Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 9 Dziaªania na relacjach

Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 9
Dziaªania na relacjach
Na poprzednim wykªadzie wprowadzili±my poj¦cie funkcji odwrotnej oraz poj¦cie skªadania funkcji.
Podobne poj¦cia mo»na zdeniowa¢ dla dowolnych relacji (nie b¦d¡cych funkcjami).
Def. 9.1
Niech
R⊂X ×Y
b¦dzie relacj¡. Relacj¦
R−1 ⊂ Y × X,
okre±lon¡ zwi¡zkiem
(
)
∀, x ∈ X ∀ y ∈ Y : ⟨y, x⟩ ∈ R−1 ⇔ ⟨x, y⟩ ∈ R
nazywamy relacj¡ odwrotn¡ (lub przeciwn¡) do relacji
Def. 9.2
R⊂X ×Y
i
nazywamy zªo»eniem relacji
R
R.
S ⊂ Y × Z. Relacj¦ R ◦ S ⊂ X × Z, okre±lon¡ zwi¡zkiem
(
)
∀, x ∈ X ∀ z ∈ Z : ⟨x, z⟩ ∈ R ◦ S ⇔ ∃ y ∈ Y : (⟨x, y⟩ ∈ R) ∧ (⟨y, z⟩ ∈ S)
Niech
i
S.
Uwaga. Prosz¦ zwróci¢ uwag¦ na inn¡ konwencje przy zapisie skªadania ogólnych relacji (od lewej
do prawej) i funkcji (od prawej do lewej).
Lemat 9.1
Niech
R⊂X ×Y
i
S ⊂Y ×Z
(
R◦S
b¦d¡ relacjami. Wówczas
)−1
= S −1 ◦ R−1 .
Dowód
Dla dowolnych
x∈X
i
z∈Z:
(
)−1 (1)
(
) (2)
⟨z, x⟩ ∈ R ◦ S
⇔ ⟨x, z⟩ ∈ R ◦ S ⇔ ∃ y ∈ Y : (⟨x, y⟩ ∈ R) ∧ (⟨y, z⟩ ∈ S)
(3)
⇔ ∃ y ∈ Y : (⟨y, x⟩ ∈ R−1 ) ∧ (⟨z, y⟩ ∈ S −1 )
(4)
(5)
⇔ ∃ y ∈ Y : (⟨z, y⟩ ∈ S −1 ) ∧ (⟨y, x⟩ ∈ R−1 ) ⇔ ⟨z, x⟩ ∈ S −1 ◦ R−1 ,
gdzie równowa»no±ci (1) i (3) wynikaj¡ z denicji 9.1, równowa»no±ci (2) i (5) z denicji 9.2, za±
równowa»no±¢ (4) jest realizacj¡ prawa przemienno±ci dla koniunkcji.
Relacje s¡ zbiorami, mo»emy wi¦c dla nich deniowa¢ tak»e zwykªe operacje mnogo±ciowe.
Def. 9.3 Niech R, R1 , R2 ⊂ X × Y
1. Relacj¦
b¦d¡ relacjami
R1 ∪ R2 = {⟨x, y⟩ ∈ X × Y : ⟨x, y⟩ ∈ R1 ∨ ⟨x, y⟩ ∈ R1 }
nazywamy sum¡ relacji
R1
i
R2 .
R1 ∩ R2 = {⟨x, y⟩ ∈ X × Y : ⟨x, y⟩ ∈ R1 ∧ ⟨x, y⟩ ∈ R1 }
R1 i R2 .
2. Relacj¦
relacji
1
nazywamy cz¦±ci¡ wspóln¡
3. Relacj¦
R′ = {⟨x, y⟩ ∈ X × Y : ¬(⟨x, y⟩ ∈ R)}
nazywamy dopeªnieniem relacji
X = Y = R. Sum¡ okre±lonych na R2 ≡ R × R relacji > i =
relacji > i 6 jest relacja =; dopeªnieniem relacji > jest relacja 6.
Dla przykªadu: niech
cz¦±ci¡ wspóln¡
R.
jest relacja
>;
Relacja równowa»no±ci
Przypomnijmy teraz:
Def. 6.4
R
O relacji
okre±lonej na zbiorze
•
zwrotna, gdy
•
symetryczna, gdy
•
przechodnia, gdy
Def. 9.4
Relacj¦
X ×X
mówimy, »e jest
∀ x ∈ X : ⟨x, x⟩ ∈ R,
∀ x, y ∈ X : ⟨x, y⟩ ∈ R ⇒ ⟨y, x⟩ ∈ R,
∀ x, y, z ∈ X : (⟨x, y⟩ ∈ R) ∧ (⟨y, z⟩ ∈ R) ⇒ ⟨x, z⟩ ∈ R.
R ⊂ X ×X
nazywamy relacj¡ równowa»no±ci, gdy jest ona zwrotna, symetryczna
i przechodnia.
Tw. 9.1
P (X)
Niech
X
b¦dzie zbiorem i niech
okre±lamy relacj¦
R
P (X) oznacza zbór wszystkich podzbiorów X. Na P (X) ×
zwi¡zkiem
∀ A, B ∈ P (X) : ⟨A, B⟩ ∈ R ⇔ istnieje bijekcja A → B.
Tak zdeniowana relacja jest relacj¡ równowa»no±ci na
P (X) × P (X).
Dowód
R
jest zwrotna, bo dla ka»dego zbioru
R
jest symetryczna, je±li bowiem
bijekcja ze zbioru
Wreszcie, je±li
B
w zbiór
A⊂X
f : A→B
funkcja to»samo±ciowa
IA : A → A
jest bijekcj¡.
jest bijekcj¡ to (na mocy twierdzenia 8.6)
f −1
jest
A.
f : A→B ig: B→C
s¡ bijekcjami, to
g◦f : A→C
tak»e jest bijekcj¡ (prosty
dowód tego faktu jako ¢wiczenie).
Notacja.
b¦dziemy
R jest relacj¡ równowa»no±ci
pisa¢ x ∼R y lub po prostu x ∼ y.
Je±li
na zbiorze
X ×X
to dla
x, y ∈ X
zamiast
⟨x, y⟩ ∈ R
Przykªady relacji równowa»no±ci
9.1 Niech
m, n ∈ N. Relacja m ∼ n ⇔ 2|(m + n) (suma liczb m i n jest liczba parzyst¡) jest relacj¡
równowa»no±ci.
9.2 Niech
x, y ∈ R.
Relacja
x ∼ y ⇔ x−y ∈ Z
(przez
relacj¡ równowa»no±ci.
2
Z
oznaczamy zbiór liczb caªkowitych) jest
9.3 Niech
L
ℓ1 , ℓ2 ∈ R
b¦dzie zbiorem prostych na pªaszczy¹nie. Dla
deniujemy relacj¦ równowa»-
no±ci wzorem
ℓ1 ∼ ℓ2 ⇔ ℓ1 ∥ ℓ2
9.4 Niech
E
(proste
ℓ1 i ℓ2
s¡ równolegªe).
b¦dzie zbiorem wektorów zwi¡zanych na pªaszczy¹nie (przez wektor zwi¡zany rozumiemy
⃗ℓp = ⟨p1 , p2 ⟩, ⃗ℓ′ = ⟨p′ , p′ ⟩. Niech wreszcie w
p
1 2
pewnym ukªadzie wspóªrz¦dnych punkt p1 ma wspóªrz¦dne ⟨x1 , y1 ⟩ punkt p2 wspóªrz¦dne ⟨x2 , y2 ⟩,
′
′
′
′
′
′
punkt p1 wspóªrz¦dne ⟨x1 , y1 ⟩ za± punkt p2 wspóªrz¦dne ⟨x2 , y2 ⟩. Relacj¦ równowa»no±ci na E × E
uporz¡dkowan¡ par¦ punktów pªaszczyzny). Oznaczmy
deniujemy zwi¡zkiem
⃗ℓp ∼ ⃗ℓ′ ⇔
p
9.5 Niech
X
(
) (
)
x2 − x1 = x′2 − x′2 ∧ y2 − y1 = y2′ − y1′ .
b¦dzie dowolnym zbiorem. Przykªadem relacji równowa»no±ci na
∀ x, y ∈ X :
Def. 9.5
Niech
∼
abstrakcji) elementu
jest
(
)
x∼y ⇔ x=y .
b¦dzie relacj¡ równowa»no±ci na zbiorze
a∈X
X ×X
X.
Klas¡ równowa»no±ci (lub klas¡
nazywamy zbiór
[a] = {x ∈ X : x ∼ a}.
Dowolny element
x ∈ [a]
nazywamy reprezentantem klasy
[a].
W przykªadzie 9.1 powy»ej mamy dwie klasy abstrakcji:
[1] = {1, 3, 5, . . .}
i
[2] = {2, 4, 6, . . .}.
Zauwa»my, »e klasa abstrakcji ma t¦ sam¡ posta¢ niezale»nie od tego, którego z jej reprezentantów
u»yjemy, aby ja wyznaczy¢:
[1] = [3] = [5] = . . .
oraz
[2] = [4] = [6] = . . .
W przykªadzie 9.2 klasa abstrakcji wyznaczona jest przez liczb¦ rzeczywist¡ z przedziaªu
[0, 1).
Na
przykªad
[0] = {0, ±1, ±2, . . .} = [1] = [−1] = [2] = [−2] = . . . ,
[1]
{1 1
}
[
]
[
]
[
]
[
]
1
=
= 13 + 1 = 31 − 1 = 13 + 2 = 31 − 2 = . . . ,
3
3 , 3 ± 1, 3 ± 2, . . .
[π − 3] = {π, π ± 1, π ± 2, π ± 3 . . .} = [π] = [π + 1] = [π − 1] = [π + 2] = [π − 2] = . . .
ℓ stanowi zbiór wszystkich prostych na pªaszczy¹nie
przez prost¡ ℓ.
W przykªadzie 9.3 klas¦ równowa»no±ci prostej
równolegªych do
ℓ,
czyli kierunek wyznaczany
W przykªadzie 9.4 o klasie abstrakcji wektora
⃗ℓp
mo»emy my±le¢ jak o wektorze swobodnym, nieza-
czepionym w »adnym punkcie pªaszczyzny, którego rzuty na osie
warto±¢ jak rzuty wektora
Wreszcie, w przykªadzie 9.5, klasa abstrakcji ka»dego
samego
xiy
pokrywaj¡ maj¡ tak¡ sam¡
⃗ℓp .
x, ∀ x ∈ X : [x] = {x}.
3
x ∈ X
jest jednoelementowa i skªada si¦ z
Obserwacja, »e posta¢ klasy abstrakcji nie zale»y od tego, którego z jej reprezentantów u»yjemy,
aby klas¦ zdeniowa¢, jest wa»na. Precyzyjniej ujmiemy j¡ w
Tw. 9.2
[a1 ] i [a2 ] b¦d¡ klasami abstrakcji
[a1 ] ∩ [a2 ] = ∅, albo [a1 ] = [a2 ].
Niech
Wówczas albo
relacji równowa»no±ci
∼
okre±lonej na zbiorze
X.
Dowód
[a1 ] ∩ [a2 ] = ∅,
b ∈ [a1 ] ∩ [a2 ]. Z faktu,
Je±li
[a1 ] ∩ [a2 ] ̸= ∅ i
b ∈ [a1 ], wi¦c b ∼ a1
to twierdzenie jest prawdziwe. Zaªó»my wi¦c, »e
»e
i z symetryczno±ci relacji
b ∈ [a2 ] wynika, »e b ∼ a2 ; podobnie, poniewa»
∼, mamy a1 ∼ b. Poniewa» relacja ∼ jest przechodnia,
niech
sk¡d,
wi¦c
(a1 ∼ b) ∧ (b ∼ a2 ) ⇒ a1 ∼ a2 .
Niech teraz
x
b¦dzie dowolnym elementem zbioru
[a1 ].
Z przechodnio±ci relacji
∼:
(x ∼ a1 ) ∧ (a1 ∼ a2 ) ⇒ x ∼ a2 ⇒ x ∈ [a2 ]
gdzie druga implikacja wynika z denicji klasy abstrakcji
∀x ∈ X :
równowa»n¡ inkluzji
[a1 ] ⊂ [a2 ].
(
[a2 ].
Wykazali±my implikacj¦:
)
x ∈ [a1 ] ⇒ x ∈ [a2 ]
Dowód inkluzji
[a2 ] ⊂ [a1 ]
jest analogiczny.
Klasy abstrakcji mog¡ posiada¢ wªasno±ci, których elementy zbioru
X
nie maj¡. Na nast¦pnym
wykªadzie poka»emy jak wychodz¡c od pewnej relacji równowa»no±ci zdeniowanej na zbiorze
par liczb naturalnych zdeniowa¢ (jako klasy abstrakcji) liczby caªkowite, jak zdeniowa¢ liczby
wymierne jako klasy abstrakcji relacji równowa»no±ci okre±lonej na zbiorze par liczb caªkowitych
oraz podamy konstrukcje liczb rzeczywistych jako klas abstrakcji na zbiorze ci¡gów Cauchy'ego liczb
wymiernych.
4