Zadanie

Zadanie
Zderzenie centralne idealnie niesprężyste (ciała zlepiają się i po zderzeniu poruszają się razem).
Jedno z ciał przed zderzeniem jest w spoczynku.
Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas
Zasada zachowania pędu:
pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu
Sprawdzamy, czy w takim zderzeniu zachowana jest energia kinetyczna:
Obie masy
i
są dodatnie, więc
. W czasie zderzenia niesprężystego, część energii
kinetycznej zamienia się na energię wewnętrzną ciał biorących w nim udział.
Zadanie
Zderzenie centralne, idealnie sprężyste (energia kinetyczna jest zachowana) dwóch kul. Jedna z kul
przed zderzeniem jest w spoczynku.
Zasady zachowania pędu i zachowania energii kinetycznej
Z zasady zachowania pędu wyznaczmy
i podstawiamy do równania opisującego zachowanie energii kinetycznej (pomnożonego przez 2):
Zderzenie jest centralne, więc wszystkie prędkości mają jeden kierunek (choć może nie koniecznie
ten sam zwrot).
gdzie
. Przekształcamy dalej wzór opisujący zasadę zachowania energii kinetycznej:
Jest to równanie kwadratowe na wielkość skalarną
Obliczone
. Rozwiązujemy je
podstawiamy do wzoru na
Należy zbadać, co oznacza istnienie dwóch różnych rozwiązań (kule po zderzeniu powinny przecież
mieć dobrze określone prędkości). Upraszczamy każde z rozwiązań na
i :
Prędkości obu kul po zderzeniu są takie same jak przed zderzeniem: kula o masie
porusza się z
początkową prędkością , a kula o masie
pozostaje w spoczynku. To rozwiązanie opisuje
sytuację, gdy do zderzenia nie doszło (brak zderzenia jest oczywiście zgodny z zasadami zachowania
pędu i energii kinetycznej).
To rozwiązanie odpowiada sytuacji, gdy do zderzenia rzeczywiście doszło. Prędkość drugiego ciała
jest zawsze dodatnia (czyli i kierunek i zwrot wektora prędkości
jest taki sam jak wektora ).
Znak wartości prędkości
zależy od mas zderzających się ciał. Jest on ujemny, jeśli pierwsze ciało
jest lżejsze od drugiego. W takiej sytuacji pierwsze ciało odbija się od drugiego i porusza się w
kierunku przeciwnym do kierunku przez zderzeniem.
W przypadku równych mas
i
otrzymujemy:
Pierwsze ciało zatrzymuje się i przekazuje całą energię kinetyczną drugiemu ciału, które zaczyna się
poruszać z prędkością równą prędkości pierwszego ciała przed zderzeniem.
Zadanie
Zderzenie niecentralne niesprężyste
Wprowadzamy układ współrzędnych z osią
Zasadę zachowania pędu
skierowaną zgodnie z początkową prędkością
.
rozpisujemy na składowe
Są to 2 równania na 4 niewiadome: 4 składowe kartezjańskie dwóch prędkości (
dwie prędkości ( i ) i dwa kąty ( i ).
,
,
,
) lub
W ogólności układ dwóch równań na 4 niewiadome ma nieskończenie wiele rozwiązań. Możemy tylko
wyznaczyć dwie niewiadome jako funkcje dwóch pozostałych niewiadomych.
Zadanie
Możemy wyznaczyć wartości prędkości w funkcji kątów:
Z -owej składowej zasady zachowania pędu dostajemy
Podstawienie tego do -owej składowej zasady zachowania pędu daje
Podstawienie tego
do wzoru na
daje
Zadanie
Możemy też wyznaczyć kąty w funkcji pędów:
Na początek przekształcamy obie składowe zasady zachowania pędu
Dodając obie te równości stronami dostajemy
co pozwala wyznaczyć cosinus kąta
Podstawiając ten wynik do -owej składowej zasady zachowania pędu obliczamy drugi kąt
Wzory na oba kąty wyrażają się dość prosto przez stosunek, w jakim początkowy pęd
między oba ciała
gdzie dla
Zadanie
Policzmy jeszcze zmianę energii kinetycznej w taki zderzeniu
“dzieli się”
Zderzenie jest sprężyste, jeśli licznik powyższego wyrażenia znika. Jest to warunek łączący kąty
rozpraszania
i
Zadanie
Zderzenie niecentralne idealnie sprężyste
Rysunek jak do poprzedniego zadania. Zasada zachowania pędu (dwie składowe) i zasada
zachowania energii tworzą układ 3 równań na cztery niewiadome
Niewiadomych jest o jedną więcej niż równań, więc rozwiązania nie są jednoznaczne. Jeśli zadamy
jedną z wielkości, np. jeden z kątów , to możemy wtedy obliczyć drugi kąt i wartości obu prędkości
. Wynik znaleźliśmy już w zadaniu 9.3:
Nie jest on bardzo prosty w ogólnym przypadku, więc rozpatrzymy kilka prostych przykładów.
Zadanie
Równe masy
Zasada zachowania energii przybiera w tym przypadku postać
To równanie ma 3 rozwiązania
Rozpatrzmy je po kolei.
Jeśli
to
i wzory na wartości prędkości dają:
Ponadto, -owa składowa zasady zachowania pędu daje
. Po zderzeniu ciało pierwsze
porusza się z taka samą prędkością jak przed zderzeniem, a ciało drugie nadal spoczywa. To
rozwiązanie opisuje sytuację, gdy do zderzenia nie doszło. Brak zderzenia jest oczywiście
zgodny z wszelkimi zasadami zachowania i opis matematyczny musi dopuszczać i zawierać
taką możliwość.
Jeśli
to
i wzory na wartości prędkości dają:
Ponadto, -owa składowa zasady zachowania pędu daje
. Ciało pierwsze zatrzymuje się,
a ciało drugie przejmuje całą energię kinetyczna i porusza się z taką prędkością, z jaką przed
zderzeniem poruszało się ciało pierwsze. Nie tylko wartość tej prędkości jest taka sama ale
także jej kierunek (i zwrot). Jest to przypadek zderzenia idealnie sprężystego i centralnego.
Zderzenie centralne jest szczególnym (granicznym) przypadkiem zderzenia niecentralnego,
więc opis matematyczny musi je obejmować.
“Prawdziwie” niecentralne i sprężyste zderzenie opisuje trzecie rozwiązanie
gdzie obie strony równania są różne od 0. Przekształcając to równanie dostajemy
co daje
W zderzeniu sprężystym niecentralnym, w którym jedno z ciał początkowo spoczywa, kierunki
prędkości po zderzeniu tworzą kąt prosty. Praktyczne zastosowanie to ruch kul bilardowych.
Ten ostatni wniosek można także udowodnić stosując metodę graficzną. Zasada zachowania pędu ma
następującą postać wektorową
podczas gdy dla równych mas zasada zachowania energii kinetycznej to następujące równanie
skalarne
Równanie wektorowe mówi nam, że odcinki o długościach ,
i
tworzą trójkąt. W takim
przypadku równanie skalarne jest równaniem Pitagorasa które jest słuszne, jeśli między bokami o
długościach
i
jest kąt prosty.
Zadanie
Inny prosty przykład:
(Oczywiście dla
, bo w przypadku równych mas z warunku
dostalibyśmy rozwiązanie
)
Tym razem zasada zachowania energii kinetycznej daje
Wyliczamy stąd cosinus kąta
natychmiast
Oczywiści
nie może być większy niż 1
Ciała nie mogą rozproszyć się symetrycznie (
cięższe od ciała “tarczy”.
), jeśli ciało “pocisk” jest więcej niż trzykrotnie
Z oczywistego warunku dodatniości masy pierwszego ciała otrzymujemy warunek na kąt
rozpraszania :
Do kąta granicznego
zbliżamy się, jeśli stosunek mas
dąży do zera.