Zestaw zadań z finału II edycji konkursu INTERNETOWA PRZYGODA Z

Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych
Uniwersytetu Kardynała Stefana Wyszyńskiego w Warszawie
Zestaw zadań z finału II edycji konkursu
INTERNETOWA PRZYGODA Z MATEMATYKĄ
(24.03.2012)
Zadanie 1
Wykaż, że jeśli długości boków trójkąta spełniają warunek
a2 = b2 + b c ,
to w tym trójkącie kąt leżący naprzeciwko boku o długości a jest dwa razy większy od katą leżącego naprzeciwko
boku o długości b.
Zadanie 2
Udowodnij, że
2
11…11
33 4) ,
⏟ 55…55
⏟ 6 = (33…
⏟
k
gdzie
11…11
⏟ 55…55
⏟6
k
k−1
i
33 …33 4
⏟
k −1
k−1
k−1
to zapisy dziesiętne pewnych liczb całkowitych.
Zadanie 3
Dany jest trójkąt prostokątny ABC taki, że długości jego boków wynoszą odpowiednio: ∣AC∣ = b
i ∣BC∣ = a , a miara kąta między nimi wynosi γ ( ∣∢ ACB∣ = γ ). W trójkąt ten wpisano półokrąg taki, że jego
średnica jest zawarta w boku AB i jest on styczny do boków AC i BC. Następnie w trójkąt ABC wpisano mały okrąg
styczny do boków AC i BC oraz wpisanego półokręgu. Znajdź promień małego okręgu.
Zadanie 4
Udowodnij, że dla dowolnych dwóch liczb x i y takich, że: x ≠ 0, y ≠ 0 i x ≠ y, prawdziwa jest
nierówność
x 4+ y 4 ⩽
x6 y6
+ .
y2 x2
Zadanie 5
18 drużyn piłki nożnej bierze udział w turnieju. W pierwszej turze każda z drużyn rozegrała 8 meczy.
Wykaż, że wśród tych drużyn nie można znaleźć trzech takich, które nie rozegrały ze sobą żadnego meczu.
UWAGA! Na rozwiązanie wszystkich zadań finałowych macie Państwo 180 minut. W tym czasie nie wolno mieć ze sobą żadnych książek, notatek, kalkulatorów, komputerów
przenośnych, komórek ani innych urządzeń służących do komunikowania się na odległość. Posiadanie wyżej wymienionych będzie skutkowało usunięciem z finału.