WZM – ćw. 5: kongruencje i pierścienie ilorazowe wielomianów 1

WZM – ćw. 5: kongruencje i pierścienie ilorazowe wielomianów
1. Znaleźć element odwrotny do danego we wskazanym ciele:
a) 4 w Z11 . b) 33 w Z97 . c) 36 w Z41 .
2. Rozwiązać układ kongruencji:
x ≡ 41 mod 65,
x ≡ 35 mod 72.
x ≡ 3 mod 7,
x ≡ 4 mod 5,
x ≡ 1 mod 9
Pr
Można posłużyć się wzorem: x = k=1 ak xk Mk ,, gdzie Mk xk ≡ 1 mod mk .
3. Ile elementów ma pierścień Z3 [x]/(x2 + 2). Jak można je reprezentować?
4. Czy pierścień Z3 [x]/(x2 + 1) jest ciałem? Obliczyć (2x + 1)−1 .
5. Napisać tabelki operacji w pierścieniu Z2 [x]/(x2 + 1).
6. Które z elementów są nierozkładalne w danym pierścieniu? Jeśli element jest nierozkładalny, znajdź odpowiednie ciało ilorazowe modulo ideał generowany przez ten
element.
a) x4 − 3 w Q[x].
b) x3 + 2x + 1 w Z3 [x].
c) x4 + 2x3 + 2x + 1 w Z3 [x].
7. Układ równań
14x − 89y
−35x + 82y
= −1003
=
681
rozwiązać kolejno w Z2 , Z3 oraz Z5 . Następnie przy pomocy chińskiego twierdzenia
o resztach rozwiązać ten układ w Z zakładając, że istnieje rozwiązanie w postaci pary
liczb zawartych między 0 i 29.
8. Korzystając z tw. Fermata: ap ≡ a mod p dla dowolnej liczby pierwszej p:
0
a) wykazać, że jeśli b ≡ b0 mod p − 1, to ab ≡ ab mod p;
b) obliczyć 7126 mod 11.
9. Tw. Eulera: Jeśli nwd(a, n) = 1, to aϕ(n) ≡ 1 mod n.
Obliczyć 13101 modulo 16.
10. Zbiór warstw pierścienia Q[x] względem ideału (x3 + 2) tworzy ciało. Oblicz sumę
i iloczyn elementów x2 + 3x + 1 oraz −2x2 + 4 w tym ciele.
11. Napisać tabelki operacji w pierścieniu Z2 [x]/(x3 +x+1). Uzasadnić, że ten pierścień
jest ciałem. Jaka jest charakterystyka tego ciała?
Zadanie domowe.
W.J.Gilbert, W.K.Nicholson, Algebra współczesna z zastosowaniami: 9.61—9.67