twierdzenie hilberta o zerach

TWIERDZENIE HILBERTA O ZERACH
Maciej Karpicz
Koło Naukowe Matematyków, UMK
Streszczenie
Celem niniejszego tekstu jest wprowadzenie podstawowej terminologii geometrii algebraicznej, zdefiniowania topologii Zariskiego oraz sformuowania narzędzi potrzebnych do udowodnienia klasycznego twierdzenia algebry jakim jest Twierdzenie Hilberta o Zerach (tzw. NullstellenSatz). Na koniec podamy ważne geometryczne konsekwencjie tego twierdzenia.
Maciej Karpicz
1
Twierdzenie Hilberta o zerach
2
Podstawowe pojęcia
Niech k będzie ciałem.
Definicja 1.
Pierścień R w którym każdy ideał I C R jest skończenie generowany nazywamy pierścieniem
noetherowskim.
Przykład 1.
1. Każde ciało jest pierścieniem noetherowskim.
2. Dowolna dziedzina ideałów głównych jest pierścieniem noetherowskim.
3. Pierścień k[X1 , X2 , ...] nie jest noetherowski.
Poniższe klasyczne twierdzenie podaje związek pierścieni noetherowskich R z ich pierścieniami
wielomianów R[X].
Twierdzenie 1 (Hilberta o bazie).
Jeśli R jest pierścieniem noetherowskim, to również R[X] jest pierścieniem noetherowskim.
Dowód
Można znaleźć w [1] strona 51.
Wniosek 1.
Jeśli R jest pierścieniem noetherowskim, to również R[X1 , . . . , Xn ] jest noetherowski. W szczególności jeśli R jest ciałem, to pierścień R[X1 , . . . , Xn ] jest noetherowski.
Definicja 2.
Niech T będzie podzbiorem w k[X1 , . . . , Xn ] oraz niech A ⊂ k n . Zbiorem algebraicznym nazywamy zbiór wspólnych zer wielomianów z T , czyli
V(T ) = {(a1 , . . . , an ) ∈ k n |f (a1 , . . . , an ) = 0 dla każdego f ∈ T }.
Ideałem zbioru nazywamy zbiór tych wielomianów, które zerują się na zbiorze A, czyli
I(A) = {f ∈ k[X1 , . . . , Xn ]|f (a1 , . . . , an ) = 0 dla każdego (a1 , . . . , an ) ∈ A}.
Uwaga 1.
Zauważmy, że Definicja 2 definiuje nam funkcje:
V : 2k[X1 ,...,Xn ] −→ 2k
n
oraz
n
I : 2k −→ 2k[X1 ,...,Xn ]
Maciej Karpicz
Twierdzenie Hilberta o zerach
3
Lemat 1.
Niech T ⊂ k[X1 , . . . , Xn ] oraz I = (T ) będzie ideałem generowanym przez T . Wówczas
V(T ) = V(I)
Powyższy lemat mówi nam, że każdy zbiór algebraiczny wyznaczony jest przez skończony zbiór
wielomianów.
Przykład 2.
Niech k = R i weźmy ideał I = (X − Y ) w R[X, Y ]. Wówczas V(I) jest prostą przechodzącą
przez środek układu współrzędnych na płaszczyźnie R2 . Niech A = (0, 0) ⊂ R2 . Wówczas łatwo
widać, że I(A) = (X, Y ).
1. V(T1 ) ∪ V(T2 ) = V(T1 · T2 )
Lemat 2.
2.
T
λ∈Λ V(Tλ )
= V(
S
λ∈Λ Tλ )
3. k n = V({0}) = V(∅)
4. ∅ = V(1) = V(k[X1 , . . . , Xn ])
Dowód
Udowodnimy jedynie punkty 1 i 2 ponieważ pozostałe są oczywiste.
1.
P ∈ V(T1 )∪V(T2 ) ⇐⇒ P ∈ V(T1 ) ∨ P ∈ V(T2 ) ⇐⇒ ∀t1 ∈T1 t1 (P ) = 0∨∀t2 ∈T2 t2 (P ) = 0
⇐⇒ ∀t1 ·t2 ∈T1 ·T2 t1 t2 (P ) = 0 ⇐⇒ P ∈ T1 · T2
2.
P ∈
\
V(Tλ ) ⇐⇒ ∀λ∈Λ P ∈ V(Tλ ) ⇐⇒ ∀λ∈Λ ∀f ∈Tλ f (P ) = 0
λ∈Λ
⇐⇒ ∀f ∈S
T
λ∈Λ λ
f (P ) = 0 ⇐⇒ P ∈ V(
[
Tλ )
λ∈Λ
Powyższy lemat pokazuje, że rodzina podzbiorów w k n postaci V(T ) tworzy topologię F (zbiorów
domkniętych) na k n , którą nazywamy topologią Zariskiego.
Wniosek 2.
Dowolny zbiór w topologii Zariskiego jest wyznaczony przez skończenie wiele wielomianów.
Maciej Karpicz
Twierdzenie Hilberta o zerach
4
W dalszych rozważaniach będzie nam również potrzebne pojęcie radykału ideału I.
Definicja 3.
Niech R będzie pierścieniem przemiennym, a I ideałem w R. Radykałem I nazywamy zbiór
√ tych
n
f ∈ R takich, że f ∈ I dla pewnej liczby naturalnej
√ n. Zbiór ten oznaczamy symbolem I lub
Rad(I). Ideał I nazywamy radykalnym, o ile I = I.
Stwierdzenie 1.
q√
√
Radykał ideału I jest ideałem. Ponadto
I = I.
Dowód
q√
√
I.
Pierwsza część stwierdzenia, to bezpośredni rachunek. Ponadto oczywiste jest, że I ⊂
q√
√
Niech zatem f ∈
I. Wówczas f n ∈ I dla pewnej liczby naturalnej n, ale to oznacza, że
√
(f n )m ∈ I dla pewneje liczby naturalnej m. Skoro f nm ∈ I, więc f ∈ I.
Stwierdzenie 2.
Dla dowolnego zbioru A ⊂ k n ideał I(A) C k[X1 , . . . , Xn ] jest ideałem radykalnym.
Poniższy lemat zawiera niektóre własności funkcji I oraz jej związki z funkcją V.
1. I(∅) = k[X1 , . . . , Xn ]
Lemat 3.
2. I1 ⊂ I2 ⊂ k[X1 , . . . , Xn ] =⇒ V(I2 ) ⊂ V(I1 )
3. Y1 ⊂ Y2 ⊂ k n =⇒ I(Y2 ) ⊂ V(Y1 )
4. I(
S
λ∈Λ
Yλ ) =
T
λ∈Λ
I(Yλ )
5. T ⊂ I(V(T ))
6. V(I(Y )) = Y =domknięcie podzbioru Y ⊂ k n w topologii Zariskiego.
Dowód
Punkty 1,2 i 3 są oczywiste.
4. f |S
λ∈Λ
Yλ
= 0 ⇐⇒ ∀λ∈Λ f |Yλ = 0
5. f ∈ T =⇒ f |V(T ) = 0 =⇒ f ∈ I(V(T ))
6. P ∈ Y =⇒ ∀f ∈I(Y ) f (P ) = 0 =⇒ P ∈ V(I(Y )). Stąd V(I(Y )) jest domkniętym
podzbiorem w k n zawierającym Y , więc Y ⊂ V(I(Y )). Z drugiej strony Y = V(T ) dla
pewnego zbioru T ⊂ k[X1 , . . . , Xn ]. Zatem
Y ⊂ V(T ) =⇒ I(Y ) ⊃ I(V(T )) =⇒ I(Y ) ⊃ T =⇒ V(I(Y )) ⊂ V(T ) = Y
Maciej Karpicz
2
Twierdzenie Hilberta o zerach
5
Twierdzenie Hilberta o Zerach
Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym.
Twierdzenie 2 (Hilberta o Zerach).
Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Wówczas dla dowolnego ideału I C k[X1 , . . . , Xn ]
zachodzi
√
I(V(I)) = I
Uwaga 2.
Zauważmy, że założenie o algebraicznej domkniętości ciała k jest niezbędne. Dla przykładu
2
2
niech k = R
√ i niech I = (X + Y + 1) C R[X, Y ]. Wówczas V(I) = ∅, więc I(V(I)) = I(∅) =
R[X, Y ] 6= I.
Do udowodnienia Twierdzenia Hilberta o Zerach wykorzystamy jego słabszą wersję (tzw Weak
Nullstellensatz), która łatwo wynika z następująceg twierdzenia:
Twierdzenie 3 (Zariskiego).
Niech B będzie skończenie generowaną algebrą nad ciałem k. Jeżeli B jest ciałem, to B jest
skończonym (algebraicznym) rozszerzeniem ciała k.
Dowód
Można znaleźć w [2].
Lemat 4.
Niech (a1 , . . . , an ) ∈ k n i niech I będzie ideałem w k = [X1 , . . . , Xn ] generowanym przez wielomiany T1 − a1 , . . . , Tn − an . Jeśli f ∈ k[X1 , . . . , Xn ], to f − f (a) ∈ I.
Dowód
Wystarczy wykazać tezę w przypadku, gdy f jest jednomianem. Ponieważ
Tis − a2i = (Ti − ai )(Tis−1 + Tis−2 + · · · + as−1
)
i
więc każdy wielomian postaci Tis − asi należy do I. Niech teraz f = T1s1 · . . . · Tnsn . Wtedy
F − f (a) = T1s1 · . . . · Tnsn − as11 · . . . · asnn
= T1s1 · . . . · Tnsn + as11 T2s2 · . . . · Tnsn − as11 T2s2 · . . . · Tnsn − as11 · . . . · asnn
= (T1s1 − as11 )T2s2 · . . . · Tnsn + as11 (T2s2 · . . . · Tnsn − as22 · . . . · asnn ).
Wobec tego prosta indukcja ze względu na n kończy dowód.
Twierdzenie 4 (Weak Nullstellensatz).
Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Wówczas ideał I jest maksymalny w k[X1 , . . . , Xn ]
wtedy i tylko wtedy, gdy I = (X1 − a1 , . . . , Xn − an ) dla pewnych ai ∈ k.
Maciej Karpicz
Twierdzenie Hilberta o zerach
6
Dowód
Załóżmy najpierw, że I = (X1 − a1 , . . . , Xn − an ) dla pewnych ai ∈ k, i = 1 . . . n. Rozważmy
homomorfizm k[X1 , . . . , Xn ] → k dany przez f 7→ f (a1 , . . . , an ). Oczywiście jest to surjekcja,
której jądro jest równe ideałowi I. Zatem k[X1 , . . . , Xn ]/I ∼
= k. Ponieważ k jest ciałem, więc I
jest ideałem maksymalnym.
Niech I będzie ideałem maksymalnym w k[X1 , . . . , Xn ]. Wtedy pierścień ilorazowy k[X1 , . . . , Xn ]/I
jest ciałem, więc jest również skończenie generowaną k-algebrą. Z twierdzenia Zariskiego wynika,
że k ⊆ k[X1 , . . . , Xn ]/I jest skończonym rozszerzeniem ciała k, ale k jest algebraicznie domknięte, więc k[X1 , . . . , Xn ]/I = k. Istnieją zatem elementy a1 , . . . , an w ciele k takie, że T1 + I =
a1 + I, . . . , Tn + I = an + M . To implikuje, że (X1 − a1 , . . . , Xn − an ) ⊆ I, ale wiemy z pierwszej
części dowodu, że (X1 − a1 , . . . , Xn − an ) jest maksymalny, więc I = (X1 − a1 , . . . , Xn − an ).
Jesteśmy już gotowi do udowodnienia
Twierdzenie 5 (Hilberta o Zerach).
Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Wówczas dla dowolnego ideału I C k[X1 , . . . , Xn ]
zachodzi
√
I(V(I)) = I
Dowód
√
Niech f ∈ I. Wówczas istnieje n ∈ Z takie, że f n ∈ I, ale wtedy f (P ) = 0 dla dowolnego
P ∈ V(I), więc f (P ) = 0 dla dowolnego P ∈ V(I). Zatem f ∈ I(V(I)).
Niech I = (f1 , . . . , fs ) i załóżmy, że f ∈ I(V(I)). Pokażemy, że istnieje N ∈ Z takie, że
P
f N = si=1 hi (X1 , . . . , Xn )fi (X1 , . . . , Xn ). Niech A = (f1 , . . . , fs , f X0 − 1) będzie ideałem w
k[X0 , X0 , . . . , Xn ]. Wtedy albo A jest ideałem właściwym albo A = k[X0 , X1 , . . . , Xn ]. Załóżmy,
że A jest ideałem właściwym i niech J będzie ideałem maksymalnym w k[X0 , X1 , . . . , Xn ] zawierającym A. Wtedy na mocy poprzedniego twierdzenia J = (X0 − a0 , X1 − a1 , . . . , Xn − an ) dla
pewnych ai ∈ k. Rozważmy ewaluacje k[X0 , X1 , . . . , Xn ] → k daną przez f 7→ f (a0 , a1 , . . . , an ).
Oczywiście jądrem tego homomorfizmu jest J, a ponieważ A ⊂ J, więc
f1 (a1 , . . . , an ) = 0
..
.
fs (a1 , . . . , an ) = 0
f (a1 , . . . , an )a0 = 1
Pierwsze s równań implikuje, że punkt (a1 , . . . , an ) ∈ V(I), ale ponieważ g ∈ I(V(I)), więc
f (a1 , . . . , an ) = 0 co przeczy ostatniemu równaniu. Zatem A nie może być ideałem właściwym,
więc 1 ∈ A. Zatem możemy zapisać
1 = g1 f1 + · · · + gs fs + g0 (1 − X0 f )
gdzie g1 , . . . , gs , g0 ∈ k[X0 , X0 , . . . , Xn ]. Podstawiając w powyższym równaniu 1/f zamiast X0
otrzymujemy
1 = h1 f1 + · · · + hs fs
Maciej Karpicz
Twierdzenie Hilberta o zerach
7
gdzie h1 , . . . , hs ∈ k[1/f, X1 , . . . , Xn ]. Mnożąc przez odpowiednio wysoką potęgę wielomianu f
otrzymujemy
fN =
s
X
Hi fi
i=1
gdzie Hi ∈ k[X1 , . . . , Xn ], więc f ∈
√
I.
3
WNIOSKI
Wniosek 3.
Jeśli I jest ideałem radykalnym w k[X1 , . . . , Xn ], to I(V(I)) = I. Zatem funkcje I i V wyznaczają
wzajemnie odwrotne bijekcje tzn:
{zbiory algebraiczne w k n } ←→ {ideały radykalne w k[X1 , . . . , Xn ]}
Wniosek 4.
Układ równań wielomianowych
fi (X1 , . . . , Xn ) = 0,
i = 1, . . . , p
posiada rozwiązanie w k n wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieją wielomiany g1 , . . . , gp ∈ k[X1 , . . . , Xn ]
spełniające
1 = f1 g1 + · · · + fp gp
Wniosek 5.
Niech I będzie ideałem w k[X1 , . . . , Xn ]. Wówczas V(I) jest zbiorem skończonym wtedy i tylko
wtedy, gdy k[X1 , . . . , Xn ]/I jest skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad k. Ponadto,
w tym przypadku #V(I) ¬ dimk (k[X1 , . . . , Xn ]).
Definicja 4.
Zbiór algebraiczny A ⊂ k n jest nierozkładalny jeśli nie jest sumą niepustych różnych od A
zbiorów algebraicznych.
Stwierdzenie 3.
Zbiór algebraiczny A ⊂ k n jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy I(A) jest ideałem
pierwszym w k[X1 , . . . , Xn ].
Maciej Karpicz
Twierdzenie Hilberta o zerach
8
Wniosek 6.
Jeśli I jest ideałem pierwszym, to V(I) jest nierozkładalny. Zatem istnieje bijekcja
{ideały pierwsze w k[X1 , . . . , Xn ]} ←→ {nierozkładalne zbiory algebraiczne w k n }
Ideały maksymalne odpowiadają punktom.
Maciej Karpicz
Twierdzenie Hilberta o zerach
Literatura
[01] S. Balcerzyk, T. Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN, Warszawa 1985.
[02] Rebecca Torrey, Hilbert’s Nullstellensatz
[03] W. Fulton, Algebraic Curves: An introduction to Algebraic Geometry
[04] Andrzej Nowicki, Twierdzenie Hilberta o zerach, 1996
9