Zestaw zadań - kongruencje w Z

Zestaw zadań - kongruencje w Z
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(a)
(b)
9.
10.
Udowodnić, że jeśli a ≡ b (mod n) i k|n, to a ≡ b (mod k).
Jeśli k ≡ 1 (mod 4), to 6k+5 ≡ ? (mod 4).
Udowodnić, że a ≡ b (mod n) wtedy i tylko wtedy, gdy a2+b2 ≡ 2ab (mod n2).
Udowodnić,. że jeśli a i b są liczbami całkowitymi takimi, że a ≡ b (mod p) dla każdej
liczby pierwszej p, to a=b.
Udowodnić
(a) (n-a)2 ≡ a2 (mod n);
(b) (2n-a)2 ≡ a2 (mod 4n).
p-1
Pokazać, że a ≡ 1 (mod p) dla danych a i p
(a) a=2, p=5;
(b) a=4, p=7;
(c) a=3, p=11.
Znaleźć wszystkie rozwiązania kongruencji
(a) 2x ≡ 3 (mod 5);
(b) 3x ≡ 1 (mod 7);
(c) 6x ≡ 9 (mod 15);
(d) 6x ≡ 10 (mod 15).
Które z poniższych kongruencji mają rozwiązanie ?
(a) x2 ≡ 1 (mod 3);
(b) x2 ≡ 2 (mod 7); (c) x2 ≡ 3 (mod 11).
Udowodnić, że jeśli a ≡ b (mod 2n), to a2 ≡ b2 (mod 4n);
Udowodnić, że jeśli a ≡ b (mod 3n), to a3 ≡ b3 (mod 9n).
Udowodnić, że jeśli a ≡ 3 (mod 4), to nie istnieją liczby całkowite c i d takie, że a=c2+d2.
Udowodnić, że jeśli a ≡ 2 (mod 4), to nie istnieją liczby całkowite c i d takie, że a=c2-d2.
11.
(a) Udowodnić, że każda liczba naturalna przystaje do swojej ostatniej cyfry modulo 10;
(b) Udowodnić, że ostatnią cyfrą pełnego kwadratu nie może być 2,3,7 ani 8.
12. Udowodnić, że jeśli a jest liczbą całkowitą, to ostatnią cyfrą a4 jest 0,1,5 lub 6.
13.
(a) Udowodnić albo zaprzeczyć: jeśli a2 ≡ b2 (mod n), to a ≡ b (mod n) lub a ≡ -b (mod n);
(b) Wykonać punkt (a) przyjmując dodatkowo, że n jest liczbą pierwszą.
14. Udowodnić, że jeśli a2 ≡ 1 (mod 2), to a2 ≡ 1 (mod 4).
(a) Pokazać, że 10n ≡ 1 (mod 9) dla każdej liczby naturalnej n;
(b) Udowodnić, że każda liczba naturalna przystaje do sumy swoich cyfr modulo 9.
15. Udowodnić, że 10n ≡ (-1)n (mod 11) dla każdej liczby naturalnej n.
16. Udowodnić, że jeśli a2 ≡ 6 (mod 10), to a2-6 ≡ 10 (mod 20).
17. Udowodnić, że a5 ≡ a (mod 30) dla każdego całkowitego a.
18. Rozwiązać równanie
(a) x2=1 w Z8;
(b) x4=1 w Z5;
(c) x2+3x+2=0 w Z6;
(d) x2+1=0 w Z12.
19. Znaleźć element a w Z7 taki, że każdy niezerowy element w Z7 jest potęgą a. Zrobić to
samo dla Z5 i Z6.