Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Wydział Matematyki i Informatyki
http://www.mat.umk.pl/rkm/
Lista rozwiązań zadań nr 6 (12-16.11.2009)
Omówienie zadań II serii zawodów I stopnia LXI OM
Rozwiązania zadań II serii zawodów I stopnia LXI Olimpiady Matematycznej znajdują się na stronie http://www.om.edu.pl/zadania/om/.
1. Dane są półpłaszczyzny P1 i P2 o wspólnej krawędzi k. Niech P będzie półpłaszczyzną dwusieczną kąta dwuściennego utworzonego przez P1 i P2 . Wówczas
(a) każdy punkt półpłaszczyzny P jest jednakowo odległy od płaszczyzn zawierających P1 i P2 ,
(b) płaszczyzna zawierająca P jest płaszczyzną symetrii między P1 i P2 .
Dowody tez zawartych w zadaniu 1 są identyczne jak w przypadku kąta i jego
dwusiecznej na płaszczyźnie.
2. Płaszczyzna przechodząca przez środek sfery (kuli) jest płaszczyzną symetrii
sfery (kuli).
Rozwiązanie jest równie proste jak w przypadku okręgu na płaszczyźnie.
3. (Twierdzenie sinusów) W dowolnym trójkącie o kątach α, β, γ i bokach długości odpowiednio a, b, c zachodzą równości
a
b
c
=
=
= 2R,
sin α
sin β
sin γ
gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie.
γ
a
b
β
α
c
1
Zadanie to jest klasycznym szkolnym zadaniem, więc pomijamy jego rozwiązanie. Podobnie jest z kolejnym zadaniem.
4. W dowolnym trójkącie o bokach długości a, b, c pole tego trójkąta wyraża się
wzorem
1
P△ = (a + b + c)r,
2
gdzie r jest promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt.
5. (Zad. 5. z II serii) Dany jest czworościan ABCD, którego ściany są trójkątami
ostrokątnymi. Na prostej l leży środek sfery wpisanej oraz środek sfery opisanej na czworościanie. Udowodnić, że jeśli prosta l przecina odcinek AB, to
|∠ACB| = |∠ADB|.
Rozwiązanie. Na płaszczyźnie wyznaczonej przez prostą l i krawędź AB (oznaczmy ją przez P) leżą środek sfery opisanej na czworościanie ABCD oraz środek sfery wpisanej w czworościan. Zatem płaszczyzna P zawiera płaszczyznę
dwusieczną kąta dwuściennego czworościanu o krawędzi AB. Zatem płaszczyzny ABC i ABD są symetryczne względem płaszczyzny P. Płaszczyzna P jest
płaszczyzną symetrii sfery opisanej na czworościanie ABCD. Częścią wspólną płaszczyzny ABC i sfery opisanej na ABCD jest okrąg opisany na ścianie
ABC. Zatem okręgi opisane na ścianach ABC i ABD są symetryczne względem płaszczyzny P, a więc mają równe promienie. Ponieważ okręgi te mają
wspólną cięciwę AB, to kąty ACB i ADB, jako wpisane w te okręgi, oparte są
na równych cięciwach i ostre są równe. Stwierdzenie to kończy rozwiązanie
zadania.
Czytelnik może znaleźć inne rozwiązanie na stronie internetowej Olimpiady
Matematycznej.
6. Mówimy, że liczby całkowite a, b przystają modulo m, gdzie m jest liczbą naturalną, jeśli różnica a − b jest podzielna przez m, i piszemy a ≡ b (mod m).
Relację ≡ nazywamy kongruencją.
Relacja ≡ ma następujące własności:
(a) a ≡ a (mod m),
(b) a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a (mod m),
(c) (a ≡ b (mod m) ∧ b ≡ c (mod m)) ⇒ a ≡ c (mod m),
(d) jeżeli a ≡ b (mod m) i c ≡ d (mod m), to
a + c ≡ b + d (mod m)
a − c ≡ b − d (mod m)
a · c ≡ b · d (mod m)
an ≡ bn
(mod m),
gdzie a, b, c, d są dowolnymi liczbami całkowitymi, n jest dowolną liczbą
naturalną i m jest ustaloną liczbą naturalną.
2
Problemy opisane w powyższym zadaniu zostały rozwiązane na zajęciach RKM
poświęconych kongruencjom.
7. (Zad. 6. z II serii) Dana jest liczba pierwsza p 6= 5 oraz takie liczby całkowite
a, b, c, że p jest dzielnikiem obu liczb a + b + c i a5 + b5 + c5 . Wykazać, że co
najmniej jedna z liczb a2 + b2 + c2 i a3 + b3 + c3 jest podzielna przez p.
Rozwiązanie. Skoro p | a + b + c, to a + b + c ≡ 0 (mod p). Zatem c ≡ −(a + b)
(mod p).
Ponieważ p | a5 + b5 + c5 , to także a5 + b5 + c5 ≡ 0 (mod p). Czytelnik sprawdzi,
że
(∗)
2(a5 + b5 − (a + b)5 ) = −5ab(a + b)(a2 + b2 + (a + b)2 ).
Skoro
a5 + b5 + c5 ≡ 0
(mod p),
to
2(a5 + b5 + (−(a + b))5 ) ≡ 0 (mod p).
Zatem
2(a5 + b5 − (a + b)5 ) ≡ 0 (mod p).
Z równości (∗) i ostatniej relacji otrzymujemy
−5ab(a + b)(a2 + b2 + (a + b)2 ) ≡ 0 (mod p).
Ponieważ a + b ≡ −c (mod p), więc mamy
5abc(a2 + b2 + c2 ) ≡ 0 (mod p).
Jeżeli p dzieli a2 + b2 + c2 , to teza zadania jest spełniona, gdyby p nie dzieliło
a2 + b2 + c2 , to p dzieli iloczyn 5abc. Liczba pierwsza p jest różna od 5, więc
p dzieli iloczyn abc, zatem p dzieli jedną z tych liczb. Niech p dzieli liczbę c.
Ponieważ p dzieli a + b + c i p dzieli c, to p dzieli sumę a + b. Wtedy c3 i a + b są
podzielne przez p. Natomiast suma
a3 + b3 + c3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) + c3
jest podzielna przez p jako suma dwóch liczb podzielnych przez p.
Czytelnika zainteresowanego innym rozwiązaniem zadania 7 i rozwiązaniami
pozostałych zadań drugiej serii odsyłamy do strony internetowej Olimpiady
Matematycznej lub opracowania grupy zaawansowanej.
3