 1 4 29 = 512 210 = 1024 211 = 2048 12 2 = 4096 1 2 = 16 2 = 32 1 5 1 6 1 1 2 = 64 2 = 128 1 7 W języku polskim słowo potęga jest równoznaczne z wielkością, siłą, mocą. Nie bez powodu wielokrotne mnożenie przez siebie takiego samego czynnika zostało nazwane potęgowaniem. 1 Obliczając kolejne potęgi liczby 2, bardzo szybko otrzymujemy ogromne liczby. Zauważ, że obliczając kolejne 1 potęgi ułamka 2 , otrzymujemy coraz mniejsze liczby. CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2y str. 10 POTĘGA O WYKŁADNIKU NATURALNYM Gdy n jest liczbą naturalną większą od 1, to iloczyn n jednakowych czynników równych a oznaczamy an i nazywamy potęgą liczby a o wykładniku n. a n = a ·a ·a · . . . ·a n czynników Przyjmujemy ponadto, że: a1 = a a 0 = 1 dla a = 0 oraz Uwaga. Wartość potęgi 00 nie jest określona, tzn. zapis 00 nie oznacza żadnej liczby. Przykłady 0,34 = 0,3 · 0,3 · 0,3 · 0,3 = 0,0081 (−2)1 = −2 1 7 9 (−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 24 = 16 1 3 −1 2 3 3 3 27 3 = − 2 · − 2 · − 2 = − 8 = −3 8 7 = 9 (−1,37)0 = 1 Gdy potęgujemy liczby poprzedzone znakiem minus, to potęgi te możemy zapisać w inny sposób. Na przykład: 6 6 1 1 −2 = 2 7 7 1 1 −2 = − 2 (−3)4 = 34 (−3)5 = −35 (−0,1)6 = 0,16 (−x)4 = x4 (−0,1)7 = −0,17 (−x)5 = −x5 Zwróć uwagę na to, że sposób, w jaki przekształcono te potęgi, zależy od tego, czy wykładnik jest parzysty, czy nieparzysty. ĆWICZENIE B. Sprawdź, że zachodzą powyższe równości. Zadania 1. Oblicz podane potęgi: a) 53 25 b) 06 1 3 17 (−1)4 c) (−3)4 (−4)3 5 4 1 3 −5 2 0,26 CYAN MAGENTA YELLOW BLACK d) (−1,1)2 (−10)0 (−0,03)3 e) −34 23 f) 3 3 1 14 1 3 −2 5 1,32 − (−1,5)3 −1,12 (−3)2 2 2 32 −53 (−3)2 MG2y str. 11 4 2 − −3 11 12 POTĘGI 2. Oblicz: 51 50 (−5)1 15 05 (−1)1 (−5)0 01 (−1)5 (−1)0 10 3. Oblicz: a) 105 b) 1002 107 1012 1003 c) 0,13 10003 0,15 d) 0,012 0,18 0,014 0,0013 4. Zapisz w postaci potęgi liczby 10: a) tysiąc, b) sto tysięcy, c) milion, d) miliard. 5. Oblicz sumę cyfr liczby, która jest wynikiem odejmowania 10101 − 3. 6. Czy podana liczba jest dodatnia, czy ujemna? a) (−17)5 c) (−0,9)7 e) (−8,6)20 g) −1102 i) −(−12)8 b) (−14)6 d) (−26)19 f) (−1)100 h) −1710 j) −(−3,5)11 7. Ustal bez wykonywania obliczeń, czy wynik to liczba dodatnia, czy ujemna. 5 3 7 4 a) − 21 · − 18 b) −184 · (−27)5 (−2,5)0 c) − (−11)4 · (−5)7 −136 · (−12)4 8. Oto fragment zeszytu pewnego ucznia. Które obliczenia uczeń ten wykonał błędnie? 9. Jaki znak: < , = czy > należy wpisać w miejsce ♦ ? a) 2,54 ♦ 2,5 7 3 3 b) 5 ♦ 5 9 5 5 c) 4 ♦ 4 3/3 5 d) (0,1)8 ♦ 0,1 CYAN MAGENTA YELLOW BLACK e) (−4)5 ♦ −4 i) 8,520 ♦ 8,530 f) (−1,2)6 ♦ −1,2 4 1 1 g) − 3 ♦ −3 9 5 5 h) − 7 ♦ −7 j) (−6)9 ♦ (−6)7 7 8 1 1 k) 3 ♦ 3 l) (−0,2)7 ♦ (−0,2)3 MG2y str. 12 POTĘGA O WYKŁADNIKU NATURALNYM 10. Ustal, dla jakich liczb naturalnych n: a) liczba 3n jest większa od 100 i mniejsza od 1000, b) liczba n3 jest większa od 100 i mniejsza od 1000. 11. Zapisz podane iloczyny i ilorazy w jak najprostszej postaci. a) (−x)4 · (−2)2 b) −a 2 3 c) (−10)2 · (−a)3 d) (−x)7 (−3)2 e) 3 1 − 2 · (−b)4 f) (−5)3 25 · (−m)5 12. Wiedząc, że 210 = 1024, oblicz podane potęgi. (−2)10 −210 10 1 −2 ożoną można naturalną zł Każdą liczbę czynu potęg ilo i w postac że przedstawić y wówczas, ych. Mówim pierwliczb pierwsz ki ni yn cz liczbę na rozkładamy jak znaleźć pokazujemy, j że ni sze. Po erwsze. pi y na czynniki 3 rozkład liczb ·7 = 2 ·7 ·14 = 2 · 2 ·2 ·2 2 = 8 ·2 2 56 = 360 2 180 2 → 2 : 360 2 180 : 2 → 90 3 90 : 2 → 45 3 15 → 45 : 3 5 15 : 3 → 5 1 → 5 : 5 2 ·5 3 360 = 2 · 3 −0,510 0−1−0−1−2 0−0−0−2−1 5−2−0−1 0−0−0−0−0−0−1−1 CYAN MAGENTA YELLOW BLACK 29 3087, 5746 i 41 503 na czynniki pierwsze, zapisz każdą z tych liczb w postaci iloczynu potęg liczb pierwszych. 3087 1029 343 49 7 1 3 3 7 7 7 5746 2873 221 17 1 2 13 13 17 41503 5929 847 121 11 1 7 7 7 11 11 b) Każdą z podanych poniżej liczb przedstaw w postaci iloczynu potęg liczb pierwszych. 14. a) W tabeli obok zaszyfro- b) Rozszyfruj liczby: 211 13. a) Korzystając z rozkładów liczb 648 wano liczby według pewnej reguły. Zaszyfruj (zgodnie z tą regułą) liczby: 10, 45, 16, 121 oraz twój numer z dziennika lekcyjnego. (−0,5)10 2800 10125 1936 Iloczyn potęg Liczba kolejnych Szyfr liczb pierwszych 2940 22 · 31 · 51 · 72 200 2 ·3 ·5 7 2 ·3 ·5 ·7 1 20 2 1 2 81 2 ·3 3 0 0 0 0 2−1−1−2 2 0 3−0−2 1 0−0−0−1 0 1 4 MG2y str. 13 0−4 13 14 POTĘGI 15. Oblicz wartości wyrażeń (pamiętaj, że potęgowanie wykonujemy przed mnożeniem i dzieleniem). 4/3 5 1 1 e) 3 · 32 + 4 · 22 a) 25 − (−2)5 4 4 1 −1 b) 3 + 3 2 1 c) 3 · 33 f) 2 · 0,23 − 0,23 0 4 1 1 g) 3 · 2 + 8 · − 2 3 2 1 1 h) 2 : 6 − (−2)3 d) 103 · 0,12 i) (−0,1)4 · 203 − (−2)4 3 1 j) 1 2 : 0,54 + 7,40 k) 33 − (−2)2 − (−3)0 2 3 32 3 l) 5 − 5 + 52 16. Piłeczka opuszczona na posadzkę odbija się od niej na wysokość równą 25 wysokości, z jakiej ją spuszczono. Piłeczkę opuszczono z wysokości 3 m. Jak wysoko się wzniesie piłeczka po czwartym odbiciu? Po którym odbiciu wzniesie się na wysokość niższą niż 1 cm? 17. Ustal, jaka jest ostatnia cyfra każdej z podanych liczb. 517 1110 Gra o miliony dolarów! Możesz zarobić duże pieniądze! Wyślij jednego dolara osobie z numerem 1. Przepisz ten list w 10 egzemplarzach, usuwając pierwsze nazwisko i wpisując na końcu swoje nazwisko (z numerem 10). Wyślij przepisane listy do dziesięciu różnych osób. 1. C.Waniak POK SA 134578-749502-001 2. O.Szust OKPI Bank 782034-8263-35 3. S.P.Ryciarz Banca Credita 7265-937652 4. C.Lever Fortuna Bank 6628-8363-013 5. Ł.Obuz Karib Bank 729374-2774-972 6. Akiro Taka Wyga YAKI Bank 12346814-193-139 7. L.A.Wirant Bank Nadorski 7265-2863-0298 8. Mrs.Hope Lord’s Bank 17263-389-01 9. G.Smith WallStreet Bank 8734-20949717 10. N.A.Dziana PKS BM 1236594-23366 Już wkrótce Ty znajdziesz się na początku listy osób i otrzymasz wielką fortunę! 3625 29100 2323 ∗18. Przeczytaj list zamieszczony obok. Pan N. A. Iwniak dał się wciągnąć w tę grę. Załóżmy, że każda osoba, która otrzyma taki list, zastosuje się do instrukcji i wciągnie do gry 10 nowych osób. Ile jeszcze osób musiałoby wziąć udział w grze, aby pan N. A. Iwniak znalazł się na początku listy? ∗19. Uzasadnij równości: 25 + 25 = 26 (−3)3 + (−3)3 + (−3)3 = −34 ∗20. Ustal, ile siódemek należy dodać, aby otrzymać liczbę: a) 72 CYAN MAGENTA YELLOW BLACK 99 b) 73 c) 792 MG2y str. 14 ILOCZYN I ILORAZ POTĘG O JEDNAKOWYCH PODSTAWACH 1. Po podniesieniu liczby −2 12 do kwadratu otrzymamy: 1 1 A. 4 4 1 B. 2 4 25 C. 6 4 D. − 4 18 18 16 16 5 2 2 5 , o= 5 , p= 5 , r = 2 w kolejności 2 rosnącej otrzymamy układ liter: 2. Po ustawieniu liczb a = A. o, p, a, r B. r, o, p, a C. p, o, r, a D. o, p, r, a 3. Wynikiem działania −24 − (−3)2 · 2 jest: A. 34 B. −34 C. −2 D. 50 4. W którym z przykładów znaku ♦ nie można zastąpić znakiem = ? A. (−5) · (−5)0 ♦ − 5 C. 78 − (−7)0 ♦ 78 + 1 B. 26 + 26 ♦ 27 D. 15 + 05 − 50 ♦ 0 zeszyt ćwiczeń, str. 5 CD-ROM 1.1/1–10 zadania uzupełniające 1-10, str. 35–36 2 Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach ĆWICZENIE. Zastąp symbole ♥, ♦, ♠ i ♣ odpowiednimi liczbami. 23 ·24 = 2 ·2 · 2 ·2 ·2 ·2 ·2 = 2♥ 47 : 45 = 4 ·4 ·4 ·4 · 4 ·4 ·4 = 4♣ 4 ·4 ·4 · 4 ·4 y 4 ·y 2 = y ·y ·y ·y · y ·y = y ♦ x5 : x2 = x ·x ·x ·x ·x = x ♠ dla x = 0 x ·x Mnożąc lub dzieląc potęgi o tych samych podstawach, możemy korzystać z następujących równości: am · an = am + n Podstawa się nie zmienia, wykładniki dodajemy. am = am − n dla a = 0 an Podstawa się nie zmienia, wykładniki odejmujemy. Uwaga. Drugą równość można też zapisać w postaci: CYAN MAGENTA YELLOW BLACK am : an = am − n MG2y str. 15 15 16 POTĘGI Przykłady (−5)7 · (−5)9 = (−5)16 = 516 37 · 35 312 = 10 = 32 = 9 310 3 (−2)3 · 215 = −23 · 215 = −218 612 612 (−6)12 = = − 10 = −62 = −36 10 10 −6 −6 6 Zadania 1. Zapisz w postaci jednej potęgi: a) 135 · 136 d) (−17)9 (−17)4 g) a9 · a6 a4 b) (−123)3 · (−123)9 e) 13 1 1 13 : 13 h) x11 · x5 · x x18 : x9 c) 611 · 6 · 612 f) 814 · 816 815 i) b7 · b3 : (b2 · b) b4 · b2 : b 2. Ile razy liczba m jest większa od liczby n? a) m = 315 , n = 312 11 / 36 n = 56 · 55 b) m = 29 , n = 32 c) m = 515 , b) 125 · 57 : 59 c) 64 · 29 : 210 3. Oblicz sprytnie: a) 27 · 39 : 310 4. Zastąp gwiazdki odpowiednimi liczbami. 3 12 / 6 a) 63 · 6 · 67 = 621 c) 819 : 8 = 88 e) 25 · 5 · 125 = 510 b) 11 : 113 = 116 d) 36 · 6 = 611 f) 144 · 128 : 12 = 125 6 3 mm = 10 mm 3 m = 10 · 10 1 km = 10 ↑ 1m 3 5 2 dag = 10 dag 3 3 = 10 · 10 1 t = 10 kg ↑ 1 kg 5. Zapisz odpowiedź w postaci potęgi liczby 10. a) 100 km — ile to milimetrów? b) 1000 km — ile to decymetrów? c) 1000 t — ile to dekagramów? d) 100 t — ile to miligramów? CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2y str. 16 ILOCZYN I ILORAZ POTĘG O JEDNAKOWYCH PODSTAWACH 6. Nazwij inaczej liczby: a) b) c) d) bilion milionów, milion septylionów, trylion trylionów, oktylion bilionów. 7. Ile razy jest większy: a) septylion niż bilion, b) nonilion niż trylion, c) oktylion niż milion? tysiąc — 103 sekstylion — 1036 milion — 106 septylion — 1042 miliard — 109 oktylion — 1048 bilion — 1012 nonilion — 1054 trylion — 1018 decylion — 1060 kwadrylion — 1024 googol — 10100 kwintylion — 1030 centylion — 10600 8. a) Kwadrat o boku 1 m podzielono na kwadraciki o boku 1 mm i ułożono jeden za drugim. Jaką długość ma otrzymana linia? b) Sześcian o krawędzi 1 m rozpiłowano na sześcianiki o krawędzi 1 mm i ułożono jeden za drugim. Czy otrzymana linia byłaby dłuższa niż odległość z Gdańska do Zakopanego? 9. Wskaż prawidłowy wynik. a) 57 · (−5)3 A = 510 B = −510 C = 54 D = −54 b) (−3)6 · 34 A = 310 B = −310 C = 32 D = −32 c) 115 : (−11)3 A = 118 B = −118 C = 112 D = −112 d) (−7)8 : 75 A = 713 B = −713 C = 73 D = −73 e) a9 · (−a)5 A = −a4 B = a14 C = −a14 D = a4 f) (−x)10 : (−x)6 A = −x4 B = −x16 C = x4 D = x16 10. Zapisz krócej: a) (−12)4 ·(−12)·125 c) (−3)5 · (−3)3 · (−3)3 e) (−x)11 · x3 · (−x) b) (−5)17 ·53 ·(−5)0 d) 79 ·(−7)8 ·(−7)·(−7)0 f) a6 · (−a)4 · (−a)14 11. Oblicz: a) 26 · (−2)3 : (−2)8 13 / 36 b) 57 · (−5)24 513 · 518 CYAN MAGENTA YELLOW BLACK (−7)10 78 · (−7) 5 1 d) − 4 : 0,252 c) e) (−0,1)3 · 0,14 : 0,12 f) (−0,2)3 · 0,24 · (−0,2)4 −(−0,24 · 0,26 ) MG2y str. 17 17 18 POTĘGI 1. Wartość wyrażenia A. 1 (−0,5)12 −0,5 · wynosi: (−0,5)6 (−0,5)3 · (−0,5)2 B. 0,25 C. −0,25 D. −0,5 2. Liczba 1720 jest większa od liczby 175 : B. 174 razy A. 4 razy C. 1715 razy D. 15 razy 3. Połowa liczby 216 to: A. 28 B. 116 zeszyt ćwiczeń, str. 6 C. 215 CD-ROM 1.2/1–5 D. 18 zadania uzupełniające 11–14, str. 36 3 Potęgowanie potęgi ĆWICZENIE. Zastąp symbole ♥ i ♦ odpowiednimi liczbami. 3 (42 ) = 42 · 42 · 42 = 4 ♥ 4 (t 3 ) = t 3 · t 3 · t 3 · t 3 = t ♦ Potęgując potęgę, możemy korzystać z następującej równości: (am )n = am·n Podstawa się nie zmienia; wykładniki mnożymy. Przykłady 3 4 1 6 (−0,3)5 12 1 = 6 2 = (−0,3)10 = 0,310 7 1257 = 53 = 521 CYAN MAGENTA YELLOW BLACK 125 = 53 MG2y str. 18 POTĘGOWANIE POTĘGI 19 Zadania 1. Zapisz w postaci jednej potęgi: a) b) 78 9 c) 7 (−2)3 6 8 3 −4 e) 12 d) 0,57 f) 46 8 3 −63 5 15 x g) 2 7 h) a3 4 5 2. a) Zapisz każdą z poniższych liczb w postaci potęgi liczby 10. 1009 10007 100 00011 b) Zapisz każdą z poniższych liczb w postaci potęgi liczby 0,1. 0,014 0,0019 0,000018 3. Jakie liczby należy wpisać w kwadraciki? a) 1 km2 = 10 2 cm 1 m = 10 2 2 cm2 2 1 m = 10 2 3 cm3 3 1 m = 10 m2 100 km2 = 10 b) 1 m2 = 10 c) 1 cm2 = 10 m2 1 m2 = 10 cm2 105 m2 = 10 mm2 mm2 d) 1 km3 = 10 cm2 1 km3 = 10 m3 cm3 4. Zastąp litery odpowiednimi liczbami: a) 48 = 2a c) 99 = 3c e) 76 = e3 g) 220 = g 10 b) 83 = 2b d) 368 = 6d f) 56 = f 2 h) 315 = h5 5. Zapisz w postaci potęgi o podstawie mniejszej od 10: a) 164 b) 252 c) 323 d) 276 e) 1255 6. Jaki znak: < , = czy > należy wpisać w miejsce symbolu ♦ ? a) (52 )3 ♦ (53 )2 2 b) (84 )2 ♦ 84 4 5 3 6 1 1 c) ♦ 2 2 d) 220 ♦ 410 g) 168 ♦ 645 e) 0,56 ♦ 0,254 8 12 1 1 f) 49 ♦ 7 h) 0,0275 ♦ 0,099 3 2 4 8 i) 9 ♦ 27 7. Uporządkuj rosnąco liczby: 8 5 12 17 a) 16 , 64 , 8 , 4 CYAN MAGENTA YELLOW BLACK 15 17 40 9 b) 27 , 9 , 3 , 81 34 43 23 32 c) 2 , 2 , 4 , 4 MG2y str. 19 15 / 36 16 / 36 20 POTĘGI 8. Przeczytaj tekst w ramce. Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę miriada, aby otrzymać liczbę 1052 ? Wielkimi liczbami posługiwał się już Archimedes (287 p.n.e. — 212 p.n.e.). Oprócz znanej Grekom liczby miriada (10000) wprowadził liczbę miriada miriad. W swoim dziele Rachmistrz piasku szacował, ile ziaren piasku jest na plaży. Obliczał także, ile ziaren piasku wypełniłoby wszechświat. Wynik, jaki otrzymał Archimedes, dzisiaj zapisalibyśmy jako 1052 . ∗9. Przyjmijmy, że symbol oznacza aa . Zapisz w postaci potęgi liczby 2: 1. W którym przykładzie symbolu ♦ nie można zastąpić znakiem = ? 3 A. 0,36 ♦ 0,32 2 5 B. 35 ♦ 32 C. 4 3 3 4 2 − 23 ♦ 3 D. 810 ♦ 326 2. W kolejności rosnącej ustawione są liczby: 4 5 5 6 6 7 1 1 1 , , 3 3 3 3 3 3 A. 22 , 32 , −42 C. 2 3 2 B. 63 , 62 , 63 D. 220 , 415 , 810 zeszyt ćwiczeń, str. 7 CD-ROM 1.3/1–7 zadania uzupełniające 15–18, str. 36 4 Potęgowanie iloczynu i ilorazu ĆWICZENIE A. Wykonaj poniższe obliczenia. Ile różnych wyników otrzymałeś? 3 23 2 (3 · 2)2 (100 · 0,01)4 1004 · 0,014 32 · 22 3 5 5 ĆWICZENIE B. Zastąp symbole ♥ i ♦ odpowiednimi liczbami. a) (2k)3 = 2k ·2k ·2k = 2♥ ·k ♦ c) b) (p ·t)4 = p ·t ·p ·t ·p ·t · p ·t = p ♥ ·t ♦ d) CYAN MAGENTA YELLOW BLACK 4 5 7 5 k l 5 5 5 5 k k k k 5♥ = 7·7·7·7 = ♦ 7 k k♥ = l ·l ·l ·l ·l = ♦ l MG2y str. 20 POTĘGOWANIE ILOCZYNU I ILORAZU Potęgując iloczyny lub ilorazy, możemy korzystać z następujących równości: (a · b)n = an · b n n a b = an bn Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. dla b = 0 Uwaga. Drugą równość można też zapisać w postaci: (a : b)n = an : bn Przykłady (2 · 10)6 = 26 · 106 = 64 000 000 1 4 12 4 1 3 4 4 · 1 3 = 2 · 3 = 24 = 16 0,2 3 0,008 8 1 = 27 = 27000 = 3375 3 1,63 = −0,43 1,6 −0,4 3 3 16 = −4 = −64 Zadania 1. Podnieś do potęgi podane iloczyny i ilorazy. 19 / 36 4 −3xy 2 a) (3x)3 c) (−xy)8 e) b) (−2a)5 d) (−ab2 )3 f) (−x2 y 3 )5 g) h) 4 a 2 3 x −2 j) 2. Znajdź liczby m i n. a) (6 · 113 )5 = 6m · 11n b) 34 5 7 c) (23 · 59 )2 = 2m · 5n e) d) (710 ·35 )6 = 7m ·3n f) 3m = 5n i) 104 117 612 135 −a 4 2b −3a2 b4 cd 7 5 3 10m = 11n 3 6m = 13n 3. Oblicz, korzystając z poznanych wzorów: n a) (3 · 10)4 , 404 c) (2 · 102 )3 , b) (3 : 10)4 , 0,44 d) (2 : 10)4 , 20005 0,026 e) (6 · 10)3 , 60002 f) (6 : 102 )2 , 0,0063 3 4 5 6 4 64 256 1024 4096 a) 4004 c) 0,043 e) 606 6n 216 1296 7776 46656 b) 0,65 d) 0,0064 f) 0,044 n CYAN MAGENTA YELLOW BLACK 4. Korzystając z tabeli, oblicz: MG2y str. 21 21 22 POTĘGI 5. Zapisz w postaci jednej potęgi i oblicz: 20 / 36 a) 27 · 57 5 1 b) 2 · 45 c) 1610 : 810 4 4 3 1 d) 5 : 5 e) 0,23 · 103 3 3 1 1 f) − 3 : 9 g) (−0,2)9 : 0,19 3 3 4 3 h) 3 · 4 6. a) Kwadrat ma bok długości a. Jakie jest pole kwadratu, którego bok jest 3 razy dłuższy? b) Sześcian ma krawędź długości x. Jaka jest objętość sześcianu o krawędzi 2 razy krótszej? 7. Ile razy pole większego kwadratu jest większe od pola mniejszego kwadratu? 8. Ile razy objętość sześcianu o krawędzi 3a jest większa od objętości sześcianu o krawędzi 9. Oblicz sprytnie: 21 / 37 a) 45 · 56 1. Wyrażenie 2ab2 A. 8ab 5 b) 3 3 a? 2 5 6 3 5 · 3 5 c) 7 8 4 2 : 9 9 d) 5 4 4 1 19 : 43 można zapisać w postaci: B. 8ab6 C. 2a3 b6 D. 8a3 b6 2. Wynikiem działania 0,056 · 46 jest: A. 0,000064 B. 0,64 C. 6400 D. 64000000 3. Iloraz (−60)30 : 3030 jest równy: A. (−2)0 zeszyt ćwiczeń, str. 8 B. −230 C. (−2)30 CD-ROM 1.4/1–6 CYAN MAGENTA YELLOW BLACK D. (−2)60 zadania uzupełniające 19–21, str. 36–37 MG2y str. 22 DZIAŁANIA NA POTĘGACH 5 Działania na potęgach Poznałeś do tej pory pięć wzorów dotyczących działań na potęgach. Wiele na pozór skomplikowanych obliczeń można uprościć, stosując te wzory. Przykłady 257 (52 )7 514 = 12 = 12 = 52 = 25 512 5 5 210 ·310 (2 · 3)10 610 = = 8 = 62 = 36 68 68 6 394 (3 ·13)4 34 ·134 34 81 = = 4 = = 135 135 13 ·13 13 13 55 ·54 59 53 125 = 6 6 = 6 = 106 2 ·5 2 64 ĆWICZENIE. Przeczytaj powyższe przykłady. Ustal, jakie wzory wykorzystywane były przy kolejnych przekształceniach. Wróćmy do „problemu składanej bibułki” (zob. str. 10). Wiemy już, że grubość bibułki po pięćdziesiątym złożeniu wynosiłaby 250 · 0,01 mm. Oszacujemy tę liczbę, korzystając z tego, że 210 = 1024 ≈ 1000 = 103 . 5 5 1 250 · 0,01 mm = 210 · 0,01 mm ≈ 103 · 100 mm = 1013 mm Odległość Księżyca od Ziemi wynosi około 400000 km. 400 000 km = 4 · 105 km = 4 · 105 · 106 mm = 4 · 1011 mm Porównajmy otrzymane wyniki: grubość bibułki odległość Księżyca od Ziemi ≈ 1013 102 = = 25 4·1011 4 Wynika stąd, że grubość bibułki byłaby ponad 25 razy większa niż odległość z Ziemi do Księżyca. CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2y str. 23 23 24 POTĘGI Zadania 1. Uporządkuj podane liczby w kolejności rosnącej. a = 73 · 74 4 c = 73 b = 712 : 74 3 d = 7 · 72 3 e = 74 : 72 2. a) Która z liczb (83 )5 czy 83 ·85 jest większa? Ile razy większa? b) Która z liczb 147 : 27 czy 713 : 75 jest większa? Ile razy większa? 3. Przedstaw w postaci potęgi liczby 2: a) (24 )7 23 ·25 b) 4 · 28 c) (44 )3 e) (16 · 23 )4 d) 323 4. Ustal wartości m i n. 23 / 37 a) (210 · 25 · 74 )2 = 2m · 7n b) (34 · 57 )3 = 3m · 5n 59 4 3 1 1 : 3 9 5. Przedstaw w postaci jednej potęgi: 37 24 / a) 34 · 92 c) 83 : 25 e) b) 45 · 83 d) 1257 : 2510 4 1 f) 0,59 : 4 g) 0,19 : 0,0012 58 210 h) 32 · 125 6. Która z poniższych liczb jest równa połowie liczby 890 ? 490 845 2135 445 2269 ∗7. Uporządkuj podane liczby rosnąco. a) 444 444 4 (44 )4 44 b) 329 1611 658 322 8. Ustal, ile zer na końcu ma liczba: a) 25 · 57 b) 26 · 53 c) 4 · 55 d) 48 · 755 e) 124 · 503 9. Oblicz: 26, 27 / 37 a) 5 1 1 : 8 4 2 c) 29 : (−67 : 37 ) b) (−6)4 · (−2)4 122 d) CYAN MAGENTA YELLOW BLACK 323 82 e) 814 275 g) 210 · 310 68 f) 252 · 47 29 · 54 h) 58 · 29 107 MG2y str. 24 DZIAŁANIA NA POTĘGACH Liczba 10100 , którą można zapisać jako jedynkę i sto zer, nazywa się googol (czyt. gugol). Jest to liczba naprawdę olbrzymia — znacznie większa niż liczba wszystkich cząstek elementarnych we wszechświecie. Zatem do opisu wszystkich zjawisk otaczającego nas świata wystarczą liczby mniejsze od googola. Dziwnie brzmiącą nazwę googol wymyślił w 1920 r. dziewięcioletni chłopiec, siostrzeniec amerykańskiego matematyka Edwarda Kasnera. W 1997 roku twórcy pewnego programu komputerowego chcieli go nazwać googol dla zilustrowania ogromnej liczby informacji, które przetwarzał. Niestety, jeden z autorów programu, rejestrując jego nazwę, popełnił pomyłkę. Właśnie dlatego jedna z najbardziej znanych wyszukiwarek internetowych na świecie nosi nazwę Google, a nie Googol. 10. Przeczytaj powyższą ciekawostkę. a) Zapisz za pomocą potęgi liczby dziesięć liczby: sto googoli, milion googoli, jedna tysięczna googola i googol googoli. b) Ile razy liczba miliard miliardów jest mniejsza od googola? 11. Szacuje się, że na świecie żyje około 1018 owadów. Ludzi na świecie jest około 6,6 mld. Zakładając, że przeciętny owad waży 0,1 g, a przeciętny człowiek 50 kg, oblicz: a) Czy wszystkie owady razem ważą więcej niż wszyscy ludzie? b) Ile kilogramów owadów przypada średnio na jednego człowieka? 12. Spośród polskich jezior najwięcej wody zawiera jezioro Mamry — ok. 1 km3 . Woda zawarta w dużej chmurze ma masę ok. 109 kg. Ile takich chmur powstałoby, gdyby wyparowała cała woda z jeziora Mamry? 13. W tabelce zamieszczono przedrostki Przedrostek Symbol Wielokrotność deka da 10 hekto h 102 kilo k 103 oznaczające wielokrotności jednostek podstawowych. Dodając na przykład przedrostek giga- do słowa metr, otrzymujemy gigametr, czyli 109 metrów (1 Gm = 109 m). mega M 106 a) Ile dekagramów jest w megagramie? giga G 9 10 b) Ile dekagramów jest w eksagramie? tera T 1012 c) Ile hektometrów jest w gigametrze? peta P 1015 eksa E 1018 d) 100 megametrów — ile to dekametrów? e) 1000 petagramów — ile to kilogramów? CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2y str. 25 25 26 POTĘGI 1. Trzecia część liczby 99 to: A. 39 B. 93 2. Liczba 46 A. 649 3 D. 326 jest równa liczbie: B. 218 3. Wynikiem działania A. −10 C. 317 B. −9 zeszyt ćwiczeń, str. 9–10 C. 812 D. 49 (−30)11 · 0,111 jest: 39 C. −39 D. (−3)13 CD-ROM 1.5/1–4 zadania uzupełniające 22–28, str. 37 6 Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym Poznałeś już potęgi o wykładnikach naturalnych. Można również rozpatrywać potęgi o wykładnikach całkowitych ujemnych. potęga, n-ta potęga liczby a, dla n > 0 iloczyn a · a·. . .·a, w którym występuje n czynników, a każdy z nich jest równy a. Liczbę a nazywamy podstawą potęgi, a liczbę naturalną n – wykładnikiem potęgi. Potęgę o wykładniku n i podstawie a (lub krócej n-tą potęgę liczby a) oznacza się symbolem an . Przyjmuje się ponadto, że a1 = a oraz że a0 = 1 (dla a = 0). Powyższą definicję można uogólnić, dopuszczając także wykładniki całkowite ujemne. Przyjmuje się mianowicie, dla a = 0: 1 1 a − 1 = a i konsekwentnie a − k = k . a Encyklopedia szkolna. Matematyka ĆWICZENIE. Przeczytaj zamieszczoną obok notkę encyklopedyczną. Zapisz w postaci ułamków następujące liczby: 2−1 5−1 7−1 2−3 5−3 Dla a = 0 przyjmujemy, że: 1 a−1 = a a−2 = 1 a2 a−3 = 1 a3 Ogólnie, jeżeli n jest liczbą naturalną, to dla a = 0: a −n = 1 an Zauważ, że a−1 to odwrotność liczby a, zaś a − n to odwrotność liczby an . CYAN MAGENTA YELLOW BLACK 7−3 MG2y str. 26 POTĘGA O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM UJEMNYM Wykonując obliczenia na potęgach, możemy zamieniać potęgi o wykładniku ujemnym na odwrotności odpowiednich potęg o wykładnikach dodatnich. Przykłady 1 1 5−7 · 55 = 7 · 55 = 25 5 4 7−1 = 7−5 4 1 7 1 75 = 1 · 75 = 7 74 Takie same wyniki otrzymamy, stosując reguły działań na potęgach opisane w poprzednich rozdziałach. Okazuje się bowiem, że reguły te obowiązują także dla potęg o wykładnikach ujemnych. Przykłady −7 5 ·5 =5 5 −7 + 5 −2 =5 1 = 25 Korzystamy ze wzoru am · an = am + n dla wykładników m = −7 i n = 5. 4 7−4 7−1 = = 7 − 4 − (− 5) = 7 − 4 + 5 = 7 7−5 7−5 Stosujemy wzór (am )n = am·n dla wykładników m = −1 i n = 4, a następnie wzór am : an = am − n dla m = −4 i n = −5. Zadania 1. Oblicz: a) 3−1 5−2 2−3 d) (−10)−5 7 −1 11 −2 −2 c) (2,5)−1 (0,4)−2 (1,25)−1 b) 1 3 3 4 e) −2 2 −3 f) (−1,2)−1 (−4)−2 (−2)−3 −3 1 −5 1 −4 −3 3 (−0,1)−5 (−0,02)−4 2. Zastąp symbole odpowiednimi liczbami. a) −7 3 4 = ♠7 b) −9 7 3 = ♥9 c) (0,7)−8 = ♦8 d) 1 0,1 3. Zapisz podane liczby w postaci potęg o wykładniku ujemnym. 4 1 3 CYAN MAGENTA YELLOW BLACK 3 3 8 1 75 65 7 1 24 MG2y str. 27 −3 = ♣3 27 28 POTĘGI 4. Które obliczenia wykonano błędnie? 5. Która z liczb jest większa? a) 3−8 czy 3−7 32 / 38 33 / 38 b) −4 1 5 czy c) −5 1 5 d) 5 1 4 czy 4−6 −8 1 5 czy 56 6. Oblicz: a) 4−7 · 46 · 4−2 e) b) 7−4 : 7−3 c) 6 1 2 czy −6 1 2 f) (0,1)−3 czy (0,1)−4 5−4 · 53 5−2 d) −3 1 2 · 24 7. Zapisz podane liczby w postaci potęgi liczby 10. 0,1 0,00001 1 1 000 000 0,0000001 1 0,001 10 000 000 8. Znajdź liczby x i y. 3m 00 m = 10 1 km = 10 −3 1 km = 10 1 m = 1000 km a) 1 kg = 10x dag c) 1 m = 10x cm 1 dag = 10y kg 1 cm = 10y m b) 1 l = 10x ml d) 1 t = 10x g 1 ml = 10y l 1 g = 10y t 9. Wyraź podane wielkości we wskazanej jednostce. Wynik zapisz w postaci potęgi liczby 10. a) [km] 1 mm 1 cm 10 mm 1 cm 100 b) [t] 1 kg 1 dag 0,1 dag 100 g 10. Włos ludzki ma średnicę ok. 10−4 m. Ile to milimetrów? Jak gruby byłby włos powiększony tysiąc razy? Jaką grubość miałby włos powiększony milion razy? CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2y str. 28 POTĘGA O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM UJEMNYM Przedrostek Symbol Ułamek decy d 10−1 centy c 10−2 mili m 10−3 mikro µ 10−6 nano n −9 10 piko p 10−12 11. Tabelka przedstawia przedrostki oznaczające części jednostek podstawowych. Oblicz: a) ile nanogramów jest w miligramie, b) ile pikometrów jest w decymetrze, c) ile mikrometrów jest w centymetrze, d) ile mililitrów jest w centylitrze, e) ile nanolitrów jest w centylitrze. 12. Zapisz w postaci potęgi liczby 10. a) 1 m2 — ile to kilometrów kwadratowych? b) 1 mm2 — ile to metrów kwadratowych? 3 c) 1 cm — ile to kilometrów sześciennych? d) 100 cm2 — ile to metrów kwadratowych? 1 cm = 10 −2 m 1 cm 2 = 10 −2 2 m2 1 cm 3 = 10 −2 3 m3 e) 1000 m3 — ile to kilometrów sześciennych? 1. Która z poniższych liczb nie jest równa 2 14 A. 2 4 9 B. −4 −2 ? 2 1 C. 4 2 3 2 1 −1 D. 5 16 2. Liczba 3−14 jest od liczby 3−12 : A. 9 razy większa C. 9 razy mniejsza B. 3 razy większa D. 3 razy mniejsza 3. Znak nierówności wstawiono błędnie w przykładzie: A. −6 −7 1 1 < 2 2 B. −7 −7 1 1 < 3 2 C. 3−5< 6−5 D. 9−5< 9−4 4. Która z poniższych równości jest prawdziwa? A. 1 km3 = 103 m3 2 −4 B. 1 mm = 10 zeszyt ćwiczeń, str. 11 m C. 1 cm = 10−2 mm 2 D. 1 dm2 = 10−8 km2 CD-ROM 1.6/1–8 CYAN MAGENTA YELLOW BLACK zadania uzupełniające 29–33, str. 37–38 MG2y str. 29 29 30 POTĘGI 7 Notacja wykładnicza ĆWICZENIE A. Oblicz: a) 4 ·103 2,5 · 105 3,5 ·106 b) 7 · 10−3 4,8 ·10−4 2,6 · 10−5 ĆWICZENIE B. Zastąp kwadraciki odpowiednimi liczbami. 500 000 = 5 · 10 0,0007 = 7 10 = 7 · 10 Przy zapisywaniu bardzo dużych i bardzo małych liczb dodatnich wygodnie jest posługiwać się tzw. notacją wykładniczą. n a · 10 niająca liczba speł warunek 1 ≤ a < 10 y 10 potęga liczb ku ni d ła yk ow całkowitym Polega ona na zapisywaniu liczb w postaci iloczynu, w którym pierwszy czynnik jest liczbą większą od 1 lub równą 1 i mniejszą od 10, a drugi jest potęgą liczby 10. Notację wykładniczą nazywamy też notacją naukową. Przykłady Zapisz w notacji wykładniczej: 360000000 = 3,6 · 108 8 cyfr wykładnik równy 8 0,0000576 = 5,76 · 10−5 5 cyfr po przecinku Liczba 3,6 spełnia warunek 1 ≤ 3,6 < 10. 5,76 1 0,0000576 = 105 = 5,76 · 105 wykładnik równy −5 CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2y str. 30 NOTACJA WYKŁADNICZA Wykonując obliczenia dotyczące dużych i małych liczb zapisanych w notacji wykładniczej, możemy korzystać z poznanych własności działań na potęgach. Przykład Zapisz w notacji wykładniczej: 25,7 · 107 = 2,57 · 10 · 107 = 2,57 · 108 0,064 · 10−8 = 6,4 · 10−2 · 10−8 = 6,4 · 10−10 Przykład Masa Słońca wynosi około 2 · 1030 kg, a masa Ziemi około 6 · 1024 kg. Ile razy masa Słońca jest większa od masy Ziemi? 2 · 1030 106 10 = ·105 ≈ 3,3 · 105 = 6 · 1024 3 3 Odp. Masa Słońca jest ok. 3,3 · 105 (330000) razy większa od masy Ziemi. Przykład Teren w okolicach Elbląga obniża się o 8 · 10−11 metrów w ciągu sekundy. O ile centymetrów obniżył się ten teren w ciągu stu lat? 100 lat = 100 · 365 · 24 · 3600 s = = 315360 · 104 s ≈ 3,15 · 109 s Zamieniamy 100 lat na sekundy. 1 rok = 365 dni, 1 doba = 24 godziny, 1 godzina = 3600 sekund 3,15 · 109 · 8 · 10−11 = 8 · 3,15 · 10−2 = = 25,2 · 10−2 [m] Obliczamy, o ile metrów obniżył się teren w ciągu 3,15 · 109 s. 25,2 · 10−2 m = 25,2 cm 10−2 m = 1 cm Odp. W ciągu stu lat teren w okolicach Elbląga obniżył się o ok. 25 cm. Przykład W jeziorze Mamry jest 1,01 · 1012 litrów wody, a w jeziorze Śniardwy — 6,6 · 1011 litrów. Ile litrów wody jest w obu tych jeziorach razem? 1,01 · 1012 + 6,6 · 1011 = 10,1 · 1011 + 6,6 · 1011 = 16,7 · 1011 = 1,67 · 1012 Odp. W obu tych jeziorach jest razem 1,67 · 1012 litrów wody. CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2y str. 31 31 32 POTĘGI Zadania 1. Zapisz podane niżej odległości między obiektami astronomicznymi, stosując notację wykładniczą. • średnia odległość Księżyca od Ziemi — 380000 km • średnia odległość Ziemi od Słońca — 150000000 km • najmniejsza odległość Ziemi od Marsa — 55000000 km • odległość Słońca od Gwiazdy Polarnej — 4070000000000000 km • odległość Słońca od Alfa Centauri — 41500000000000 km 2. Na podstawie rysunku i tabelki dopasuj symbole planet do ich nazw. Odległość od Słońca [w km] Symbol planety 5,79 · 107 1,083 · 108 1,496 · 108 ⊕ 2,8696 · 10 2,279 · 108 4,4966 · 109 9 1,427 · 10 9 7,776 · 108 3. Przedstaw podane wielkości w notacji wykładniczej: • średnica tułowia ameby — 0,00062 m • prędkość, z jaką rośnie bambus — 0,000012 m/s • masa wirusa ospy — 0,000000000007 g • masa ziarenka maku — 0,0005 g • masa atomu wodoru — 0,000000000000000000000001674 g 4. Zapisz podane liczby w notacji wykładniczej. a) 57 · 105 c) 265 · 108 e) 38 · 10−4 g) 23,5 · 10−11 b) 0,03 · 102 d) 33,6 · 1010 f) 0,06 · 10−5 h) 0,8 · 10−5 5. Ustal, co jest większe: a) 2,5 · 103 kg czy 3,6 · 106 g c) 6,7 · 10−8 t czy 7,6 · 102 mg b) 3,5 mm czy 3,5 · 10−6 m d) 2,4 · 10−4 cm czy 2,5 · 10−8 m CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2y str. 32 NOTACJA WYKŁADNICZA 33 6. Zapisz w notacji wykładniczej: a) 465 m — ile to milimetrów? 465 mm — ile to metrów? c) 326 kg — ile to gramów? 326 g — ile to kilogramów? b) 40 000 km — ile to centymetrów? 40 000 cm — ile to kilometrów? d) 550 t — ile to gramów? 550 g — ile to ton? 7. Oblicz a · b i a b 34 / 38 36 / 38 , wynik zapisz w notacji wykładniczej. a) a = 2,4 · 1015 b = 2 · 107 b) a = 4 · 1023 b = 5 · 1019 c) a = 3,2 · 10−4 b = 8 · 10−6 8. Masa protonu wynosi ok. 1,7 · 10−27 kg, a masa elektronu 9,1 · 10−31 kg. Ile razy proton jest cięższy od elektronu? 9. Oblicz i zapisz w notacji wykładniczej: a) Ile razy powierzchnia Księżyca jest większa od powierzchni Polski? b) Ile razy powierzchnia Księżyca jest mniejsza od powierzchni Ziemi? 10. Z Wisły do Bałtyku wpływa w ciągu 1 godziny około 3,4 · 106 m3 wody, a z Odry — około 1,9 · 106 m3 . Zapisz w notacji wykładniczej: a) Ile razem wody wpływa do Bałtyku z obu tych rzek w ciągu godziny? b) O ile więcej wody wpływa z Wisły niż z Odry w ciągu godziny? c) Ile kilometrów sześciennych wody wpływa z Wisły do Bałtyku w ciągu doby? 11. Oblicz a + b i a − b , wynik zapisz w notacji wykładniczej. a) a = 3,7 · 105 b) a = 1,2 · 1013 b = 5,2 · 104 b = 9,8 · 1012 c) a = 7,875 · 103 b = 5 · 10−2 12. Jedna z największych chmar szarańczy pojawiła się w Kenii w 1954 roku i liczyła 10 miliardów owadów. Jeden osobnik szarańczy waży około 2,5 g. Zapisz w notacji wykładniczej, ile ton ważyła ta chmara szarańczy. CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2y str. 33 34 POTĘGI 13. Włosy człowieka rosną z przeciętną szybkością 4 · 10−4 metra na dobę. Najdłuższe włosy miała Hinduska Mata Jagdambo. Miały one długość 4,23 m. Oszacuj, ile czasu Mata Jagdambo nie ścinała włosów. 14. Rok świetlny to odległość, którą pokonuje światło w ciągu roku. Prędkość światła to ok. 3 · 108 m/s. a) Ile kilometrów ma rok świetlny? b) Od bitwy pod Grunwaldem minęło 600 lat. Ile kilometrów od Ziemi musiałaby się znajdować planeta, do której dotarłby teraz sygnał świetlny wysłany z Ziemi 600 lat temu? Przyjmij, że rok to 3,15 · 107 sekund. 1. 500 mm to: A. 5 · 10−8 km B. 5 · 10−4 km C. 5 · 108 km D. 5 · 10−6 km B. 2 · 105 mg C. 2 · 109 mg D. 2 · 108 mg 2. 2000 kg to: A. 2 · 106 mg 3. Prawdziwa jest nierówność: A. 2,5 · 10−5 kg < 25 mg C. 3,6 · 103 cm < 4,1 · 10−3 km B. 4 · 105 mm < 4,2 · 10−2 km D. 9,8 · 106 dag < 9 · 102 t 4. Ziemia, obiegając Słońce, porusza się ze średnią prędkością około 30 km/s. Pokonuje wówczas drogę równą około: A. 9,5 · 108 km B. 10 950 km zeszyt ćwiczeń, str. 12 CYAN MAGENTA YELLOW BLACK C. 1,6 · 107 km D. 2,6 · 106 km zadania uzupełniające 34–39, str. 38 MG2y str. 34 POTĘGI. ZADANIA UZUPEŁNIAJĄCE Potęga o wykładniku naturalnym 1. a) Przedstaw każdą z podanych liczb w postaci potęgi o podstawie 2 lub 3. 8 32 27 1 128 W stosowanym przez nas systemie dziesiątkowym używa się dziesięciu cyfr (od 0 do 9) i potęg liczby 10. 243 b) Przedstaw każdą z poniższych liczb w postaci potęgi o wykładniku 3 lub 4. 16 64 216 81 0 305 = 3 · 102 + 0 · 101 + 5 · 100 7204 = 7 · 103 + 2 · 102 + 0 · 101 + 4 · 100 625 W informatyce często stosowany jest system dwójkowy, w którym używa się dwóch cyfr (0 i 1) oraz potęg liczby 2. 2. Która z podanych liczb jest większa? a) b) 2 2 5 7 1 7 czy 5 22 c) −26 czy 36 2 d) −29 czy −99 czy 77 2 6 2 9 −3 −9 1101(2) = 1·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 13 liczba zapisana w systemie dwójkowym liczba zapisana w systemie dziesiątkowym 3. Uporządkuj rosnąco liczby: a) a = 57 b = (−7)8 110(2) = 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 10 c = (−5)8 W ten sam sposób można zapisywać liczby w systemie trójkowym, czwórkowym itd. W systemie trójkowym używa się trzech cyfr 0, 1, 2 i potęg liczby 3, a w systemie czwórkowym – cyfr 0, 1, 2, 3 i potęg liczby 4. b) a = −24 b = (−2)4 c = −38 8 11 15 2 2 2 c) a = − 9 b = −9 c= 9 5 2 d) a = 3 5 3 b= 2 10 2 c= 3 6. a) Liczby 100(2) , 1100(2) , 111110(2) za- 4. Oblicz: pisz w systemie dziesiątkowym. 1 a) 2 · [(−1)8 + (−1)8 ] 3 2 1 3 1 1 b) −3 3 · 0,34 − − 2 · 1 3 3 2 1 3 2 1 c) 1 3 · −3 4 : 3 − 3 2 1 d) (−0,3)2 : 0,1 − 0,23 · 2 2 3 1 e) (−0,1)4 · 203 + 1 2 : (−0,3)2 b) Liczby 15, 24, 30, 100 zapisz w systemie dwójkowym. ∗ 7. a) Liczby 201 , 111 , 10121 za(3) (3) (3) pisz w systemie dziesiątkowym. b) Liczby 8, 25, 45 zapisz w systemie trójkowym. ∗ 5. Które z podanych ułamków nie przedstawiają liczb naturalnych? 1 10354 + 8 9 4 6 2 10111 + 5 6 10123 − 4 6 7 10101 + 9 9 5 6123 + 44 10 3 10454 − 1 9 10321 + 2 6 8 9140 − 1 10 CYAN MAGENTA YELLOW BLACK 8. Oblicz: a) 3 22 b) 2 (−1)3 c) 0 54 d) 05 117 ∗ 9. Każdą z poniższych liczb zapisano za pomocą czterech dwójek. Ustal, która z tych liczb jest największa, a która najmniejsza. 2222 2 222 22 22 MG2y str. 35 22 22 35 36 POTĘGI. ZADANIA UZUPEŁNIAJĄCE Potęgowanie potęgi 15. Każdą z podanych liczb przedstaw Największa liczba zapisana za po9 mocą trzech cyfr to 99 . Zapisanie jej w systemie dziesiątkowym zapełniłoby 33 książki po 800 stron i 14000 cyfr na stronie. w postaci potęgi o podstawie 2, 3 lub 5. 643 275 325 99 2511 1257 169 16. Zapisz poniższe liczby w kolejności rosnącej. 1620 10. Czy w zapisie dziesiętnym liczby 10 1010 występuje więcej niż milion zer? Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach 11. Zapisz w postaci jednej potęgi: a) 25 · 53 · 50 c) 9 · 39 · 27 37 : 34 7 1 1 1 b) 81 · 9 · 3 d) 71 : 49 74 · 73 1 6415 3217 260 450 ∗ 17. Zastąp litery odpowiednimi liczbami. a 2 1 1 310 a) = 64 d) d = 3 2 27 b) 163 =8 e) c) 642 = c 6 f) 2b 125e = 55 54 2 f 81 : 9 = 36 ∗ 18. Uporządkuj poniższe liczby w kolejności od najmniejszej do największej. 2500 12. Jakimi liczbami należy zastąpić 3400 4300 5200 kwadraciki? · 81 = 310 a) 9 · 3 Potęgowanie iloczynu i ilorazu b) 2 · 16 = 27 5 1 1 1 c) 2 : 2 · 2 =1 d) (−125) · (−5) · (−5) 19. Wykonaj potęgowanie: a) = 58 b) 3ab2 3 1 2 3 a b 2 c) 4 d) 2ab5 c2 a5 b6 3x2 2 5 13. Zapisz w postaci jednej potęgi: a) 20. Oblicz: 1000 · (−10)8 109 a) b) 81 · (−3)5 · (−27) c) 1 − 32 1 · 16 · 6 1 2 36 · (−6)7 · (−6)8 d) 614 : (−6) c) 14. Zapisz w postaci jednej potęgi: e) CYAN MAGENTA YELLOW BLACK 6 6 2 · 7 (−6,5)3 (−0,13)3 1 42 1 22 3 3 2 · − 3 ·(−2)3 4 b) 510 + 510 + 510 + 510 + 510 c) 3 · (315 + 315 + 315 ) 3 14 4 2 b) (0,8)4 : 2 3 d) a) 27 + 27 f) 1 4 ·0,64 · − 15 2 4 0,34 · 2 3 (−4)4 MG2y str. 36 POTĘGI. ZADANIA UZUPEŁNIAJĄCE 21. Oblicz sprytnie: 27. Oblicz: a) 1,54 · 25 8 10 7 3 c) 3 · 7 a) 55 104 d) 46 ·86 325 b) 0,46 · 55 d) 1,25 : 0,66 b) 444 223 e) (−3)9 ·59 158 c) 642 ·362 63 ·27 f) 28 ·57 0,14 ·1006 Działania na potęgach 22. Ustal, jakim znakiem: < , = czy > należy zastąpić kwadracik? 27 · 315 a) 11 3 · 24 b) 23 · 35 58 · 32 · 37 39 · 57 5 28. W 1859 r. sprowadzono do Australii 814 c) 9 9 6 :2 29 · 492 144 d) 27 26 Przypuśćmy, że liczba królików podwajała się co rok; oszacuj, ile — przy takim założeniu — mogło być królików w Australii pod koniec 1887 roku. 23. Ustal wartość m i n. a) 4 · b) c) 73 52 23 34 10 = 2m 3n 3 4 53 5m · = n 5 7 pierwsze 22 króliki. Znalazły tu one doskonałe warunki do życia. Już w 1887 r. było ich tak dużo, że rząd postanowił przyznać nagrodę temu, kto wymyśli sposób zmniejszenia ich populacji. Wskazówka. Przyjmij, że 210 ≈ 1000. 7 3 16 4 5 2n · 8 = m 25 5 24. Która z poniższych liczb jest równa czwartej części liczby 8100 ? 825 2100 225 896 2298 większa? Ile razy większa? Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym a) a = 1210 , b = 245 29. Zastąp litery liczbami. 25. Która z podanych dwóch liczb jest b) a = 6416 , b = 1664 1 26. Oblicz: a) 27 · 37 : 65 3 4 1 1 b) − 2 · − 2 · 27 c) 0,18 · 0,28 : 0,026 12 e) (−2)e = − 32 c) (0,1)c = 1000 g) 1000g = 0,0013 1 h h) 25−2 = 625 d) (0,2)d = 25 f) 0,25f = 16 30. Oblicz: d) (−0,2) · 5 · (−1) 3 3 1 1 e) 1 2 : 2 4 · 33 12 1 a) 2a = 4 b 1 b) 3 = 27 −13 f) 0,56 · (−0,5)7 : 0,0513 CYAN MAGENTA YELLOW BLACK a) −1 1 7 1 b) −1 1 7 c) −1 −1 −1 1 7 −1 −1 −1 d) 1 1 7 MG2y str. 37 37 38 POTĘGI. ZADANIA UZUPEŁNIAJĄCE 31. Oblicz: 36. Oblicz, zapisując wyniki w notacji −1 −2 1 1 a) 5 + 5 wykładniczej: b) c) 1 1 −2 3 1 1 −5 3 −1 −3 1 1 −3 : 5+3 a) 2,3 · 10−3 · 4 · 10−5 c) 2 · 104 5 · 10−2 b) 4,2 · 10−6 · 5 · 108 d) 3,5 · 10−2 7 · 10−5 37. Największa odległość między Zie32. Zapisz podane liczby w kolejności od największej do najmniejszej. a) 75 7−5 7−3 7−7 −13 15 −1 0 1 1 1 1 b) 5 5 5 5 −3 −6 1 1 4 5 −3 c) − 3 (−3) (−3) 33. Oblicz: −4 1 a) (−6)−2 · 6 −2 2−5 · 2−3 b) 2−7 c) mią a Księżycem wynosi ok. 4 · 105 km. Czy Jowisz zmieściłby się między Ziemią a Księżycem? Czy wszystkie planety Układu Słonecznego (bez Ziemi) ustawione obok siebie zmieściłyby się między Ziemią a Księżycem? Nazwa planety Średnica (w tys. km) Nazwa planety Średnica (w tys. km) Merkury 5 Saturn 121 Wenus 12 Uran 51 Mars 7 Neptun 50 Jowisz 143 38. W 1983 roku za pomocą szlifierki 3−6 · (3−2 : 3)−1 34 : (32 · 36 ) Notacja wykładnicza 34. Zapisz w notacji wykładniczej: a) 13 km — ile to centymetrów? b) 13 cm — ile to kilometrów? c) 2400 kg — ile to miligramów? d) 2400 mg — ile to kilogramów? diamentów Large Optics Diamonds rozdzielono wzdłuż ludzki włos na 3000 części. Zapisz w notacji wykładniczej, jaka była średnia grubość każdej części. Przyjmij, że grubość włosa jest równa około 10−4 m. 39. Przeciętnie w organizmie człowieka jest 2 · 1013 czerwonych krwinek. Każda z nich ma średnicę około 7,5 · 10−6 m. Wyobraź sobie, że ustawiamy obok siebie wszystkie te krwinki w szeregu jedna za drugą. Jaką długość miałby ten szereg? 35. Wyraź podane wielkości we wskazanej jednostce. Wynik zapisz w notacji wykładniczej. a) [m 2 ] 12 km2 30 cm2 b) [cm2 ] 29 m2 c) [dm3 ] 183 cm3 d) [km3 ] 192 000 m3 1,4 · 103 mm2 400 m3 7,5 · 1020 dm3 CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2y str. 38