Lista 3

Statystyka II
Estymacja Przedziałowa
Lista 3
Zad. 1 Postanowiono zbadać, w jakim wieku były osoby, które w zeszłym roku przynajmniej raz były w teatrze.
Pobrano próbę o liczebności n = 120 osób i na tej podstawie oszacowano średnią wieku X = 45.5 oraz odchylenie
standardowe s = 15. Na poziomie ufności 1 − α = 0.95 wyznaczyć przedział ufności dla średniej. Jaki jest
sens tych obliczeń? Czy będę postępował w ten sam sposób (budował przedział ufności), jeżeli zapytam o wiek
wszystkie, uczęszczające do teatru osoby?
Zad. 2 Inwestor chce oszacować ryzyko pewnego przedsięwzięcia, które przynosi losowy zysk o rozkładzie normalnym. Ryzyko jest mierzone odchyleniem standardowym zysku. Po obliczeniu średniej i wariancji z próby prostej
złożonej z n = 17 zysków z przeszłości, otrzymano następujące wyniki:X̄ = 1500 zł, Sn2 = 64516 zł2 . Podać
przedziały ufności dla oczekiwanego zysku jak i ryzyka na poziomie ufności 0.99.
Zad. 3 W losowo wybranej grupie samochodów osobowych przeprowadzono badanie zużycia benzyny na — tej samej
dla wszystkich — trasie długości 100 km. Okazało się, że średnia zużycia benzyny (w l/100 km) dla tej grupy
samochodów wynosiła 8.1; odchylenie standardowe 0.8. Zakładając, że badana cecha ma rozkład normalny,
wyznaczyć 99% realizację przedziału ufności dla wartości przeciętnej zużycia benzyny przez samochody tej marki
na rozpatrywanej trasie.
Zad. 4 Zmierzono czas wykonania pewnego detalu przez n = 169 losowo wybranych pracowników.
arytmePŚrednia
n
tyczna X̄n z pomiarów jest równa 125 minut, a wariancja Sn2 = 144 minuty2 (gdzie Sn2 = n1 i=1 (Xi − X̄n )2 ).
Przedziałem ufności dla wartości oczekiwanej czasu wykonania detalu jest przedział (122.618; 127.382). Obliczyć,
na jakim poziomie ufności został wyznaczony ten przedział.
Zad. 5 Czas czekania na zgłoszeniu się abonenta do centrali telefonicznej ma rozkład normalny z wariancją σ 2 = 81 s2 .
Ile niezależnych pomiarów czasu czekania na abonenta należy wykonać, aby obliczony na ich podstawie przedział
ufności 1 − α = 0.99 dla wartości oczekiwanej czasu czekania miał długość mniejszą od czterech sekund.
Zad. 6 Wzrost losowo wybranego studenta Politechniki Wrocławskiej ma rozkład normalny o nieznanej wartości
średniej i wariancji. Pobrano próbę prostą o liczności n = 26 i po wyznaczeniu przedziału ufności dla średniej
na poziomie 1 − α = 0.9 otrzymano następujący wynik: (162; 178). Obliczyć średni wzrost i wariancję wzrostu w
pobranej próbie.
Zad. 7 W celu oszacowania p·100% (0 ¬ p ¬ 1) wyborców zdecydowanych poprzeć pewnego kandydata w najbliższych
wyborach przeprowadzono badania ankietowe wśród 400 losowo wybranych osób. Na pytanie czy opowiadają się
za tym kandydatem udzielają jednej z dwóch odpowiedzi: TAK lub NIE. Okazało się, że 240 osób poprze tego
kandydata. Wyznaczyć przedział ufności dla nieznanego p na poziomie ufności 1 − α = 0.95. Ponadto:
• czy ustalona liczność próby na poziomie 400 jest wystarczająca, aby dokładność szacunku (mierzona jako
połowa długość przedziału) wyniosła 2.5%?
• jak liczna powinna być próba, by wskaźnik poparcia oszacować z maksymalnym błędem nieprzekraczającym
0.5%?
Zad. 8 Na podstawie losowej próby 600 nabywców kawy otrzymano następujący przedział ufności dla frakcji konsumentów lojalnych wobec marki: (0, 35; 0, 45). Dokonać estymacji punktowej oraz określić średni błąd szacunku
frakcji konsumentów lojalnych, jeśli zbudowany przedział pokrywa nieznaną frakcję konsumentów lojalnych z
prawdopodobieństwem 0.95.
Zad. 9 Dlaczego agencje badawcze prowadząc obserwacje poparcia dla ugrupowań politycznych przy próbie liczącej
1111 respondentów gwarantują maksymalny błąd szacunku na poziomie 3%? Jeśli przewiduje się, że LPR może
zyskać 2% poparcia wyborców jak liczna powinna być próba, by wskaźnik ten oszacować z maksymalnym błędem
nieprzekraczającym 0.3%?
Zad. 10 W sondażu dotyczącym cen papierosów zapytano 20 respondentów, jak będą się one kształtować po przystąpieniu Polski do UE. Punktem odniesienia była paczka papierosów w cenie 4.0 zł. W wyniku badania otrzymano
następujące odpowiedzi (w zł):
10.20
11.00
10.90
10.30
8.50
8.70
9.40
11.70
9.70
10.40
8.40
11.90
8.30
11.50
11.20
9.10
10.00
8.30
9.20
9.90
Czy liczba respondentów jest wystarczająca do wyznaczenia 95% przedziału ufności dla średniej ceny papierosów z
błędem nie większym niż 1 zł? Jeżeli nie, to ilu jeszcze respondentów zależy zapytać? Zbudować również przedział
ufności dla odchylenia standardowego.
Robert Kapłon