Elementy analizy wektorowej - Katedra Matematyki, Politechnika

Elementy analizy wektorowej
Całki powierzchniowe
wykład z MATEMATYKI
Automatyka i robotyka
studia niestacjonarne
sem. II, rok ak. 2009/2010
Katedra Matematyki
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
1
Płaty powierzchniowe
Niech D ⊂ R2 będzie obszarem na płaszczyźnie.
Funkcją wektorową dwóch zmiennych w przestrzeni nazywamy odwzorowanie ~r : D → R3 .
Funkcję taką będziemy zapisywali w postaci
~r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] , gdzie (u, v) ∈ D.
v
Dp
O
u
R3
Z
6
R2
v
6
~r
:
-
~r(u, v)
-
O
u
Y
X
Mówimy, że funkcja wektorowa ~r jest różnowartościowa na obszarze D, gdy
(u1 , v1 ) 6= (u2 , v2 ) ⇒ ~r(u1 , v1 ) 6= ~r(u2 , v2 ),
dla dowolnych (u1 , v1 ), (u2 , v2 ) ∈ D.
Jeżeli funkcje x, y, z są ciągłe na obszarze D, to mówimy, że
funkcja wektorowa ~r jest ciągła na obszarze D.
Jeżeli funkcje x, y, z mają ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze D, to
mówimy, że funkcja wektorowa ~r jest różniczkowalna w sposób ciągły na obszarze D.
Niech D będzie prostokątem domkniętym oraz niech funkcja wektorowa ~r : D → R3 ,
~r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)]
będzie ciągła i różnowartościowa na prostokącie D.
Płatem prostym powierzchniowym nazywamy zbiór wartości funkcji wektorowej ~r
S = {~r(u, v) : (u, v) ∈ D}.
1
Automatyka i Robotyka
sem II, 2009/2010
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Zbiór w przestrzeni, taki że każdy jego punkt ma otoczenie domknięte, które jest płatem prostym, nazywamy płatem powierzchniowym.
Z
6
Z
6
S
S
-
-
O
/X
O
Y
Zbiór S jest płatem powierzchniowym
/X
Y
Zbiór S nie jest płatem powierzchniowym
Płat powierzchniowy S = {~r(u, v) : (u, v) ∈ D}, gdzie D jest obszarem domkniętym z brzegiem kawałkami gładkim, a funkcja wektorowa ~r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] jest różnowartościowa i różniczkowalna
w sposób ciągły na obszarze D, nazywamy płatem gładkim, gdy na obszarze D spełniony jest warunek
∂~r
∂~r ~
×
6= 0,
∂u ∂v
h
i
h
i
∂y ∂z
∂~
r
∂x ∂y ∂z
∂~
r
gdzie ∂u
= ∂u
, ∂u , ∂u oraz ∂v
= ∂x
∂v , ∂v , ∂v . Płat, który można podzielić na skończoną liczbę płatów
kawałkami gładkich, nazywamy płatem kawałkami gładkim.
Z
6
Z
6
S
S
-
O
Y
/
-
O
Y
/X
Płat powierzchniowy kawałkami gładki
X
Płat powierzchniowy gładki
Twierdzenie 1.1 (równania parametryczne ważniejszych płatów powierzchniowych).
1. Płaszczyzna przechodząca przez punkt (x0 , y0 , z0 ) i rozpięta na wektorach ~a = [x1 , y1 , z1 ], ~b =
[x2 , y2 , z2 ] ma przedstawienie parametryczne
S:



x = x0 + x1 · u + x2 · v


y =y +y ·u+y ·v
0
1
2



z = z + z · u + z · v
0
1
2
, gdzie u ∈ R, v ∈ R.
2. Sfera o środku O(0, 0, 0) i promieniu r ma przedstawienie parametryczne
S:



x = r · cos u · cos v


y = r · sin u · cos v



z = r · sin v
π π
, gdzie u ∈ h0, 2πi, v ∈ − ,
.
2 2
2
Automatyka i Robotyka
sem II, 2009/2010
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
3. Powierzchnia stożka określona równaniem
q
z = k x2 + y 2 , gdzie x2 + y 2 ¬ r 2
ma przedstawienie parametryczne
S:



x = v · cos u


, gdzie u ∈ h0, 2πi, v ∈ h0, ri.
y = v · sin u



z = k · v
4. Powierzchnia paraboloidy obrotowej określona równaniem
z = k x2 + y 2 , gdzie x2 + y 2 ¬ r 2
ma przedstawienie parametryczne
S:



x = v · cos u


, gdzie u ∈ h0, 2πi, v ∈ h0, ri.
y = v · sin u



z = k · v 2
5. Powierzchnia walcowa określona równaniem
x2 + y 2 = r 2 , gdzie 0 ¬ z ¬ H
ma przedstawienie parametryczne
S:



x = r · cos u


y = r · sin u
, gdzie u ∈ h0, 2πi, v ∈ h0, Hi.



z = v
Twierdzenie 1.2 (o postaci płatów powierzchniowych).
Płatami powierzchniowymi są wykresy funkcji ciągłych postaci:
1. S : z = f (x, y), (x, y) ∈ D1 , gdzie D1 jest obszarem na płaszczyźnie XOY ;
2. S : x = g(y, z), (y, z) ∈ D2 , gdzie D2 jest obszarem na płaszczyźnie Y OZ;
3. S : y = h(x, z) (x, z) ∈ D3 , gdzie D3 jest obszarem na płaszczyźnie XOZ.
Jeżeli funkcje f, g, h mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na odpowiednich obszarach, to
płaty powierzchniowe są gładkie.
Niech S = {~r(u, v) : (u, v) ∈ D} będzie gładkim płatem powierzchniowym. Wtedy pole tego płata
wyraża się wzorem:
x ∂~r
∂~r |S| =
×
dudv.
∂u
∂v D
Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji z = f (x, y), gdzie (x, y) ∈ D, to jego pole wyraża się
wzorem:
|S| =
x
D
s
1+
3
∂f
∂x
2
+
∂f
∂y
2
dxdy.
Automatyka i Robotyka
sem II, 2009/2010
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji x = g(y, z), gdzie (y, z) ∈ D, to jego pole wyraża się
wzorem:
|S| =
x
s
∂g
∂y
∂h
∂x
1+
D
2
+
∂g
∂z
∂h
∂z
2
dydz.
2
dxdz.
Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji y = h(x, z), gdzie (x, z) ∈ D, to jego pole wyraża się
wzorem:
|S| =
x
s
1+
D
2
2
+
Całki powierzchniowe niezorientowane
Rozważmy gładki płat powierzchniowy S = {~r(u, v) : (u, v) ∈ D}, gdzie D jest domkniętym obszarem
regularnym na płaszczyźnie.
r
-~
Z
6
v
6
S
p
p D
p
p
p
p
p
p
p
p
p
O
p
-
u
O
-
Y
X
Oznaczenia w definicji całki powierzchniowej niezorientowanej:
• P = {∆D1 , ∆D2 , . . . , ∆Dn }, – podział obszaru D na obszary regularne ∆Dk (o rozłącznych wnętrzach), gdzie 1 ¬ k ¬ n;
• dk – śednica obszaru ∆Dk , t.j kres górny odległości punktów zbioru ∆Dk , gdzie 1 ¬ k ¬ n;
• δ(P) = max dk - średnica podziału P;
1¬k¬n
• Ξ = {(u∗1 , v1∗ ), (u∗2 , v2∗ ), . . . , (u∗n , vn∗ )}, gdzie (u∗k , vk∗ )∗ ∈ ∆Dk dla 1 ¬ k ¬ n – zbiór punktów pośrednich podziału P
• ∆Sk – część płata S odpowiadająca obszarowi ∆Dk w podanej wyżej parametryzacji;
• |∆Sk | – pole płata ∆Sk , gdzie 1 ¬ k ¬ n;
• (x∗k , yk∗ , zk∗ ) – punkt płata ∆Sk odpowiadający punktowi (u∗k , vk∗ ) ∈ ∆Dk w podanej parametryzacji,
gdzie 1 ¬ k ¬ n.
Definicja 2.1 (całka powierzchniowa niezorientowana).
Niech funkcja f będzie ograniczona na gładkim płacie S.
Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie S definiujemy wzorem
x
S
def
f (x, y, z) dS =
lim
δ(P)→0
n
X
f (x∗k , yk∗ , zk∗ ) · |∆Sk | ,
k=1
o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje i nie zależy od sposobu podziału P obszaru D ani
od sposobu wyboru punktów pośrednich Ξ.
4
Automatyka i Robotyka
sem II, 2009/2010
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Uwaga 1. Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie S oznaczamy też symbolem:
s
f dS.
S
Definicja 2.2 (całka powierzchniowa niezorientowana po płacie kawałkami gładkim).
Niech S będzie płatem złożonym z płatów gładkich S1 , S2 , . . . Sm oraz niech f będzie funkcją ograniczoną na płacie S. Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie S definiujemy
wzorem:
x
x
x
x
def
f dS =
f dS +
f dS + . . . +
f dS,
S
S1
S2
Sm
o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.
Twierdzenie 2.3 (liniowość całki powierzchniowej niezorientowanej).
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na kawałkami gładkim płacie S, to
x
x
x
x
x
(f + g) dS =
f dS +
g dS i
(c · f ) dS = c ·
f dS, gdzie c ∈ R.
S
2.1
S
S
S
S
Zamiana całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną
Twierdzenie 2.4 (o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną).
Jeżeli funkcja f jest ciągła na płacie gładkim S = {~r(u, v) : (u, v) ∈ D}, gdzie obszar D ⊂ R2 jest
regularny, to
x
x
∂~
r
∂~r f (x, y, z) dS=
f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) · dudv.
×
∂u ∂v S
D
UWAGA:
Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji z = g(x, y), gdzie (x, y) ∈ D oraz funkcja g jest ciągła
na D, to wzór na zamianę całek ma postać:
x
f (x, y, z) dS =
S
x
s
f (x, y, g(x, y)) 1 +
D
∂g
∂x
2
+
∂g
∂y
2
dxdy.
Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji x = ĝ(y, z), gdzie (y, z) ∈ D oraz funkcja ĝ jest ciągła
na D, to wzór na zamianę całek ma postać:
x
f (x, y, z) dS =
S
x
s
f (ĝ(y, z), y, z) 1 +
D
∂ĝ
∂y
2
+
∂ĝ
∂z
2
dydz.
Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji y = h(x, z), gdzie (x, z) ∈ D oraz funkcja h jest ciągła
na D, to wzór na zamianę całek ma postać:
x
S
f (x, y, z) dS =
x
s
f (x, h(x, z), z) 1 +
D
5
∂h
∂x
2
+
∂h
∂z
2
dxdz.
Automatyka i Robotyka
sem II, 2009/2010
3
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Zastosowania całek powierzchniowych niezorientowanych
Pole płata
Pole kawałkami gładkiego płata S wyraża się wzorem:
x
|S| =
dS.
S
Masa płata
Masa płata materialnego S o gęstości powierzchniowej masy ̺ wyraża się wzorem:
x
M=
̺(x, y, z)dS.
S
Momenty statyczne
Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych płata materialnego S o gęstości powierzchniowej masy ̺ wyrażają się wzorami:
x
x
x
M Sxy =
z · ̺(x, y, z) dS, M Sxz =
y · ̺(x, y, z) dS, M Syz =
x · ̺(x, y, z) dS.
S
S
S
Współrzędne środka masy
Współrzędne środka masy płata materialnego S o gęstości powierzchniowej masy ̺ wyrażają się wzorami:
xC =
M Syz
,
M
yC =
M Sxz
,
M
zC =
M Sxy
.
M
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności względem osi OX, OY , OZ płata materialnego S o gęstości powierzchniowej
masy ̺ wyrażają się wzorami:
x
(y 2 + z 2 ) · ̺(x, y, z) dS,
Ix =
S
Iy =
x
Iz =
x
(x2 + z 2 ) · ̺(x, y, z) dS,
S
(x2 + y 2 ) · ̺(x, y, z) dS.
S
Moment bezwładności względem punktu O(0, 0, 0) płata materialnego S o gęstości powierzchniowej masy
̺ wyraża się wzorem:
x
IO =
(x2 + y 2 + z 2 ) · ̺(x, y, z) dS.
S
6
Automatyka i Robotyka
sem II, 2009/2010
4
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Całki powierzchniowe zorientowane
Płat powierzchniowy dwustronny, na którym wyróżniono dwie strony: ujemną i dodatnią nazywamy
płatem zorientowanym.
Powiemy wówczas, że płat S został zorientowany od strony nazywanej ujemną do strony nazywanej dodatnią.
Zorientowanie płata S powoduje ustalenie pewnego kierunku normalnej (od ujemnej do dodatniej strony
płata) w każdym jego punkcie. Jeżeli S oznacza płat zorientowany, to −S oznacza płat różniący się od S
tylko zorientowaniem (orientacją). Płaty S i −S są przeciwnie zorientowane.
Dla płatów, które są wykresami funkcji postaci z = f (x, y), x = g(y, z), y = h(x, z) za stronę dodatnią
przyjmujemy zwykle górną część takiego płata.
Niech płat gładki S ma przedstawienie parametryczne
def
n
o
S = ~r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] : (u, v) ∈ D .
Wtedy wersor normalny ~n płata S w punkcie (x0 , y0 , z0 ) tego płata, odpowiadającym punktowi (u0 , v0 )
obszaru D, wyraża się wzorem:
∂~
r
× ∂~r
~n = ± ∂u ∂v ,
∂~
r
∂~
r
× ∂v
∂u
∂~
r ∂~
gdzie wektory ∂u
, ∂vr są obliczone w punkcie (u0 , v0 ). Znak "±" ustala się na podstawie orientacji płata
S. Przymujemy, że wersor normalny płata zorientowanego jest skierowany od jego strony ujemnej do
dodatniej.
UWAGA: Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji z = f (x, y), gdzie (x, y) ∈ D, to wersor normalny
~n tego płata w punkcie (x0 , y0 , z0 ), gdzie z0 = f (x0 , y0 ) wyraża się wzorem:


~n = 
r
1+
− ∂f
∂x
2
∂f
∂x
+
∂f
∂y
2 , r
1+
− ∂f
∂y
∂f
∂x
2
+
∂f
∂y

1
2 , r
1+
∂f
∂x
2
+
∂f
∂y


2  .
Wersor normalny ~n można przedstawić w postaci ~n = [cos α, cos β, cos γ], gdzie α, β, γ oznaczają kąty
między tym wersorem, a dodatnimi częściami odpowiednio osi OX, OY , OZ.
Z ~n
6
Z
6
S
Ip p -
n = [cos α, cos β, cos γ]
~ ~
k
>
-
XXX
XX
X
O
-
Y
O
X
X
7
Y
Automatyka i Robotyka
sem II, 2009/2010
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Definicja 4.1 (całka powierzchniowa zorientowana).
~ = [P, Q, R] będzie polem wektorowym na płacie gładkim zorientowanym S .
Niech F
Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego F~ po płacie S definiujemy wzorem
x
x
def
F~ (x, y, z) ◦ ~n(x, y, z) dS =
P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy =
S
=
x
S
(P (x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ) dS,
S
gdzie ~n(x, y, z) = [cos α, cos β, cos γ] oznacza wersor normalny płata zorientowanego S wystawiony w
punkcie (x, y, z) tego płata.
UWAGA: W zapisie wektorowym powyższa definicja przyjmuje postać:
x
x
~ def
~ (~r) ◦ ~n(~r) dS, gdzie dS
~ def
F~ (~r) ◦ dS
=
F
= [dydz, dzdx, dxdy].
S
S
~ po płacie S oznaczamy też krótko:
Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego F
x
x
~
P dydz + Q dzdx + R dxdy, a w notacji wektorowej
F~ ◦ dS
S
S
Yy
9 6
~
= I F (x, y)
}
= k
66 ?
6X
?? O
w -
7
^R
s
-
Z
6
~
-F (x, y)
Y
-O /
-
X
Definicja 4.2 (całka powierzchniowa po płacie kawałkami gładkim).
Niech S będzie kawałkami gładkim płatem powierzchniowym zorientowanym, utworzonym z płatów gładkich S1 , S2 , . . . , Sm , o orientacjach pokrywających się z orientacją płata S. Niech F~ będzie polem wektorowym na płacie S.
Całkę powierzchniową z pola wektorowego F~ po płacie S definiujemy wzorem:
x
x
x
x
~ ◦ dS
~ def
~+
~ + ... +
~ ◦ dS,
~
F
=
F~ ◦ dS
F~ ◦ dS
F
S
S1
S2
Sm
o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.
UWAGA: Jeżeli S jest płatem zorientowanym zamkniętym, to wtedy piszemy:
{
x
w miejsce
.
S
S
Twierdzenie 4.3 (liniowość całki powierzchniowej zorientowanej).
~ iG
~ po kawałkami gładkim płacie
Jeżeli istnieją całki powierzchniowe zorientowane z pól wektorowych F
powierzchniowym zorientowanym S, to
x
x
x
x
x
~ +G
~ ◦ dS
~=
~ ◦ dS
~+
~ ◦ dS
~
~ ◦ dS
~ =c·
~ gdzie c ∈ R.
F
F
G
i
c·F
F~ ◦ dS,
S
Ponadto
S
S
x
S
~ ◦ dS
~=−
F
x
S
−S
gdzie −S jest płatem o orientacji przeciwnej do płata S.
8
S
~
F~ ◦ dS,
Automatyka i Robotyka
sem II, 2009/2010
4.1
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Zamiana całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójną
Twierdzenie 4.4 (o zamianie całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójną).
~ = [P, Q, R] jest ciągłe na gładkim i zorientowanym płacie
Jeżeli pole wektorowe F
n
def
o
S = ~r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] : (u, v) ∈ D ,
gdzie D jest obszarem regularnym na płaszczyźnie, to
x
P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy =
S
=±
x
D
"
∂y
P (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∂u
∂z
∂y ∂v ∂z ∂v
∂u
∂z ∂z ∂u ∂v + Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∂x ∂x ∂u
∂v
#
∂x ∂x ∂u ∂v +R(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∂y ∂y dudv.
∂u
znak „±" ustala się na podstawie orientacji płata S.
∂v
UWAGA: W zapisie wektorowym wzór ma postać:
x
x
∂~r
∂~r
~
~
~
F (~r) ◦ dS = ±
F (~r(u, v)) ◦
×
dudv
∂u ∂v
S
D
~ jest ciągłe
Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji z = f (x, y), gdzie (x, y) ∈ D, oraz pole wektorowe F
na S, to
x
P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy =
S
x
P (x, y, f (x, y)) −
D
∂f
∂x
+ Q(x, y, f (x, y)) −
∂f
∂y
+ R(x, y, f (x, y)) dxdy.
~ jest ciągłe
Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji x = g(y, z), gdzie (x, y) ∈ D, oraz pole wektorowe F
na S, to
x
P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy =
S
x
D
∂g
P (g(y, z), y, z) + Q(g(y, z), y, z)) −
∂y
∂g
+ R(g(y, z), y, z) −
∂z
dydz.
~ jest ciągłe
Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji y = h(x, z), gdzie (x, y) ∈ D, oraz pole wektorowe F
na S, to
x
P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy =
S
x
D
P (x, h(x, z), z) −
∂h
∂x
+ Q(x, h(x, z), z)) + R(x, h(x, z), z) −
∂h
∂z
dxdz.
~ przez powierzchnię zorientowaną S).
Definicja 4.5 (strumień pola wektorowego F
~ przez powierzchnię zorientowaną S (ze strony ujemnej na dodatStrumień pola wektorowego F
nią, to jest w kierunku wersora ~n) określamy wzorem:
x
def
~
Φ =
F~ ◦ dS.
S
9
Automatyka i Robotyka
sem II, 2009/2010
5
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Elementy analizy wektorowej
Jeżeli każdemu punktowi M pewnego obszaru przyporządkowana jest określona wartość pewnej skalarnej
wielkości fizycznej u = u(M ), to mówimy, że w tym obszarze określone jest pole skalarne.
Zbiór punktów płaszczyzny, w których funkcja pola przybiera jednakowe wartości nazywamy
liniami równych wartości (poziomicami albo izoliniami) płaskiego pola skalarnego.
Zbiór punktów przestrzeni, w których funkcja pola przybiera jednakowe wartości nazywamy
powierzchnią równych wartości (warstwicą) przestrzennego pola skalarnego.
Jeżeli każdemu punktowi M pewnego obszaru przyporządkowany jest pewien wektor F~ (M ), to mówimy,
że w tym obszarze określone jest pole wektorowe.
Linia pola wektorowego jest to krzywa, która w każdym swoim punkcie jest styczna do wektora odpowiadającego temu punktowi.
~
F
-
p
M
Definicja 5.1 (operator Hamiltona - nabla).
Operator Hamiltona (nabla) określany jest wzorem:
def
∇ = ~i
∂
∂
∂
+ ~j
+ ~k .
∂x
∂y
∂z
Definicja 5.2 (gradient funkcji).
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze V ∈ R3 . Gradient funkcji f
określony jest wzorem:
∂f ∂f ∂f
def
gradf = ∇f =
,
,
∂x ∂y ∂z
Twierdzenie 5.3 (własności gradientu). Niech funkcje wektorowe f i g mają gradienty na obszarze
V ∈ R3 . Wtedy:
1. grad(f + g) = gradf + gradg,
2. grad(af ) = agradf , gdzie a ∈ R,
3. grad(f · g) = g · gradf + f · gradg
4. grad
f
g
=
g·gradf −f ·gradg
g2
5. gradh(f ) = h′ (f ) · gradf
6. f ≡ const ⇐⇒ gradf ≡ ~0
7.
df
d~
v
= (gradf ) ◦ ~v ,
gdzie ~v jest wersorem.
10
Automatyka i Robotyka
sem II, 2009/2010
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Definicja 5.4 (pole wektorowe potencjalne).
~ nazywamy potencjalnym na obszarze V ⊂ R, jeżeli istnieje funkcja u : V → R, taka że
Pole wektorowe F
F~ = grad u.
~.
Funkcję u nazywamy potencjałem pola wektorowego F
Powierzchnią równopotencjalną nazywamy zbiór wszystkich punktów, dla których potencjał pola
u(x, y, z) ma stałą wielkość.
Definicja 5.5 (rotacja (wirowość) pola wektorowego).
~ = [P, Q, R] będzie różniczkowalnym polem wektorowym określonym na obszarze V ⊂ R3 .
Niech F
~ określamy wzorem:
Rotację (wirowość) pola wektorowego F
~i
def
~ = ∇ × F~ = ∂
rot F
∂x
P
~j
∂
∂y
Q
~k ∂ ∂z R
Pole wektorowe o tej własności, że w każdym jego punkcie rotacja jest równa ~0 nazywamy polem potencjalnym
albo bezwirowym.
Twierdzenie 5.6 (własności rotacji).
~ iG
~ będą różniczkowalne
Niech funkcja f ma gradient na obszarze V ⊂ R3 oraz niech pola wektorowe F
na tym obszarze. Wtedy:
~ + G)
~ = rot F~ + rot G,
~
1. rot (F
~ ) = a rot F~ , gdzie a ∈ R,
2. rot (aF
~ ) = (gradf ) × F~ + f · rot F
~.
3. rot (f F
Ponadto dla funkcji u dwukrotnie różniczkowalnej w sposób ciągły na V mamy
4. rot (gradu) = ~0.
Definicja 5.7 (dywergencja (rozbieżność) pola wektorowego).
~ = [P, Q, R] będzie polem wektorowym różniczkowalnym w sposób ciągły na obszarze V ⊂ R3 .
Niech F
Dywergencję (rozbieżność) pola wektorowego F~ określamy wzorem:
∂P
∂Q ∂R
~ def
div F
= ∇ ◦ F~ =
+
+
.
∂x
∂y
∂z
Twierdzenie 5.8 (własności dywergencji).
~ iG
~ będą różniczkowalne sposób ciągły na obszarze V ⊂ R3 . Wtedy:
Niech funkcja f oraz pola wektorowe F
~ + G)
~ = div F
~ + div G,
~
1. div (F
~ ) = a div F
~ , gdzie a ∈ R,
2. div (aF
~ ) = (gradf ) ◦ F
~ + f · div F
~,
3. div (f F
~ × G)
~ =G
~ ◦ rot F~ − F
~ ◦ rot G.
~
4. div (F
~ dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągły na V , to
Ponadto jeżeli pole wektorowe F
~ = 0.
5. div rot F
11
Automatyka i Robotyka
sem II, 2009/2010
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
~ (M0 ) > 0, to punkt M0 nazywamy źródłem, a jeżeli div F~ (M0 ) < 0, to punkt M0 nazywamy
Jeżeli div F
~ (M0 ) > 0, to w dowolnym nieskończenie
upustem (ujściem lub ściekiem). W przypadku gdy div F
~ (M0 ) < 0 –
małym obszarze otaczającym punkt M0 ciecz jest wytwarzana, a w przypadku gdy div F
ciecz znika.
Wartość bezwzględna dywergencji charakteryzuje natężenie źródła lub upustu.
Pole wektorowe, w którego każdym punkcie dywergencja jest równa zeru nazywamy polem solenoidalnym
(lub bezźródłowym).
∇ · u = grad u,
~ = div F~ ,
∇◦F
∇ × F~ = rot F~ .
Operator
Symbol
Definicja
Argument
Wynik
gradient
dywergencja
rotacja
grad u
~
div F
~
rot F
∇u
∇ ◦ F~
~
∇×F
skalar
wektor
wektor
wektor
skalar
wektor
~ = div rot F
~ =0
∇ ∇×F
∇ × (∇u) = rot grad u = 0
∇2 u = ∇ (∇u) = div grad u = ∆u, gdzie ∆ – operator Laplace’a (∇2 = ∆)
∆u(x, y, z) =
∂2u ∂2u ∂2u
+ 2 + 2
∂x2
∂y
∂z
12
Automatyka i Robotyka
sem II, 2009/2010
6
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego oraz Stokesa
Jeżeli S jest
oznaczali
{powierzchnią zamkniętą, to całkę po zewnętrznej stronie powierzchni S będziemy{
symbolem
, zaś całkę po wewnętrznej stronie powierzchni S będziemy oznaczali symbolem
.
S+
S−
Twierdzenie 6.1 (wzór Gaussa-Ostrogradskiego). Jeżeli
S jest zorientowanym kawałkami gładkim płatem zamkniętym, który jest brzegiem obszaru domkniętego V ⊂ R3 ,
pole wektorowe F~ = [P, Q, R] jest różniczkowalne sposób ciągły na obszarze V ,
to
{
y
~=
F~ ◦ dS
div F~ dV.
V
S+
Po rozwinięciu powyższa równość (tzn. wzór Gaussa-Ostrogradskiego) przyjmuje postać:
{
S+
y ∂P
∂Q ∂R
P dydz + Q dzdx + R dxdy =
+
+
dxdydz.
∂x
∂y
∂z
V
Z
6
~
KF
Y
V
+
z
U
-
O
Y
X
Twierdzenie 6.2 (wzór Stokesa). Jeżeli
S jest zorientowanym kawałkami gładkim płatem, którego brzeg L jest łukiem kawałkami gładkim
skierowanym zgodnie z orientacją płata S,
pole wektorowe F~ = (P, Q, R) jest różniczkowalne sposób ciągły na płacie S (łącznie z brzegiem L),
to
˛
~ ◦ d~r =
F
x
S
L
~
rot F~ ◦ dS.
Po rozwinięciu powyższa równość (tzn. wzór Stokesa) przyjmuje postać:
˛
x ∂R ∂Q ∂P
∂R
∂Q ∂P
P dx + Q dy + R dz =
−
dydz +
−
dzdx +
−
dxdy.
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
L
S
Z
6
o
Y:
9 y
+ O
z ~
F
L 9 U
U
z
-
Y
X
13
Automatyka i Robotyka
sem II, 2009/2010
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Uwaga 2. Wzór Greena jest szczególnym przypadkiem wzoru Stokesa. Rzeczywiście, przyjmując, że S ⊂
XOY jest płatem zorientowanym o brzegu L oraz, że pole wektorowe F~ określone na tym płacie ma postać
~ = [P, Q, 0], przy czym funkcje P i Q zależą tylko od zmiennych x i y otrzymamy:
F
˛
x ∂Q ∂P −
P (x, y) dx + Q(x, y) dy =
dxdy.
∂x
∂y
D
L
7
Zastosowania całek powierzchniowych zorientowanych
Objętość obszaru V
Objętość obszaru V ograniczonego płatem zamkniętym S zorientowanym na zewnątrz wyraża się
wzorami:
{
{
{
1{
|V | =
x dydz + y dzdx + z dxdy =
z dxdy =
x dydz =
y dzdx
3 +
+
+
+
S
S
S
S
Strumień pola wektorowego
Ilość cieczy przepływającej w jednostce czasu przez płat zorientowany S (ze strony ujemnej
na dodatnią) wyraża się wzorem:
x
~
~v (x, y, x) ◦ dS,
(1)
Φ=
S
gdzie ~v (x, y, z) oznacza prędkość cieczy w punkcie (x, y, z) tego płata.
Jeżeli S jest powierzchnią zamkniętą, ograniczającą pewien obszar V , a całka (1) jest brana po zewnętrznej
stronie powierzchni S, to wielkość Φ nazywamy strumieniem wektora ~v od wewnątrz powierzchni S
(tj. w kierunku normalnej zewnętrznej do tej powierzchni).
Całka
{
~
~v (x, y, x) ◦ dS
S+
jest równa różnicy między ilością cieczy jaka wypłynęła z obszaru V w jednostce czasu a ilością cieczy,
jaka w tej samej jednostce czasu wpłynęła do obszaru V .
Zgodnie ze wzorem Stokesa cyrkulacja pola wektorowego i jego rotacja są związane zależnością
˛
x
~ ◦ d~r =
~ ◦ dS
~
F
rot F
L
S
oznaczającą, że cyrkulacja wektora po konturze zamkniętym L jest równa strumieniowi rotacji tego
wektora przez powierzchnię S, ograniczoną tym konturem.
14