DSF

Matematyka 2
Elementy analizy wektorowej cz IV
Całka powierzchniowa niezorientowana
Literatura
 M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy
wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS,
Wrocław, 2000
 W.Żakowski, W.Kołodziej; Matematyka cz II;
WNT, Warszawa, 1984
 W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski;
Matematyka dla studiów esperymentalnych;
WNT, Warszawa, 1981
 W.Stankiewicz; Zadanie z matematyki dla
wyższych uczelni technicznych cz II; PWN,
Warszawa, 1983
Funkcja wektorowa dwóch zmiennych
Definicja 1.
Niech D będzie obszarem na płaszczyźnie. Funkcją
wektorową dwóch zmiennych
 w przestrzeni
3
nazywamy odwzorowanie r : D  R Funkcję taką
będziemy zapisywać w postaci

r u, v  xu, v, yu, v, zu, v gdzie
u, v D
Płat powierzchniowy
Definicja 2.
Niech D będzie prostokątem domkniętym oraz niech

funkcja wektorowa r u, v  xu, v, yu, v , zu, v  gdzie
u, v D będzie ciągła i różniczkowalna na tym
prostokącie. Płatem powierzchniowym
 nazywamy
zbiór wartości funkcji wektorowej r tj. zbiór

  r u, v  : u, v  D
Postaci płatów powierzchniowych
Fakt
Płatami powierzchniowymi są wykresy funkcji ciągłych
postaci:
1) z=z(x,y); (x,y)D1, gdzie D1 jest obszarem na
płaszczyźnie XOY
2) x=x(y,z); (y,z)D2, gdzie D2 jest obszarem na
płaszczyźnie YOZ
3) y=y(x,z); (x,z)D3, gdzie D3 jest obszarem na
płaszczyźnie XOZ
Jeżeli funkcje x, y, z mają ciągłe pochodne cząstkowe
pierwszego rzędu na odpowiednich obszarach, to
płaty powierzchniowe są gładkie.
Pole płata powierzchniowego
Twierdzenie 1.
Jeżeli płat gładki  jest wykresem, funkcji z=z(x,y),
gdzie (x,y)D to jego pole wyraża się wzorem
  
D
2
2
 z   z 
1       dxdy
 x   y 
Analogicznie wyglądają wzory na pola płatów
gładkich, które są wykresami funkcji postaci x=x(y,z)
oraz y=y(x,z).
Definicja i oznaczenia

Niech   r u, v  : u, v  D będzie gładkim płatem
powierzchniowym, zaś D domkniętym obszarem
regularnym na płaszczyźnie.
P  D1, D2 ,, Dn ,
- podział obszaru D na obszary
regularne Dk
d k - średnica obszaru Dk
 P  maxdk : 1  k  n - średnica podziału P
uk* , vk*  Dk - punkt pośredni
 k - część płata  odpowiadająca obszarowi Dk
 k - pole płata 
k
płata k odpowiadający punktowi
xk* , yk* , zk*  - punkt
uk* , vk*  Dk w podanej parametryzacji




Definicja
Definicja 3.
Niech funkcja f będzie ograniczona na gładkim płacie
. Całką powierzchniową niezorientowaną z funkcji f
po płacie  definiujemy


f x, y, z dS 
n
lim
 


* * *
f
x
 k , yk , zk k
 P 0 k 1
o ile granica istnieje oraz nie zależy od sposobu
podziału obszaru P ani od sposobu wyboru punktów
pośrednich.
Całka powierzchniowa niezorientowana
po płacie kawałkami gładkim
Definicja 4.
Niech  będzie płatem złożonym z płatów gładkich
1, 2, …, m oraz niech f będzie funkcją ograniczoną
na płacie . Całkę powierzchniową niezorientowaną z
funkcji f po płacie  definiujemy
 f dS   f dS   f dS     f dS

1
2
m
o ile całki po prawej stronie istnieją.
Liniowość całki
Twierdzenie 2.
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na kawałkami
gładkim płacie , to
1)
  f  g dS   f dS   g dS

2)

 cf dS  c  f dS



Zamiana na całkę podwójną
Twierdzenie 3.
Jeżeli płat gładki  jest wykresem funkcji z=z(x,y),
gdzie (x,y)D oraz funkcja f jest ciągła na , to wzór
na zamianę całek przyjmuje postać
 f x, y, z dS  

D
2
2

 z
  z
f x, y, z  1   x, y    x, y  dxdy
 x
  y

Podobne wzory mamy dla płatów opisanym
równaniami x=x(y,z), y=y(x,z).
Zamiana na całkę podwójną
Przykład
Zamienić całkę powierzchniową z funkcji f(x,y,z)=z2
po płacie  - część sfery x2+y2+z2=4 odciętą
płaszczyznami z=0 i z=1.
Pole płata
Fakt
Pole kawałkami gładkiego płata wyraża się wzorem:
   dS
D
Pole płata
Przykład
Obliczyć pole części sfery x2+y2+z2=4 leżącej w
półprzestrzeni z≥1.
Zastosowania
• Pole kawałkami gładkiego płata
• Masa płata powierzchniowego
• Momenty statyczne względem płaszczyzn układy
współrzędnych
• Współrzędne środka masy
• Momenty bezwładności względem osi oraz względem
początku układu współrzędnych
• Natężenie pola elektrycznego w punkcie
• Siła przyciągania grawitacyjnego
• Środki masy płatów symetrycznych
Elementy analizy
wektorowej cz IV
Całka powierzchniowa
niezorientowana