plik PDF

36
N A U C Z A N I E M A TE M A TY K I
MATEMATYKU,
EKSPERYMENTUJ!
Waldemar Karpiński
Wielu ludziom matematyka kojarzy się z nudnymi obliczeniami albo z lekcjami, w trakcie których nauczyciel rozmawia
z tablicą w obecności prawie nic nierozumiejącego audytorium. Podczas lekcji fizyki czy chemii zdarzają się zadziwiające pokazy, na przykład wytwarzanie prądu za pomocą magnesu i kawałka drutu. Fizycy często pracują w ten sposób,
że najpierw wykonują doświadczenia, a potem zastanawiają
się, dlaczego osiągnęli taki a nie inny efekt. Jak głosi jedna
z legend, Galileusz badał spadanie ciał, zrzucając je z Krzywej
Wieży w Pizie.
Czy matematycy wykonują doświadczenia? Tak, ale przeprowadzają je w mniej spektakularny sposób – na kartce papieru
lub „w głowie”. Można też wykorzystać komputer. Polecam
świetny darmowy program GeoGebra1 , który pozwala w miarę
łatwo tworzyć interaktywne narzędzia badawcze umożliwiające odkrywanie matematycznych faktów.
W artykule przedstawiam kilka aplikacji z instrukcjami ukierunkowującymi pracę uczniów. Starałem się przy tym, aby
zgodnie z postulatami nauczania czynnościowego uczeń miał
okazję do czynności konkretnych, wyobrażonych i abstrakcyjnych oraz by przechodzenie od jednych do drugich było
płynne. Aplikacje można wykorzystać w klasach gimnazjalnych oraz licealnych. Plik z materiałami znajdą Państwo na
stronie czasopisma.gwo.pl (hasło: szu3m1).
Największe pole
Inspiracją do przygotowania pierwszego pliku było następujące zadanie z podręcznika dla drugiej klasy gimnazjum2 :
Jakie największe pole może mieć trójkąt prostokątny wpisany
w okrąg o promieniu r ?
W uwadze do tego zadania autorzy podręcznika piszą: „Warto, aby uczniowie poobserwowali podczas wykonywania kolejnych rysunków, jak zmieniają się pola różnych trójkątów
(ms61) str. 36
N A U C Z A N I E M A TE M A TY K I
prostokątnych wpisanych w okrąg o danym
promieniu”3 . Może komuś uda się zachęcić
uczniów do wykonania kilku rysunków, ale
za pomocą GeoGebry można takich obserwacji przeprowadzić wiele w bardzo krótkim czasie. Oto przygotowana przeze mnie
aplikacja (przesuwając po okręgu punkt G,
obserwujemy, jak się zmienia pole i obwód
trójkąta):
Instrukcja 1
1. Przesuwając punkt G, ustal jego położenie, tak aby trójkąt prostokątny CFG miał
największe pole.
2. Jakie największe pole może mieć trójkąt
prostokątny wpisany w okrąg o promieniu 6?
A gdy promień jest równy 10?
3. Uzasadnij, że wskazany w punkcie 1 trójkąt ma największe pole.
4. Jakie największe pole może mieć trójkąt prostokątny wpisany w okrąg o promieniu r ?
Instrukcja 2
1. Przemieszczając punkt G, ustal jego położenie, tak aby trójkąt prostokątny CFG miał
największy obwód.
2. Jaki największy obwód może mieć trójkąt
prostokątny wpisany w okrąg o promieniu 6?
A gdy promień jest równy 8?
3. Uzasadnij, że trójkąt wskazany w punkcie
1 ma największy obwód.
4. Jaki największy obwód może mieć trójkąt prostokątny wpisany w okrąg o promieniu r ?
Wielokąt foremny
W poniższej aplikacji po ustaleniu obwodu
wielokąta foremnego można zmieniać liczbę
jego boków i obserwować jego pole.
Instrukcja 3
1. Jak się zmienia pole wielokąta foremnego o ustalonym obwodzie wraz ze wzrostem
liczby jego boków?
2. Do jakiej figury upodabnia się wielokąt
foremny przy wzroście liczby jego boków?
3. Jeśli liczbę boków wielokąta foremnego
o ustalonym obwodzie zwiększymy dwa razy, to czy jego pole także będzie dwukrotnie większe? A gdy liczbę boków zwiększymy trzy razy?
4. Jakie jest najmniejsze możliwe pole wielokąta foremnego o obwodzie równym 12?
A gdy obwód jest równy l?
Kąty wpisane i środkowe
Ta aplikacja umożliwia zaobserwowanie
niektórych własności kątów wpisanych
i środkowych.
(ms61) str. 37
37
38
N A U C Z A N I E M A TE M A TY K I
Instrukcja 4
Kąt wpisany β i środkowy α są oparte na
tym samym łuku okręgu (na rysunku zaznaczono go kolorem niebieskim).
1. Przesuwaj wierzchołek kąta wpisanego po
okręgu i obserwuj rozwartość tego kąta. Jakie miary mają kąty wpisane oparte na tym
samym łuku?
2. Zmieniaj rozwartość kąta środkowego
i obserwuj rozwartość kąta wpisanego. (Miary kątów są podane z dokładnością do jednego stopnia).
Jak myślisz, jaki jest związek między miarami kątów opartych na tym samym łuku?
3. Ustaw miarę kąta środkowego na 180◦
i obserwuj miarę kąta wpisanego opartego
na półokręgu. Jaką miarę ma kąt wpisany
oparty na półokręgu?
4. Ustaw promienie okręgu tak, jak są ustawione wskazówki zegara o godzinie 15.00.
Jaką miarę ma wtedy kąt środkowy α, a jaką
– kąt wpisany β oparty na tym samym łuku?
4. Ustaw takie same miary dwóch sąsiednich
Czworokąt wpisany w okrąg
3. Który z prostokątów o obwodzie 36 ma
Kolejna aplikacja pozwala eksperymentować
z kątami czworokąta wpisanego w okrąg.
kątów czworokąta wpisanego w okrąg. Jakie
miary mają pozostałe kąty? Dlaczego?
Pole prostokąta
W następnej aplikacji można zmieniać długości boków prostokąta o obwodzie 20 i obserwować jego pole.
Instrukcja 6
1. Jakie jest pole prostokąta o bokach 3,5
oraz 6,5?
2. Zbadaj, który z prostokątów o obwodzie
20 ma największe pole.
największe pole?
4. Uzasadnij, że z wszystkich prostokątów
o ustalonym obwodzie największe pole ma
kwadrat.
5. Jakie największe pole może mieć prostokąt o obwodzie c?
Pola kwadratów
Aplikacja pozwala obserwować pola kwadratów zbudowanych na bokach trójkąta.
Instrukcja 5
1. Zmieniaj położenie wierzchołków czworokąta i obserwuj sumy miar kątów przeciwległych: α i γ oraz β i δ. (Miary kątów są
podane z dokładnością do jednego stopnia).
2. Jakie są sumy kątów przeciwległych czworokąta wpisanego w okrąg?
3. Uzasadnij odpowiedź z punktu 2. Skorzystaj z własności kątów wpisanych i środkowych.
(ms61) str. 38
N A U C Z A N I E M A TE M A TY K I
Instrukcja 7
1. Za pomocą suwaka ustaw miarę kąta ABC
na 90◦. Zmieniając położenie punktów A, B
i C, obserwuj sumę pól P1 i P2 oraz pole P3 .
Co zauważyłeś?
2. Zmień miarę kąta ABC tak, aby był rozwarty, i obserwuj sumę pól P1 i P2 oraz pole
P3 . Co zauważyłeś?
3. Zmień miarę kąta ABC tak, aby był ostry,
i obserwuj sumę pól P1 i P2 oraz pole P3 . Co
zauważyłeś?
4. Wpisz znak <, > lub =.
Jeśli kąt ABC jest prosty, to P1 + P2 . . . P3 .
Jeśli kąt ABC jest rozwarty, to P1 + P2 . . . P3 .
Jeśli kąt ABC jest ostry, to P1 + P2 . . . P3 .
5. Zamiast kwadratów na bokach trójkąta
prostokątnego zbudowano trójkąty równoboczne. Sprawdź, czy suma pól trójkątów równobocznych zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu trójkąta
równobocznego zbudowanego na przeciwprostokątnej.
1
www.geogebra.org/cms/en/download
2
Matematyka 2. Podręcznik dla 2 klasy gimnazjum, GWO, Gdańsk 2008, s. 170.
3
Matematyka 2. Podręcznik dla 2 klasy gimnazjum. Wersja dla nauczyciela, GWO, Gdańsk
2008, s. 314.
GRAM Z KLASĄ
Małgorzata Zambrowska
Często słyszymy o grach: bawią i uczą. Czy wszystkie gry uczą,
czy tylko takie nazwane przez producentów edukacyjnymi? Jakie
umiejętności kształtuje granie w gry? Czy warto grać z uczniami
w szkole?
Często na korytarzach wielu uczelni można spotkać studentów kierunków ścisłych grających w przerwach między zajęciami w różnego rodzaju gry. Wielu z nich grywa w Go, szachy
czy brydża. Może to właśnie gry, w które wielu z nich grało zapewne jeszcze przed rozpoczęciem studiów, rozwinęły w nich
umiejętność logicznego myślenia? Może grają świadomie, bo
widzą płynące z tego korzyści, a nie tylko formę przyjemnego
spędzania wolnego czasu?
Wśród gier dostępnych na rynku wiele jest takich, które warto
wykorzystać w szkole. Mogą one rozwijać umiejętność logicznego myślenia, przewidywania następstw, liczenia czy koncentracji, a także umiejętność współpracy, kierowania grupą,
komunikacji, radzenia sobie z sukcesem i porażką.
(ms61) str. 39
39