Rozdział 1 Lokalizacja zer wielomianów

Rozdział 1
Lokalizacja zer wielomianów
1.1
Twierdzenie Sturma
Twierdzenie 1. Niech P będzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Zdefiniujmy ciąg wielomianów, tzw.
ciąg Sturma:
s1 (x) = P (x)
s2 (x) = P 0 (x)
sn (x) = reszta z dzielenia sn−2 przez sn−1 ze znakiem przeciwnym, n ≥ 3
..
.
sp (x) = 0.
Niech a i b nie będą miejscami zerowymi wielomianu. Wtedy liczba miejsc zerowych wielomianu P w przedziale (a, b)
jest równa
S(a) − S(b),
gdzie S(x) jest liczbą zmian znaku w ciągu s1 (x), s2 (x), . . . , sp (x) (przy czym nie bierzemy pod uwagę pojawiających
się być może zer).
1.2
Twierdzenie Fouriera
Twierdzenie 2. Niech P będzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Weźmy ciąg pochodnych P :
f1 (x) = P (x)
0
fn (x) = fn−1
(x), n ≥ 2
..
.
fp (x) = 0.
Niech a i b nie będą pierwiastkami wielomianu. Wtedy liczba pierwiastków wielomianu P w przedziale (a, b) jest
równa
F (a) − F (b),
gdzie F (x) jest liczbą zmian znaku w ciągu f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x) (przy czym nie bierzemy pod uwagę pojawiających
się być może zer), lub jest od niej mniejsza o liczbę parzystą.
1.3
Twierdzenie Laguerre’a
Twierdzenie 3. Niech P (x) =
Pn
k=0
ak xk będzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Weźmy ciąg:
l1 (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 = P (x)
l2 (x) = an xn−1 + an−1 xn−2 + . . . + a1
l3 (x) = an xn−2 + an−1 xn−3 + . . . + a2
..
.
ln+1 (x) = an .
Niech a i b nie będą pierwiastkami wielomianu. Wtedy liczba pierwiastków wielomianu P w przedziale (a, b) jest
równa
L(a) − L(b),
1
ROZDZIAŁ 1. LOKALIZACJA ZER WIELOMIANÓW
2
gdzie L(x) jest liczbą zmian znaku w ciągu l1 (x), l2 (x), . . . , ln+1 (x) (przy czym nie bierzemy pod uwagę pojawiających
się być może zer), lub jest od niej mniejsza o liczbę parzystą.
Wniosek 4 (Reguła Kartezjusza). Niech P (0) 6= 0. Wtedy liczba pierwiastków dodatnich P jest równa liczbie zmian
znaku w ciągu współczynników P lub jest od niej mniejsza o liczbę przystą (znowu zaniedbujemy ewentualne zera).
1.4
Zadania
Zadanie 1. Określ lokalizację pierwiastków rzeczywistych następujących wielomianów (korzystając z dogodnej metody):
a) x3 + x2 − x − 2
b) x3 − 5x2 − 5x + 5
c) x4 − 2x2 − 6x + 5
d) x5 + 4x4 − 3x3 + 5x2 + 3x + 2
e) 3x5 − 4x4 − 3x3 + 2x − 1
Rozwiązanie:
a) Korzystamy z najdokładniejszej ale i najbardziej pracochłonnej metody Sturma. Mamy:
s1 (x) = x3 + x2 − x − 2
s2 (x) = 3x2 + 2x − 1
8x + 17
s3 (x) =
−→ 8x + 17
9
531
s4 (x) = −
64
s5 (x) = 0
Obliczamy znaki w kilku punktach i liczymy ilość zmian znaków:
s1 (x)
s2 (x)
s3 (x)
s4 (x)
S(x)
−∞
−
+
−
−
2
∞
+
+
+
−
1
0
−
−
+
−
2
1
−
+
+
−
2
2
+
+
+
−
1
b) Korzystamy z metody Fouriera. Mamy:
f1 (x) = x3 − 5x2 − 5x + 5
f2 (x) = 3x2 − 10x − 5
f3 (x) = 6x − 10
f4 (x) = 6
Obliczamy znaki w kilku punktach i liczymy ilość zmian znaków:
s1 (x)
s2 (x)
s3 (x)
s4 (x)
S(x)
−∞
−
+
−
+
3
∞
+
+
+
+
0
0
+
−
−
+
2
1
−
−
−
+
1
2
−
−
+
+
1
c) Korzystamy z metody Laguerre’a. Mamy:
l1 (x) = x4 − 2x2 − 6x + 5
l2 (x) = x3 − 2x − 6
l3 (x) = x2 − 2
l4 (x) = x
l5 (x) = 1
ROZDZIAŁ 1. LOKALIZACJA ZER WIELOMIANÓW
3
Obliczamy znaki w kilku punktach i liczymy ilość zmian znaków:
l1 (x)
l2 (x)
l3 (x)
l4 (x)
l4 (x)
S(x)
−∞
+
−
+
−
+
4
∞
+
+
+
+
+
0
0
+
−
−
0
+
2
1
−
−
−
+
+
1
2
+
−
+
+
+
2
−1
+
−
−
−
+
2
d) Skorzystamy z metody Sturma:
s1 (x) = x5 + 4x4 − 3x3 + 5x2 + 3x + 2
s2 (x) = 5x4 + 16x3 − 9x2 + 10x + 3
94x3 − 111x2 − 20x − 38
−→ 94x3 − 111x2 − 20x − 38
25
158425x2 + 147400x + 104750
s4 (x) = −
−→ −158425x2 − 147400x − 104750
8836
4115950176x + 3743486268
s5 (x) = −
−→ −4115950176x − 3743486268
40157569
2452849413000625
s6 (x) =
24109393984
s3 (x) =
Obliczamy znaki w kilku punktach i liczymy ilość zmian znaków:
s1 (x)
s2 (x)
s3 (x)
s4 (x)
s5 (x)
s6 (x)
S(x)
−∞
−
+
−
−
+
+
3
∞
+
+
+
−
−
+
2
0
+
+
−
−
−
+
2
Z reguły Kartezjusza dostalibyśmy natychmiast parzystą ilość pierwiastków dodatnich i nieparzystą ilość ujemnych.
e) Skorzystamy z metody Laguerre’a:
l1 (x) = 3x5 − 4x4 − 3x3 + 2x − 1
l2 (x) = 3x4 − 4x3 − 3x2 + 2
l3 (x) = 3x3 − 4x2 − 3x
l4 (x) = 3x2 − 4x − 3
l5 (x) = 3x − 4
l6 (x) = 3
Obliczamy znaki w kilku punktach i liczymy ilość zmian znaków:
l1 (x)
l2 (x)
l3 (x)
l4 (x)
l5 (x)
l6 (x)
L(x)
−∞
−
+
−
+
−
+
3
∞
+
+
+
+
+
+
0
0
−
+
0
−
−
+
3
1
−
−
−
−
−
+
1
2
+
+
+
+
+
+
0
Zadanie 2. korzystając z metody Laguerre;a określ liczbę pierwiastków wielomianu x4 − 5x3 + 2x2 − x + 3 na
przedziale (−5, 5).
Rozwiązanie. Mamy:
ROZDZIAŁ 1. LOKALIZACJA ZER WIELOMIANÓW
4
l1 (x) = x4 − 5x3 + 2x2 − x + 3
l2 (x) = x3 − 5x2 + 2x − 1
l3 (x) = x2 − 5x + 2
l4 (x) = x − 5
l5 (x) = 1
Obliczamy znaki w kilku punktach i liczymy ilość zmian znaków:
l1 (x)
l2 (x)
l3 (x)
l4 (x)
l6 (x)
L(x)
−5
+
−
+
−
+
3
5
+
+
+
0
+
0