CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA

CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA
DEFINICJA (płat powierzchmniowy dwustronny)
Powierzchnię nazywamy dwustronną, gdy wychodząc z dowolnego punktu P0 po dowolnym
konturze zamkniętym nieprzecinającym brzegu powierzchni powracamy do punktu P0 będąc
po tej samej stronie powierzchni.
DEFINICJA (płat powierzchniowy zorientowany)
Płat powierzchniowy dwustronny, na którym wyróżniono jedną ze stron, nazywamy płatem
zorientowanym. Wyróżnioną stronę nazywamy stroną dodatnią. Płat zorientowany przeciwnie
niż Σ oznaczamy −Σ.
UWAGA Dla płatów zamkniętych ograniczających pewien obszar za stronę dodatnią przyjmujemy na ogół stronę zewnętrzną. Jeśli płat jest wykresem funkcji z = f (x, y), to za stronę
dodatnią przyjmujemy zwykle stronę górną.
FAKT (wersor normalny płata) Niech Σ = {~r(u, v) : (u, v) ∈ D} będzie płatem zorientowanym.
Wtedy wersor normalny ~n płata Σ w punkcie ~r(u, v) dany jest wzorem
∂~
r
~n = ± ∂u
∂~r
∂u
×
×
∂~
r
∂v ,
∂~
r
∂v gdzie znak ± dobiera się na podstawie orientacji płata Σ.
Jeśli Σ = {(x, y, z(x, y)) : (x, y) ∈ D}, to
1
∂z ∂z
~n = q
(− , − , 1),
∂z 2
∂z 2
∂x ∂y
1 + ( ∂x ) + ( ∂y )
gdy stroną dodatnią jest strona górna.
PRZYKŁADY
DEFINICJA (całka powierzchniowa zorientowana)
Niech F~ = (P, Q, R) będzie polem wektorowym na gładkim płacie zorientowanym Σ. Wtedy
ZZ
def
P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy =
Σ
ZZ
(F~ (x, y, z) ◦ ~n(x, y, z))dS.
Σ
W zapisie wektorowym
ZZ
~ def
F~ (~r) ◦ dS
=
Σ
ZZ
(F~ ◦ ~n)dS,
Σ
~ = (dydz, dzdx, dxdy).
gdzie dS
INTERPRETACJA
FIZYCZNA
RR
~ jest ilością cieczy przepływającej w jednostce czasu przez płat zorientowany
~v (x, y, z) ◦ dS
Σ
Σ ze strony ujemnej na dodatnią z prędkością ~v (x, y, z) w punkcie (x, y, z).
DEFINICJA (całka po płacie kawałkami gładkim)
Jeśli Σ jest kawałkami gładkim płatem zorientowanym złożonym z płatów gładkich Σ1 , Σ2 ,
...,Σn o orientacjach pokrywających się z orientacją płata Σ, to
ZZ
~ def
F~ ◦ dS
=
Σ
ZZ
~+
F~ ◦ dS
Σ1
ZZ
~ + ... +
F~ ◦ dS
Σ2
ZZ
~
F~ ◦ dS,
Σn
jeśli całki po prawej stronie istnieją.
TWIERDZENIE (własności całki powierzchniowej zorientowanej)
~ po kawałkami gładkim płacie Σ, to
Jeśli istnieją całki z pól wektorowych F~ i G
1.
RR
~ ◦ dS
~ = RR F~ ◦ dS
~ + RR G
~ ◦ dS,
~
(F~ + G)
Σ
2.
RR
Σ
~=c
(cF~ ) ◦ dS
Σ
3.
RR
−Σ
RR
Σ
~ gdzie c ∈ R,
F~ ◦ dS,
Σ
~ = − RR F~ ◦ dS.
~
F~ ◦ dS
Σ
TWIERDZENIE (o zamianie całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójną)
Niech pole wektorowe F~ = (P, Q, R) będzie ciągłe na gładkim zorientowanym płacie Σ.
1. Jeśli Σ = {(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : (u, v) ∈ D}, gdzie D jest obszarem regularnym na
płasszczyźnie, to
ZZ
Σ
~=±
F~ ◦ dS
ZZ
D
[F~ (~r(u, v)) ◦ (
∂~r
∂~r
×
)]dudv.
∂u ∂v
Znak stojący przed całką dobiera się na podstawie orientacji płata Σ.
2. Jeśli Σ jest wykresem funkcji z = z(x, y) : (x, y) ∈ D, to
ZZ
P dydz+Qdzdx+Rdxdy = −
ZZ
[P (x, y, z(x, y))
D
Σ
∂z
∂z
+Q(x, y, z(x, y)) −R(x, y, z(x, y))]dxdy,
∂x
∂y
gdy wybrano górną stronę powierzchni.
PRZYKŁADY
TWIERDZENIE (wzór Gaussa)
Jeśli
1. Σ jest zorientowanym, kawałkami gładkim płatem zamkniętym ograniczającym obszar domknięty V ⊂ R3 , przy czym stroną dodatnią płata jest strona zewnętrzna,
2. pole wektorowe F~ = (P, Q, R) jest różniczkowalne w sposób ciągły na V ,
to
ZZ
Σ
~=
F~ ◦ dS
ZZZ
divF~ dxdydz.
V
W postaci rozwiniętej:
ZZ
Σ
PRZYKŁADY
P dydz + Qdzdx + Rdxdy =
ZZZ
V
(
∂P
∂Q ∂R
+
+
)dxdydz.
∂x
∂y
∂z
TWIERDZENIE (wzór Stokesa)
Jeśli
1. Σ jest zorientowanym, kawałkami gładkim płatem, którego brzeg Γ jest łukiem kawałkami
gładkim zorientowanym zgodnie z orientacją płata Σ,
2. pole wektorowe F~ = (P, Q, R) jest różniczkowalne w sposób ciągły na płacie Σ (łącznie z
brzegiem Γ),
to
I
Γ
F~ ◦ d~r =
ZZ
~
(rotF~ ) ◦ dS.
Σ
W postaci rozwiniętej:
I
P dx + Qdy + Rdz =
Γ
PRZYKŁADY
ZZ
Σ
(
∂R ∂Q
∂P
∂R
∂Q ∂P
−
)dydz + (
−
)dzdx + (
−
)dxdy.
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y