Sumy kwadratów

Sumy kwadratów
TWIERDZENIE LAGRANGE’A
Każda liczba naturalna da się przedstawić w postaci sumy czterech kwadratów.
Twierdzenie Fermata-Eulera
Każda liczba pierwsza postaci 4k + 1 daje się przedstawić w postaci sumy dwu kwadratów. Zauważmy przede wszystkim, że (−1/p) = 1, więc kongruencja
x2 = −1 mod p
ma rozwiązanie. Niech u będzie jakimkolwiek rozwiązaniem tej kongruencji. Pokażemy,
że można dobrać a 6= 0 mod p tak, aby liczby a oraz b = au mod p spełniały
a2 + b2 < 2p, p|a2 + b2 .
Wówczas a2 + b2 = p.
Np. dla p = 13 mamy u = 5, bo 52 = −1 mod 13. Żądaną parą jest (2, 15) = (3, 2).
Lemat Minkowskiego
Kratą całkowitą w Rn nazywamy podzbiór Rn postaci
L=
n
X
ki bi , |ki ∈ Z},
i=1
gdzie bi tworzą pewną bazę w Rn .
Obszarem fundamentalnym dla kraty L nazywamy zbiór
P =
n
X
{xi bi , |xi ∈ [0, 1)},
i=1
Lemat:
Dla dowolnego x ∈ Rn istnieje dokładnie jeden y ∈ P taki, że x − y ∈ L.
Dowód:
Istnienie:
P
P
P
Niech x = xi bi . Weźmy y = (xi − [xi ])bi . Wówczas x − y = [xi ]bi ∈ L.
Jednoznaczność:
1
2
Załóżmy, że y1 oraz y2 spełniają tezę. Wówczas y1 − y2 = (y1 − x) − (y2 − x) ∈ L, gdyż
L jest zamknięte ze względu na dodawanie/odejmowanie. Zatem współrzędne y1 − y2
są całkowite, a skoro obydwa elementy y1 , y2 należą do P , to współrzędne te muszą
być zerami.
Geometrycznie dowód ten sprowadza się do spostrzeżenia, że P ∩ L = {O}.
Lemat ten pozwala zdefiniować naturalne przekształcenie
p : Rn −→ P.
Lemat:
Przekształcenie p lokalnie zachowuje miarę. Dokładniej:
Jeżeli E ⊂ Rn jest zbiorem mierzalnym, a p obcięte do E jest różnowartościowe, to
vol(p(E) = volE.
Dowód:
Zapiszmy E w postaci
E=
[
Eu , gdzie Eu = E ∩ Pu ,
u∈L
gdzie Pu obraz P przesunięty o wektor u. Zbiory Eu są parami rozłączne.
Stąd
vol(p(E)) =
X
vol(p(Eu )).
u∈L
Funkcja p na każdym Eu jest izometrią, stąd mamy
=
X
vol(Eu ) = vol(E).
u∈L
Lemat:
Każda kula w Rn jest zbiorem wypukłym.
LEMAT MINKOWSKIEGO
Niech K będzie wypukłym podzbiorem Rn , symetrycznym względem początku układu.
Niech L będzie pewną kratą, P jej obszarem fundamentalnym. Jeżeli
vol(K) > 2n vol(P ),
to K zawiera punkt kraty L inny niż środek układu.
Dowód:
Rozważmy zbiór K 0 będący jednokładnym obrazem K względem początku układu i o
skali 1/2. Ponieważ vol(K 0 ) > 1, więc przekształcenie p obcięte do K 0 nie jest różnowartościowe. Tzn. istnieją x, y ∈ K 0 takie, że p(x) = p(y). Zatem niezerowy z = x − y ∈ L.
Ponieważ 2x ∈ K, 2y ∈ K, więc z symetrii −2y ∈ K. A z wypukłosci
z = x − y = (2x + (−2y))/2 ∈ K.
3
Twierdzenie Fermata-Eulera: dowód
Każda liczba pierwsza postaci 4n + 1 da się przedstawić w postaci sumy x2 + y 2 .
Dowód:
Niech p = 4k + 1. Wiemy, że
(−1/p) = 1,
tzn. równanie
x2 ≡ −1 mod p
ma rozwiązanie. Niech u będzie jakimkolwiek rowiązaniem tej kongruencji. Rozważmy
kratę
L = {(a, b) : a, b ∈ Z, b ≡ ua mod p}.
Zastanówmy się, dlaczego to jest krata. Rzeczywiście elementy L są postaci
(a, ua + kp) = (a, ua) + (0, kp) = a(1, u) + k(0, p).
Tak więc zbiór ten jest kratą generowaną przez [1, u] oraz [0, p].
Miara obszaru fundamentalnego wyraża się wyznacznikiem
Rozważmy teraz koło B(O,
Ponieważ jej objętość
√
1 u = p.
0 p 2p), czyli zbiór punktów (a, b) takich, że a2 + b2 < 2p.
q
π( 2p)2 = 2πp > 4p = 22 p,
więc na mocy lematu Minkowskiego zbiór ten zawiera nietrywialny element (a, b).
Z drugiej strony
a2 + b2 ≡ a2 + (ua)2 mod p = a2 (1 + u2 ) ≡ 0 mod p,
stąd p|a2 + b2 < 2p, więc a2 + b2 = p.
WNIOSEK:
Jeżeli w rozkładzie n na czynniki pierwsze każdy czynnik postaci 4k + 3 występuje w
parzystej potędze, to n daje się przedstawić w postaci sumy dwu kwadratów.
Dowód:
Zauważmy, że 12 = 12 + 02 , 2 = 12 + 12 , , a iloczyn czynnników postaci 4k + 3 też jest
kwadratem (a więc jednoskładnikową sumą kwadratów). Pozostaje zauważyć, ze jeśli
jakieś liczby dadzą się przedstawić w postaci sumy kwadratów, to dotyczy to także ich
iloczynu. Rzeczywiście:
(∗) (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (ad − bc)2 .
Zauważmy jeszcze, że tożsamość (∗) ta wynika natychmiast z równości |z1 |2 |z2 |2 =
|z1 z2 |2 .
Na ćwiczeniach pokażemy, ze twierdzenie to daje się też odwrócić.
4
Objętość kuli w R4
TWIERDZENIE
Objętość kuli jednostkowej w R4 wynosi π 2 /2.
Dowód:
Kula taka opisana jest nierównością x2 + y 2 + z 2 + t2 ¬ 1. Dla ustalonego t0 ∈ [−1, 1]
przecięcie kuli z hiperpłasczyzną t = t0 jest zbiorem postaci
x2 + y 2 + z 2 ¬ 1 − t20 ,
czyli zwykłą kulą o promieniu R =
ω4 =
Z 1
−1
q
1 − t20 . Zatem szukana objętość
4
8 Z1
8 Z π/2
2 23
2 32
π(1 − t ) dt = π (1 − t ) dt = [x = sin t] = π
cos4 tdt.
3
3 0
3 0
Pozostaje przypomnieć, że
Z
cos4 tdt =
3 cos 2t cos 4t
+
+
,
8
2
8
skąd
3 π
π2
8
ω4 = π · · = .
3
8 2
2
DYGRESJA: Suma objętości kul jednostkowych w wymiarach parzystych to eπ − 1.
LEMAT
Dla dowolnej liczby pierwszej p kongruencja x2 + y 2 + 1 ≡ 0 mod p ma rozwiązania.
Dowód:
Dla p = 2 lemat jest oczywisty. Załóżmy zatem, że p jest liczbą pierwszą nieparzystą.
Rozważmy dwie funkcje na Zp :
f (u) = u2 ,
g(u) = −1 − u2 .
Obrazy f (Zp ) oraz g(Zp ) są oczywiście równoliczne. Obraz f (Zp ) składa się z zera i
reszt kwadratowych, czyli łącznie ma
1+
1+p
p−1
=
2
2
elementów. Podobnie g(Zp ). Gdyby były rozłączne, to mielibyśmy w sumie p + 1 elementów. Zatem istnieją takie u oraz v, że f (u) = g(v), czyli u2 = −1 − v 2 , tzn.
u2 + v 2 = −1.
Dowód twierdzenia Lagrange’a
Niech p będzie liczbą pierwszą. Pokażemy, że daje się ona przedstawić w postaci sumy
czterech kwadratów. Niech u, v będą rozwiązaniem kongruencji jw. Rozważmy kratę
L = {(a, b, c, d) : c ≡ ua + vb, d ≡ ub − va mod p}.
5
Elementy L mają postać
(a, b, ua + vb + kp, ub − va + lp) = (a, 0, ua, −va) + (0, b, vb, ub) + (0, 0, kp, lp) =
= a(1, 0, u, −v) + (b(0, 1, v, u) + k(0, 0, p, 0) + l(0, 0, 0, p).
Zatem wektory (1, 0, u, −v), (0, 1, v, u), (0, 0, p, 0) oraz (0, 0, 0, p) tworzą bazę. Zatem
obszar fundamentalny jest równy wyznacznikowi określonemu przez te cztery wektory,
czyli p2 .
Rozważmy teraz kulę
B(O,
q
2p) = {(x, y, z, t) : x2 + y 2 + z 2 + t2 < 2p}.
Jej objętość
π2
· 4p2 = 2π 2 p2 > 2 · 8p2 = 24 p2 = 24 vol(P ).
2
Na mocy lematu Minkowskiego istnieje w tej kuli nietrywialny punkt kratowy x =
(a, b, c, d). Zatem
a2 + b2 + c2 + d2 < 2p.
q
V = ω4 ( 2p)4 =
Zauważmy, że
a2 + b2 + c2 + d2 mod p = a2 + b2 + (ua + vb)2 + (ub − va)2 mod p =
= a2 + b2 + u2 a2 + 2uavb + v 2 b2 + u2 b2 − 2ubva + v 2 a2 =
= a2 + b2 + u2 a2 + v 2 a2 + v 2 b2 + u2 b2 = a2 (1 + u2 + v 2 ) + b2 (1 + u2 + v 2 ) = 0 mod p.
Z dwu ostatnich warunków i nietrywialności wynika, że
a2 + b2 + c2 + d2 = p.
Ostatni krok
Oczywiście 2 = 12 + 12 + 02 + 02 . Wiemy już zatem, że każda liczba pierwsza jest sumą
czterech kwadratów. Pozostaje zauważyć, że
(a2 + b2 + c2 + d2 )(A2 + B 2 + C 2 + D2 ) =
= (aA−bB−cC−dD)2 +(aB+bA+cD−dC)2 +(aC+cA+bD−dB)2 +(aD+dA+bC−cB)2 .
Jeśli zatem każdy czynnik jest sumą czterech kwadratów, to także odnosi się to do
iloczynu.
A skąd taka tożsamość? Najprościej skorzystać z kwaternionów:
i2 = j 2 = k 2 = −1, ij = k = −ji, jk = i = −kj, ki = j = −ik.
Przez normę kwaternionu rozumiemy
|a + bi + cj + dk| =
√
a2 + b 2 + c 2 + d 2 .
Nietrudno udowodnić, że
|q1 q2 |2 = |q1 |2 |q2 |2 ,
skąd ta tożsamość. Trzeba po prostu obliczyć
|(a + bi + cj + dk)(A + Bi + Cj + Dk)|2 .
Hurwitz wykazał, że wzory na iloczyny sum kwadratów istnieją tylko dla n = 2, 4, 8,
co jest ściśle związane z istnieniem odpowiednich algebr.
6
Twierdzenie Waringa-Hilberta
Edwart Waring, XVIII-wieczny matematyk z Cambridge sformułował hipotezę, że dla
zadanej liczby naturalnej k istnieje liczba g(k) taka, że dowolną liczbę naturalną można
przedstawić w postaci sumy k-potęg złozonej z g(k) składników.
W świetle twierdzenia Lagrange’a dla k = 2 mamy g(k) = 4. Waring przypuszał, że
g(3) = 9 (potwierdzone 1909), a także g(4) = 19 (potwierdzone 1986). Prawdziwość
hipotezy Waringa (bez jawnego wskazywania funkcji g(n)) pokazał Hilbert w roku
1906.
Ale już Euler wiedział, że dla k ­ 2 zachodzi nierówność
g(k) ­ 2k + [(3/2)k ] − 2.
Można sprawdzić, ze dla k ¬ 4 daje to odpowiednio 4, 9 oraz 19. Pokazano, że dla
k ¬ 471 600 000 wartość tej funkcji zgadza się z empiryczną wartością g(k). (1990)
Twierdzenie Jacobiego i ...
TWIERDZENIE JACOBIEGO:
Liczbę przedstawień liczby n m w postaci sumy dwu kwadratów jest równa czterokrotnej różnicy pomiędzy liczbą dzielników postaci 4k + 1 a liczbą dzielników postaci
4k + 3.
Np. 65 ma dzielniki 1, 5, 13, 65, więc ma 16 przedstawień (kombinacji 65 = 82 + 12
oraz 65 = 72 + 42 ); liczba 17 ma dwa dzielniki 1, 17, więc ma 8 przedstawień 17 =
(±4)2 + (±1)2 i zamiana kolejności.
Z twierdzenia Jacobiego można wywnioskować wzór Leibniza:
π
1 1 1
= 1 − + − + .....
4
3 5 7
Wystarczy obliczyć pole koła (O, r) na dwa sposoby: ze wzoru na pole i szacując liczbę
punktów kratowych wewnątrz tego koła (równą liczbie przedstawień liczb n ¬ r w
postaci sumy dwu kwadratów). Szczegóły: Geometria poglądowa Hilbert, Cohn-Vossen.