Twierdzenie Hilberta o zerach

Twierdzenie Hilberta o zerach
Andrzej Nowicki
Toruń, UMK, 14 marca 1996
1
Pojęcia wstępne
k
n
k[T ]
k[t]
=
=
=
=
dowolne ciało,
liczba naturalna,
k[T1 , . . . , Tn ], pierścień wielomianów nad k,
pierścień wielomianów jednej zmiennej t nad k.
Jeśli F jest podzbiorem pierścienia k[T ], to przez V(F ) oznaczmy zbiór wszystkich wspólnych zer zbioru F , tzn. V(F ) = {a ∈ k n ; ∀f ∈F f (a) = 0}. Każdy zbiór postaci V(F ),
n
gdzie
p F ⊆ k[T ], nazywamy algebraicznym podzbiorem w k . Wiadomo, że V(F ) = V((F )) =
V( (F )).
Jeśli X jest podzbiorem zbioru k n , to oznaczmy:
I(X) = {f ∈ k[T ]; ∀ f (x) = 0}.
x∈ X
W szczególności I(∅) = k[T ]. Łatwo wykazać:
Stwierdzenie 1.1.
(1) I(X) jest radykalnym ideałem w k[T ].
(2) Jeżeli X ⊆ Y , to I(Y ) ⊆ I(X).
(3) Jeżeli X ⊆ k n , to X ⊆ VI(X).
(4) Jeżeli F ⊆ k[T ], to F ⊆ IV(F ).
(5) VIV = V.
(6) IVI = I. Jeśli X = {a} jest zbiorem jednoelementowym, to ideał I({a}) oznaczać będziemy przez
Ma . Mamy zatem: Ma = I({a}) = {f ∈ k[T ]; f (a) = 0}.
Lemat 1.2. Niech a = (a1 , . . . , an ) ∈ k n i niech B będzie ideałem w k[T ] generowanym przez
wielomiany T1 − a1 , . . . , Tn − an . Jeśli f ∈ k[T ], to f − f (a) ∈ B.
Dowód. Wystarczy to wykazać w przypadku, gdy f jest jednomianem. Ponieważ
Tis − asi = (Ti − ai )(Tis−1 + Tis−2 a1i + · · · + as−1
)
i
więc każdy wielomian postaci Tis − asi należy do B. Niech f = T1s1 · · · Tnsn . Mamy wtedy:
f − f (a) = T1s1 · · · Tnsn − as11 · · · asnn
= T1s1 T2s2 · · · Tnsn − as11 T2s2 · · · Tnsn + as11 T2s2 · · · Tnsn − as11 as22 · · · asnn
= (T1s1 − as11 )T2s2 · · · Tnsn + as11 (T2s2 · · · Tnsn − as22 · · · asnn ).
Lemat nasz wynika więc z prostej indukcji ze względu na n. Stwierdzenie 1.3. Niech a = (a1 , . . . , an ) ∈ k n . Mamy wówczas:
(1) Ideał (T1 − a1 , . . . , Tn − an ) jest maksymalny (w k[T ]);
(2) Ma = (T1 − a1 , . . . , Tn − an ).
1
2
A. Nowicki 04.03.2009
Dowód. Rozpatrzmy k-algebrową surjekcję k[T ] −→ k, f 7→ f (a). Jądrem tej surjekcji
jest oczywiście ideał Ma = I({a}). Zatem Ma jest ideałem maksymalnym w k[T ]. Równość
Ma = (T1 − a1 , . . . , Tn − an ) wynika z Lematu 1.2. Przypomnijmy, że ciało k jest algebraicznie domknięte jeśli każdy wielomian należący do
k[t] r k ma pierwiastek w k.
Stwierdzenie 1.4. Następujące warunki są równoważne:
(1) Ciało k jest algebraicznie domknięte.
(2) Każdy wielomian nierozkładalny w k[t] jest liniowy.
(3) Jeśli k ⊆ L jest algebraicznym rozszerzeniem ciał, to L = k.
(4) Jeśli k ⊆ L jest skończonym rozszerzeniem ciał, to L = k. Powyższe stwierdzenie jest dobrze znane. Dowód można znaleźć na przykład w [5] 107
lub [4] 70.
2
Wysłowienie twierdzenia
Twierdzenie 2.1 (Hilberta o zerach). Następujące warunki są równoważne.
(1) Ciało k jest algebraicznie domknięte.
(2) Każdy ideał maksymalny w k[T ] jest postaci
Ma = (T1 − a1 , . . . , Tn − an ),
gdzie a = (a1 , . . . , an ) ∈ k n .
(3) Dla każdego ideału A w k[T ], różnego od k[T ], zbiór V(A) jest niepusty.
√
(4) Dla każdego ideału A w k[T ] zachodzi równość IV(A) = A.
(5) Operacje V oraz I ustalają wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy zbiorami
algebraicznymi w k n i ideałami radykalnymi w k[T ].
3
Twierdzenie Zariskiego
W dowodzie twierdzenia Hilberta o zerach wykorzystamy następujące
Twierdzenie 3.1 (Zariski 1947). Niech B będzie skończenie generowaną algebrą nad ciałem k. Jeżeli B jest ciałem, to B jest skończonym (algebraicznym) rozszerzeniem ciała k.
Istnieją różne dowody tego twierdzenia. Patrz na przykład: [1] strony 85 lub 101 w tł. ros.
Przedstawimy dowód, pochodzący od Zariskiego (patrz [1] Zad.18 str.88). W tym celu
udowodnimy najpierw kilka lematów. Pierwszy z tych lematów jest twierdzeniem Zariskiego
dla n = 1.
Lemat 3.2. Niech A będzie k-algebrą generowaną nad k przez jeden element. Jeśli A jest
ciałem, to k ⊆ A jest skończonym (algebraicznym) rozszerzeniem ciał.
Dowód. Niech A = k[u], gdzie u ∈ A. Jeśli u = 0, to A = k i nie ma czego dowodzić.
Załóżmy więc, że u 6= 0. Element u−1 należy do A (bo A jest ciałem). Istnieją zatem w ciele
k elementy a0 , a1 , . . . , as takie, że
u−1 = as us + · · · + a1 u1 + a0
Twierdzenie Hilberta o zerach
3
oraz as 6= 0. Stąd otrzymujemy równość as us+1 + · · · + a1 u2 + a0 u1 − 1, z której wynika, że
element u jest algebraiczny nad k. Ciało A = k[u] jest więc skończonym rozszerzeniem ciała
k. Lemat 3.3. Każda dziedzina z jednoznacznością rozkładu jest pierścieniem całkowicie domkniętym.
Dowód. Załóżmy, że A jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu i K jest jej ciałem
ułamków. Niech u ∈ K będzie elementem całkowitym nad A. Należy wykazać, że u ∈ A.
Istnieją elementy a1 , . . . , as ∈ A takie, że us + a1 us−1 + · · · + an−1 u + an = 0. Ponadto,
u = p/q ∈ K, gdzie p, q są względnie pierwszymi elementami pierścienia A. Mamy zatem
równość
(p/q)s + a1 (p/q)s−1 + · · · + an−1 (p/q) + an = 0,
z której wynika, że ps = −a1 ps−1 q − a2 ps−2 q 2 − · · · − an q s . Stąd dalej wynika, że q | p, czyli
u = p/q ∈ A. Jeśli f jest niezerowym wielomianem należącym do k[t], to przez k[t]f oznaczać będziemy
podpierścień ciała k(t) (funkcji wymiernych jednej zmiennej nad k) zdefiniowany jako:
k[t]f = { fgs ; g ∈ k[t], s > 0}.
Lemat 3.4. Pierścień k[t]f nie jest ciałem.
Dowód. Jeśli f ∈ k, to k[t]f = k[t] nie jest oczywiście ciałem. Niech więc f 6∈ k i
przypuśćmy, że pierścień k[t]f jest ciałem. Element (f + 1)/f ma wtedy element odwrotny.
Niech
(f + 1)/f · g/f s = 1,
dla pewnych g ∈ k[t], s > 0. Wtedy (f + 1)g = f s+1 wbrew temu, że k[t] jest dziedziną z
jednoznacznością rozkładu. Dowód twierdzenia Zariskiego (indukcja ze względu na liczbę generatorów). Jeśli algebra
B jest generowana przez jeden element, to teza wynika z Lematu 3.2. Niech B = k[u1 , . . . , us ],
gdzie u1 , . . . , us ∈ A. Załóżmy, że s > 1 oraz że twierdzenie jest prawdziwe dla algebr o s − 1
generatorach.
Oznaczmy u = us , A = k[u] i niech L będzie ciałem ułamków pierścienia A. Wówczas
B = L[u1 , . . . , us−1 ],
a zatem (na mocy indukcji) B jest skończonym rozszerzeniem ciała L.
Elementy u1 , . . . , us−1 są pierwiastkami wielomianów monicznych o wspólczynnikach należących do L. Niech f będzie iloczynem mianowników wszystkich współczynników tych wielomianów. Elementy u1 , . . . , us−1 są więc całkowite nad Af = {g/f r ; g ∈ A, r > 0}. Zatem
pierścień B jest całkowity nad Af . W szczególności ciało L jest całkowitym rozszerzeniem
pierścienia Af (gdyż L ⊆ B).
Pokażemy teraz, że element u jest algebraiczny nad k. Przypuśćmy, że tak nie jest. Wówczas A = k[u] jest pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad k. Jest to pierścień całkowicie domknięty (Lemat 3.3). W szczególności A jest całkowicie domknięte w Af .
Zauważmy, że Af = L. Niech bowiem c ∈ L r Af . Ponieważ L jest całkowite nad Af więc
cm +
w1 m−1
f p1 c
+ ··· +
wm
f pm
= 0,
4
A. Nowicki 04.03.2009
dla pewnych w1 , . . . , wm ∈ A, m > 0, p1 , . . . , pm > 0. Niech p = max(p1 , . . . , pm ) i niech
g = f p . Możąc powyższą równość stronami przez g m otrzymujemy równość postaci
(gc)m + d1 (gc)m−1 + · · · + dm = 0,
w której elementy d1 , . . . , dm należą do A. Stąd wynika, że element gc = f p c jest całkowity
nad A. Wiemy, że pierścień A jest całkowicie domknięty w Af . Zatem f p c = a ∈ A, czyli
c = a/f p ∈ Af .
Wykazaliśmy, że Af = L. Jest to jednak sprzeczne z Lematem 3.4. Sprzeczność ta obala
nasze przypuszczenie o niealgebraiczności elementu u.
Zatem L jest skończonym rozszerzeniem ciała k oraz B jest skończonym rozszerzeniem ciała L. Stąd wynika, że B jest skończonym rozszerzeniem ciała k. To kończy dowód twierdzenia
Zariskiego. 4
Dowód twierdzenia Hilberta o zerach
(1) ⇒ (2) Niech M będzie ideałem maksymalnym w k[T ]. Wtedy pierścień ilorazowy k[t]/M
jest skończenie generowaną k-algebrą będącą ciałem. Ponieważ ciało k jest algebraicznie domknięte więc z twierdzenia Zariskiego (oraz ze Stwierdzenia 1.4) wynika, że k[T ]/M = k.
Istnieją zatem w ciele k elementy a1 , . . . , an takie, że T1 +M = a1 +M , . . . , Tn +M = an +M .
To implikuje, że Ma ⊆ M . Zatem Ma = M , gdyż ideał Ma jest maksymalny (Stwierdzenie
1.3).
(2) ⇒ (3) Niech A będzie ideałem w k[T ] różnym od k[T ]. Istnieje wtedy ideał maksymalny M
taki, że A ⊆ M . Z (2) wynika, że M = Ma , dla pewnego a ∈ k n , a zatem a ∈ V(Ma ) ⊆ V(A),
czyli V(A) 6= ∅.
(3) ⇒ (1) Niech f = f (T1 ) będzie wielomianem należącym do k[T1 ] r k. Wtedy f ∈ k[T ] =
k[T1 , . . . , Tn ] i oczywiście ideał A = k[T ]f jest różny od całego pierścienia k[T ]. Istnieje zatem
(na mocy (3)) punkt a = (a1 , . . . , an ) ∈ k n będący wspólnym zerem ideału A. W szczególności
a1 jest pierwiastkiem wielomianu f .
(3) ⇒ (4) Wykazaliśmy już, że warunki (1), (2) i (3) są równoważne. Z (3) wynika zatem,
że każdy właściwy ideał pierścienia wielomianów k[T, Y ] = k[T1 , . . . , Tn , Y ] ma wspólne zero
w k n+1 .
√
Niech
A
będzie
dowolnym
ideałem
w
k[T
].
Należy
wykazać,
że
IV(A)
=
A. Inkluzja
√
A ⊆ IV(A) zachodzi zawsze (Stwierdzenie 1.1). Wykażemy więc inkluzję w przeciwnym
kierunku.
√
Niech f ∈ IV(A). Jeśli f = 0, to oczywiście f ∈ A. Załóżmy więc, że f 6= 0 i rozważmy
ideał w k[T, Y ] generowany przez zbiór A i wielomian 1−f Y . Jest oczywiste, że zbiór V(A, 1−
f Y ) jest pusty. Z (3) wynika zatem, że rozważany ideał jest całym pierścieniem k[T, Y ];
należy w szczególności do niego jedynka. Istnieją zatem wielomiany g1 , . . . , gm , g ∈ k[T, Y ]
oraz wielomiany h1 , . . . , hm ∈ A takie, że
1 = h1 g1 + · · · + hm gm + (1 − f Y )g.
Zadziałajmy na tę równość k-algebrowym homomorfizmem ϕ : k[T, Y ] −→ k(T ) = k(T1 , . . . , Tn )
takim, że ϕ(Ti ) = Ti dla i = 1, . . . , n oraz ϕ(Y ) = 1/f . Otrzymamy wówczas równość
1 = h1 (T1 , . . . , Yn )g1 (T1 , . . . , Tn , 1/f ) + · · · hm (T1 , . . . , Yn )gm (T1 , . . . , Tn , 1/f ),
Twierdzenie Hilberta o zerach
5
z której wynika (po pomnożeniu√stronami przez odpowiednią potęgę wielomianu f ), że f s ∈ A
dla pewnego s > 0. Zatem f ∈ A.
(4) ⇒ (3) Niech A 6=√k[T ] będzie ideałem w k[T ]. Przypuśćmy, że V(A) = ∅. Mamy wówczas
sprzeczność: k[T ] 6= A = IV(A) = I(∅) = k[T ].
√
√
(5) ⇒ (4) Niech A będzie ideałem w k[T ]. Wtedy IV(A) = IV( A) = A.
(4) ⇒ (5) Ponieważ zawsze zachodzi równość VIV = V (patrz Stwierdzenie 1.1), więc złożenie
n
V ◦ I jest zawsze identycznością na rodzinie wszystkich
√ zbiorów algebraicznych w k√.
Jeśli A jest ideałem radykalnym w k[T ], to A = A i (na mocy (4)) IV(A) = A = A.
Zatem złożenie I ◦ V jest identycznością na rodzinie wszystkich ideałów radykalnych w k[T ].
To kończy dowód twierdzenia Hilberta o zerach. Przedstawiony tu dowód został opracowany na podstawie notatek z wykładu Romana
Kiełpińskiego 1971/72 (GeomAlg1 17, patrz również ZIIIA 83-85).
5
Uwagi
Twierdzenie Hilberta o zerach, to tzw. the Hilbert Nullstellensatz (patrz np. Zariski &
Samuel [8]). Często twierdzeniem Hilberta o zerach nazywa się tylko pewną część Twierdzenia
2.1. Najbardziej popularna jest implikacja (1) ⇒ (4), którą podaje się zwykle w następującej
wersji.
Twierdzenie 5.1. Jeśli ciało k jest algebraicznie domknięte i wielomian f ∈ k[T ] przyjmuje
wartość 0 we wszystkich punktach zbioru algebraicznego V(A) wyznaczonego przez ideał A ⊆
k[T ], to pewna potęga wielomianu f należy do ideału A. Taką wersję (wraz z dowodem) możemy znaleźć np. w: [8], [7], [5], [2], [3]. Implikacja (1) ⇒
(2) z Twierdzenia 2.1 jest znana w literaturze jako słaba wersja twierdzenia Hilberta o zerach.
Patrz np. [8] lub [1]. Zanotujmy jeszcze pewne sformułowanie implikacji (1) ⇒ (3), które
również nazywa się twierdzeniem Hilberta o zerach (patrz np. [3] lub [6]).
Twierdzenie 5.2. Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym i niech f1 , . . . , fs będą
wielomianami należącymi do pierścienia k[T ]. Rozważmy układ równań:
f1 (T1 , . . . , Tn ) = · · · = fs (T1 , . . . , Tn ) = 0.
Jeżeli ideał (f1 , . . . , fs ) jest różny od k[T ], to powyższy układ posiada rozwiązanie w k n . Literatura
[1] M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison–Wesley
Publishing Company, 1969.
[2] S. Balcerzyk, T. Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN, Warszawa 1985.
[3] A. Białynicki Birula, Zarys Algebry, PWN, Warszawa 1987.
[4] J. Browkin, Wybrane zagadnienia algebry, PWN, Warszawa, 1968.
[5] J. Browkin, Teoria Ciał, PWN, Warszawa, 1977.
6
A. Nowicki 04.03.2009
[6] W. Fulton, Algebraic Curves, An Introduction to Algebraic Geometry, Advanced Book
Classics, Addison-Wesley, Reading, Mass., (1978).
[7] S. Lang, Algebra, Addison–Wesley Publ. Comp. 1965.
[8] O. Zariski, P. Samuel, Commutative Algebra, New York: D. Van Nostrand, vol. I, 1958,
vol. II, 1960.