Zad 16 Dla zwięzłości zapisu użyjmy następujących zmiennych

Zad 16
Dla zwięzłości zapisu użyjmy następujących zmiennych zdaniowych, odpowiadających częściom
składowym rozważanych zdań:
„mylę się” – m
„dzisiaj jest sobota” – ds
„dzisiaj to wczoraj” – dw
„dzisiaj to piątek” – dp
„jesteś tutaj” – j
„wczoraj był piątek” - wp
Wtedy zdania :
Jeśli się nie mylę, to dzisiaj jest sobota. (1)
Albo dzisiaj to nie wczoraj, albo dzisiaj jest piątek. (2)
Nie mylę się, jeśli jesteś tutaj. (3)
Jeśli dzisiaj jest piątek, to dzisiaj nie jest sobota. (4)
Jeśli dzisiaj jest sobota, to wczoraj był piątek. (5)
zostaną zapisane jako:
mds (1)
dw XOR dp (2)
jm (3)
dpds (4)
dswp (5)
Żeby upewnić się, że rozważany zbiór jest niesprzeczny, należy wskazać takie wartościowanie
zmiennych m, ds, dw, dp, j i wp, dla których wszystkie powyższe formuły będą spełnione (przyjmą
wartość logiczną prawda).
Wystarczy oczywiście znaleźć jedno takie wartościowanie. Możemy je próbować konstruować
kolejno, być może wycofując się (w miarę potrzeb) z przypisywania ustalonej zmiennej
proponowanej wartości.
Jeśli założymy, że zmienna m ma wartość logiczną fałsz, zdanie (1) jest spełnione.
Dla zdania (5) załóżmy, że zmienna ds ma wartość logiczną prawda, wtedy również zmienna wp
powinna mieć wartość logiczną prawda, by zdanie było spełnione.
Przy takich założeniach, następnik zdania (4) ma wartość logiczną fałsz, więc powinniśmy przyjąć,
że zmienna dp ma wartość logiczną fałsz, aby zdanie (4) było spełnione.
Aby zdanie (2) było spełnione, powinniśmy dodatkowo przyjąć fałsz za wartość logiczną zmiennej
dw.
Widać również, że biorąc pod uwagę powyższe rozważania, niezależnie od wartości logicznej
zmiennej j, zdanie (3) będzie spełnione.
W ten sposób, dla następujących wartości zmiennych
w(m)= 0
w(ds)=1
w(dp)=0
w(dw)=0
w(j)=0
w(wp)=1
wszystkie analizowane zdania są spełnione przez określone wyżej wartościowanie w, co oznacza, że
badany zbiór formuł jest niesprzeczny.
Pozostaje nam jeszcze rozstrzygnąć o wartości logicznej pozostałych trzech zdań zadania:
Jeśli się nie mylę, to jesteś tutaj. (6)
Jeśli dzisiaj jest piątek, to nie mylę się. (7)
Jeśli się mylę, to wczoraj był piątek. (8)
Posługując się używanymi zmiennymi, możemy je zapisać w postaci formuł:
mj (6)
dpm (7)
mwp (8)
Łatwo stwierdzić, ze dla powyższego wartościowania zmiennych w formuły
przyjmą wartości :
fałsz (6)
prawda (7)
prawda (8)
Gdybyśmy jednak zmienili wartość logiczną zmiennej j na prawdę (a zatem rozważamy
wartościowanie w' w'(m)= 0; w'(ds)=1; w'(dp)=0; w'(dw)=0; w'(j)=1; w'(wp)=1 )
wartości zdań poniżej byłyby następujące:
prawda (6)
prawda (7)
prawda (8)
Tak więc nie przy każdym wartościowaniu, dla którego są spełnione formuły 1-5 , spełnione będą
formuły 6-8.