Masa relatywistyczna

Masa relatywistyczna
W szczególnej teorii względności pęd poruszającego się ciała jest definiowany tak, jak w
mechanice newtonowskiej:
p = m⋅ v
Zasada względności wymaga również, by w każdym układzie odniesienia, bez względu na
jego prędkość względem innych układów, spełnione było prawo zachowania pędu stanowiące,
że suma pędów ciał w pewnym układzie fizycznym nie zmienia się z upływem czasu jeżeli na
ciała te nie działają siły pochodzące spoza tego układu.
Transformacje Lorentza nie dostarczają podstawy do wnioskowania dotyczącego mas ciał i
ich ewentualnej zależności od prędkości. Właściwości mas wynikające z ich ruchu wynikają z
zastosowania transformacji Lorentza do prawa zachowania pędu.
Zastosujmy prawo zachowania pędu do opisu zderzenia dwu ciał poruszających się względem
siebie z dowolną prędkością (oczywiście mniejszą od prędkości światła). Zdarzenie to
ilustruje poniższy rysunek. W dwu układach odniesienia O i O’, wzdłuż osi Y i Y’ dwa ciała
poruszają się z bardzo małymi (dowolnie małymi) prędkościami:
- ciało 1 ma prędkość V1 względem układu odniesienia O, skierowaną w dodatnim
kierunku osi Y,
- ciało 2 ma prędkość V2’ względem układu odniesienia O’ skierowaną przeciwnie do
zwrotu osi Y’.
Prędkości V1 i V2’ są tak małe, że pochodzące od nich efekty relatywistyczne są
niezauważalnie małe. Niech natomiast układ O’ porusza się z dowolnie dużą prędkością V
względem układu O (lub, jeżeli ktoś tak woli, O względem O’ z prędkością –V).
Y’
Y
V
2
V2'
V1
O’
1
O
X’
X
Nietrudno sobie wyobrazić, że ruch obu ciał może być tak zsynchronizowany, że w momencie
mijania się układów O i O’ dochodzi do krótkotrwałego zderzenia, w wyniku którego zmienią
się pędy obu ciał. Ciało nr 2 może np. zmienić kierunek ruchu wzdłuż osi Y’ biegnąc wzdłuż
linii kropkowanej na rysunku. Ciało nr 1 może po zderzeniu biec nadal wzdłuż osi Y lub
zmienić kierunek ruchu na przeciwny.
Gdyby układ O’ nie poruszał się względem O, a przy tym osie Y i Y’ stale pokrywały się, to
mielibyśmy do czynienia ze zwykłym nierelatywistycznym zderzeniem dwu ciał z małymi
prędkościami, które można byłoby opisać w ramach mechaniki newtonowskiej, tzn. przy
założeniu, że masy ciał są niezmienne, niezależne od prędkości ciał i jednakowe przed i po
zderzeniu.
Jednak w rozpatrywanym zderzeniu układ O’ może poruszać się z dowolnie dużą prędkością,
wskutek czego ciało 2, mając dowolnie dużą prędkość V w kierunku osi X układu O, może
wykazać w zderzeniu inną wartość swojej masy niż w zderzeniu „newtonowskim” (przy
małej prędkości). Podobnie musimy uznać, że masa ciała nr 1, które ma prędkość -V
względem układu O’, może być w układzie O’ inna niż masa tego ciała przy małych
prędkościach lub w spoczynku (jak w układzie O).
Zapiszmy równania stanowiące zapis prawa zachowania pędu w obu układach odniesienia.
Przyjmujemy przy tym konwencję dotyczącą oznaczeń, według której wszystkie wielkości
określone w układzie odniesienia O będą występować bez dodatkowych oznaczeń, zaś
wszystkie wielkości określone w układzie O’ będą oznaczane znakiem „prim”. Oznaczając
prędkości ciał przed zderzeniem symbolamiami V1 i V2 (jak na rysunku), zaś po zderzeniu –
jako U1 i U2 , napiszemy dla składowych pędu wzdłuż osi Y i Y’ następujące równania:
w układzie O:
m1V1 + m2V2 = m1U 1 + m2U 2
(1)
w układzie O’:
m1'V1' + m2' V2' = m1'U 1' + m2' U 2'
(2)
Wyrażamy następnie wartości prędkości poszczególnych ciał we własnym układzie
odniesienia każdego z tych ciał. Na przykład prędkość V2 jest poprzeczną prędkością ciała nr
2 względem układu O, ale układem własnym tego ciała jest O’. Zatem w r-niu (1)
zastępujemy V2 przez prędkość ciała 2 w jego własnym układzie O’, czyli przez V2’. Czynimy
to zgodnie z transformacją prędkości poprzecznych zastępując V2 przez V2’ wg relacji:
V'
V2 = 2
γ
Podobnie też, posługując się zasadami transformowania prędkości poprzecznej, podstawimy:
U'
U2 = 2
γ
Z kolei dla ciała nr 1, którego układem własnym jest O, zastępujemy jego prędkości
względem układu O’ przez prędkości względem jego własnego układu O stosując
podstawienia:
V
U
V1' = 1
U 1' = 1
γ
γ
Po tych podstawieniach r-nia (1) i (2) przyjmują postać:
m1V1 + m2
m1'
V1
γ
V2'
γ
U 2'
(3)
+ m2' U 2'
(4)
= m1U 1 + m2
+ m2V2' = m1'
U1
γ
γ
Przegrupowując składniki obu równań przekształcamy je do postaci:
(
m1 (V1 − U 1 ) = m2 U 2' − V2'
(
)γ1
(5)
)
(6)
1
m1' (V1 − U 1 ) = m2' U 2' − V2'
γ
a następnie po podzieleniu równania (6) przez (5) otrzymujemy wynik:
m'
1 m1'
=γ 2
m2
γ m1
lub inaczej:
1 m1'
1
=
γ m1 1 m2
γ m2'
(7)
Ponieważ układ O ma taką samą prędkość (-V) względem O’ jak układ O’ względem O (V),
to zgodnie z zasadą względności stosunek masy tego samego ciała nr 1 w układzie „obcym”
m'
(O’) do masy w układzie własnym (O) wyrażony ułamkiem 1 powinien mieć tę samą
m1
wartość liczbową co stosunek mas ciała nr 2 w układzie „obcym” (O) do jego masy w
m
układzie własnym (O’) wyrażony przez 2' . Oba te ułamki wyrażają, ogólnie biorąc,
m2
stosunek masy ciała w układzie odniesienia, względem którego to ciało ma prędkość V, do
jego masy w układzie, względem którego ciało to spoczywa. Oznaczając stosunek masy ciała
m
w ruchu do masy tego ciała w spoczynku przez
przepiszemy równanie (7) w formie:
m0
γ
m0 1 m
=
m γ m0
(8)
skąd otrzymujemy:
m = γ m0
(9)
Równanie (9) przestawia w ogólnej postaci relacje między masami każdego z ciał nr 1 i 2 w
rozpatrywanym powyżej zderzeniu. Stwierdzamy zatem, że aby mogły być spełnione
równania (1) i (2), przedstawiające prawo zachowania pędu w obu układach odniesienia, musi
być spełniona równość (9) mówiąca, że masa ciała, która w spoczynku wynosi m0 , po
nadaniu mu prędkości V wzrasta do wartości
m(V ) = γ m0 =
m0
1−
V2
c2