docCiągłość zwykła
download 
Reklamacja Transkrypt
Ciągłość zwykła
Ciągłość zwykła Zadanie 1 Wykazać ciągłość funkcji oraz Cauchy'ego. w dowolnym punkcie , korzystając z definicji Heinego Wskazówka W pierwszym przypadku należy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach, a w drugim dokonać oszacowania wyrażenia dla bliskiego . Rozwiązanie 1. Definicja Heinego. Weźmy dowolny ciąg zbieżny do . Mamy: Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru: Na mocy twierdzenia o trzech ciągach z (1) wynika, że czyli funkcja cosinus jest ciągła. 2. Definicja Cauchy'ego. Weźmy teraz dowolnie małe i załóżmy, że , gdzie jest małe, a ustalimy je za chwilę. Znowu możemy wykorzystać oszacowanie (1), zmieniając jednak symbol na : Jeśli teraz ustalimy biorąc , to widać, że faktycznie mamy: tak jak wymaga tego definicja Cauchy'ego. W ten sposób ponownie wykazaliśmy ciągłość funkcji. Zadanie 2 Wykazać ciągłość funkcji Heinego oraz Cauchy'ego. w dowolnym punkcie , korzystając z definicji Wskazówka W pierwszym przypadku należy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach, a w drugim dokonać oszacowania wyrażenia dla bliskiego . Rozwiązanie 1. Definicja Heinego. Weźmy dowolny ciąg zbieżny do . Mamy: gdzie skorzystaliśmy z nieparzystości funkcji arcus tangens. Wykorzystaliśmy także wzór: który słuszny jest dla rzeczywistych i , dla których . Warunek ten w (6) oznacza, że , co naturalnie jest spełnione dla odpowiednio dużych , gdyż . Oszacujemy teraz wyrażenie w mianowniku: dla dużych (pierwszy wyraz jest niezależny od rosnącym zbiega do zera). Zatem a ponieważ funkcja i większy od jedynki, a drugi wraz z jest rosnąca, więc także Ta ostatnia nierówność jest konsekwencją faktu, że Mamy zatem oszacowanie: i na mocy twierdzenia o trzech ciągach zachodzi: , skąd wynika, że . czyli funkcja arcus tangens jest ciągła. 2. Definicja Cauchy'ego. Weźmy teraz dowolnie małe i załóżmy, że , gdzie jest małe, a ustalimy je za chwilę. Można teraz powtórzyć rozumowanie, które pozwoliło nam napisać układ nierówności (11), zmieniając jedynie symbol na : Ustalając , mamy: tak jak wymaga tego definicja Cauchy'ego. Zadanie 3 Wykazać ciągłość funkcji oraz Cauchy'ego. w dowolnym punkcie , korzystając z definicji Heinego Wskazówka W pierwszym przypadku należy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach, a w drugim dokonać oszacowania wyrażenia dla bliskiego . Rozwiązanie 1. Definicja Heinego. Weźmy dowolny ciąg zbieżny do . Zachodzi: Wykażemy poniżej, że W tym celu wykorzystamy znane oszacowanie: . Zmieniając na i ograniczając się do W efekcie mamy układ nierówności (dla ): , które słuszne jest dla dowolnego , mamy także: Dla dodatnich można to przepisać w formie: a dla ujemnych Podstawiając teraz w miejsce wyrażenie widzimy, że z powyższych nierówności faktycznie wynika (16), a w konsekwencji ciąg po prawej stronie (15) zbiega do zera. Wykazaliśmy więc, że co wypełnia definicję Heinego. 2. Definicja Cauchy'ego. Weźmy teraz dowolnie małe i załóżmy, że , gdzie także jest małe, a ustalimy je za chwilę. Powtarzając rachunki prowadzące do oszacowań (18), zmieniając symbol na , możemy napisać: Jeśli , przy czym jest bardzo małe, to mamy: Pozwala nam to napisać: Ustalając , mamy: tak jak wymaga tego definicja Cauchy'ego. Zadanie 4 Wykazać ciągłość funkcji definicji Heinego oraz Cauchy'ego. dla i w dowolnym punkcie , korzystając z Wskazówka W pierwszym przypadku należy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach, a w drugim dokonać oszacowania wyrażenia dla bliskiego . Rozwiązanie 1. Definicja Heinego. Weźmy dowolny ciąg zbieżny do . Mamy naturalnie: przy użyciu tożsamości: Skoro , to możemy przyjąć, że dla odpowiednio dużych Mamy wówczas oszacowanie dla mianownika w (26): zachodzi: . [Error parsing LaTeX formula. Error 1: ] gdzie skorzystaliśmy z wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego. Mamy zatem oszacowanie: Gdy , to prawa strona zbiega do zera, co pociąga za sobą wniosek Ciągłość funkcji jest więc wykazana. 2. Definicja Cauchy'ego. Weźmy dowolnie małe i załóżmy, że , gdzie także jest małe, a ustalimy je za chwilę. Na razie wystarczy nam przyjąć, że , co jest możliwe, gdyż Powtarzamy teraz rachunki prowadzące do oszacowania (28), zmieniając symbol konsekwencji możemy napisać: . na . W Biorąc teraz otrzymujemy: tak jak wymaga tego definicja Cauchy'ego. Zadanie 5 Wykazać ciągłość funkcji oraz Cauchy'ego. w dowolnym punkcie , korzystając z definicji Heinego Wskazówka W pierwszym przypadku należy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach, a w drugim dokonać oszacowania wyrażenia dla bliskiego . Rozwiązanie 1. Definicja Heinego. Weźmy dowolny ciąg zbieżny do . Zachodzi: gdzie wykorzystaliśmy wzór Ponieważ spełniona jest nierówność: (i oczywiście ), możemy uzyskać oszacowanie: Dla ciągów wynika, iż prawa strona zbiega do zera (lewa jest stale równa zeru) i z reguły trzech co kończy dowód. 2. Definicja Cauchy'ego. Weźmy dowolnie małe i załóżmy, że , gdzie także jest małe, a ustalimy je za chwilę. Wykorzystujemy oszacowanie (35), zmieniając symbol na : Przyjmijmy, że wybieramy , co jest możliwe, gdyż . W konsekwencji możemy napisać: Biorąc teraz otrzymujemy: tak jak wymaga tego definicja Cauchy'ego. Zadanie 6 Zbadać ciągłość funkcji: . Wówczas musi zachodzić: gdzie oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej (tzw. funkcję entier). Wskazówka Stosując definicję Cauchy'ego, należy znaleźć oszacowanie wielkości osobno przypadki gdy oraz gdy . , rozpatrując Rozwiązanie Wykorzystamy definicję Cauchy'ego ciągłości funkcji. Wybierzmy pewne, dowolnie małe Będziemy się starali oszacować wyrażenie: Rozpatrzymy dwa przypadki: gdy 1. i oraz gdy . . . Weźmy małe i zażądajmy aby warunek. Mamy wówczas: . Przykładowo spełnia ten Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru: Dla małego pierwszy wyraz w ostatniej linijce (43) także jest bardzo mały, a drugi ma ustaloną, niezerową wartość, więc możemy napisać: Ze względu na to, że prawa strona ma stałą wartość (niezależną od ), nie możemy spełnić warunku dla dowolnie małego . W konsekwencji we wszystkich rozważanych punktach funkcja jest nieciągła. 2. i . Jeśli nie jest liczbą naturalną, to istnieje możemy wziąć tak małe , że zachodzi także Biorąc , otrzymujemy funkcja jest ciągła. takie, że . Wówczas . W takim przypadku mamy: , co oznacza, że w rozważanych punktach Zadanie 7 Zbadać ciągłość funkcji: gdzie oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej . Wskazówka Stosując definicję Cauchy'ego, należy znaleźć oszacowanie wielkości osobno przypadki gdy oraz gdy . , rozpatrując Rozwiązanie Wykorzystamy definicję Cauchy'ego ciągłości funkcji. Wybierzmy pewne, dowolnie małe Oszacujemy wyrażenie: rozpatrując dwa przypadki: gdy 1. i Wybierzmy małe Ponieważ więc: oraz gdy . . . i rozpatrujmy spełniające warunek: jest małe, więc możemy przyjąć, iż i w konsekwencji . Wówczas zachodzi: . Otrzymujemy Biorąc punkcie 2. , otrzymujemy nierówność , co dowodzi ciągłości funkcji w . i . Jeśli nie jest liczbą naturalną, to istnieje możemy wziąć tak małe , że zachodzi także takie, że . Wówczas , i w konsekwencji mamy: gdzie skorzystaliśmy z (44). Wybierając tym razem więc ciągła dla wszystkich , otrzymujemy ponownie . . Funkcja jest Zadanie 8 Zbadać ciągłość funkcji: gdzie . Wskazówka Należy zbadać ciągłość prawo- i lewostronną w punkcie "sklejenia". Rozwiązanie W rozwiązaniu zakładamy, iż mamy już wiedzę o ciągłości różnych funkcji elementarnych w obszarach, gdzie funkcja nie ma punktów ,"sklejenia". W tym wypadku wystarczy przywołać znane fakty, że 1. funkcja jest ciągła wszędzie, gdzie jest określona (czyli poza zerem), 2. funkcja jest ciągła wszędzie, 3. funkcja wymierna jest ciągła wszędzie, gdzie jest określona (czyli poza zerami mianownika). Na tej podstawie możemy już stwierdzić, że funkcja jest ciągła w dowolnym punkcie . Pozostaje więc do zbadania wyłącznie punkt "sklejenia", czyli . W tym celu znajdziemy granice jednostronne funkcji w zerze. Dla granicy prawostronnej otrzymujemy: a dla lewostronnej mamy: Wartość funkcji dla równa jest , więc ciągłość prawostronna wymaga spełnienia warunków: a ciągłość lewostronna: Funkcja ciągła musi być ciągła zarówno prawo- jaki lewostronnie. Widać stąd, że ciągłość funkcji dla ma miejsce tylko wtedy, gdy . Zadanie 9 Zbadać ciągłość funkcji: gdzie . Wskazówka Należy zbadać ciągłość prawo- i lewostronną w punkcie "sklejenia". Rozwiązanie Poza punktem "sklejenia" funkcja jest ciągła gdyż: 1. funkcja jest ciągła wszędzie, 2. funkcja wymierna jest ciągła wszędzie, gdzie jest określona (czyli poza zerami mianownika), 3. funkcja wielomianowa jest ciągła wszędzie. Zatem funkcja jest ciągła w dowolnym punkcie , a do zbadania pozostaje jedynie punkt "sklejenia". Poniżej znajdziemy granice jednostronne funkcji w tym punkcie. Dla granicy prawostronnej otrzymujemy: a dla lewostronnej mamy: Wartość funkcji dla równa jest , więc ciągłość lewostronna ma miejsce zawsze, a ciągłość prawostronna wymaga spełnienia warunku: . Wynika stąd, że funkcja ciągła jest dla dowolnego , gdy , niezależnie od wartości parametru . Zadanie 10 Zbadać ciągłość funkcji: gdzie oraz . Wskazówka Należy zbadać ciągłość prawo- i lewostronną w punkcie "sklejenia". Rozwiązanie Poza punktem "sklejenia" funkcja jest ciągła gdyż: 1. funkcja 2. funkcja jest ciągła wszędzie, jest ciągła wszędzie, gdzie jest określona (czyli poza zerem), 3. funkcja wykładnicza jest ciągła wszędzie, 4. funkcja potęgowa o dodatniej podstawie jest ciągła wszędzie (ewentualnie można też napisać i odwołać się do ciągłości funkcji logarytmicznej). Wynika stąd, że funkcja jest ciągła w dowolnym punkcie punkt "sklejenia". Znajdziemy teraz granice jednostronne funkcji prawostronnej mamy: i do zbadania pozostaje jedynie w tym punkcie. Dla granicy a dla lewostronnej: Wartość funkcji w punkcie równa jest , więc ciągłość prawostronna ma miejsce zawsze, a ciągłość lewostronna wymaga spełnienia warunku: . Zatem funkcja ciągła jest dla dowolnego , jedynie dla spełnić warunek , co oznacza także, iż , czyli nie może być dowolne, bo musi . Zadanie 11 Zbadać ciągłość funkcji: gdzie oraz . Wskazówka Należy zbadać ciągłość prawo- i lewostronną w punktach "sklejenia". Rozwiązanie Poza punktami "sklejenia" funkcja jest ciągła gdyż: 1. funkcja wymierna jest ciągła wszędzie, gdzie jest określona (czyli poza zerami mianownika), 2. funkcja wykładnicza jest ciągła wszędzie. Na tej podstawie możemy już stwierdzić, że funkcja jest ciągła w dowolnym punkcie . Pozostają więc do zbadania wyłącznie punkty "sklejenia", czyli i . Znajdziemy najpierw granice jednostronne funkcji dla tego pierwszego punktu. Dla granicy prawostronnej otrzymujemy: a dla lewostronnej mamy: Wartość funkcji dla równa jest , więc ciągłość prawostronna wymaga spełnienia warunków: a ciągłość lewostronna: Funkcja jest więc ciągła dla Teraz zbadamy punkt jedynie w przypadku, gdy . . Tym razem dla granicy prawostronnej otrzymujemy: a dla lewostronnej mamy: Wartość funkcji dla równa jest , więc zarówno ciągłość prawostronna jak i lewostronna (a zatem po prostu "ciągłość") wymaga spełnienia warunków: Funkcja (63) jest więc ciągła w całej swojej dziedzinie dla Zadanie 12 Zbadać ciągłość funkcji, określonej w formie granicy: . Wskazówka Należy doprowadzić funkcję do postaci definiowanej przy użyciu "klamerki"(patrz poprzednie przykłady). Rozwiązanie Przepiszmy ułamek w (71) w postaci: gdzie skorzystaliśmy ze wzoru: Jasne jest, że gdy tych argumentów, dla których , to granica w (71) także będzie równa jedności. Natomiast dla , granica nie istnieje, a zatem funkcja nie jest określona. We wszystkich pozostałych przypadkach zachodzi: wartość . Mamy zatem i funkcja przyjmuje gdzie . Oczywiste jest, że funkcja jest stała (a zatem także ciągła) wewnątrz każdego z przedziałów postaci: natomiast nieciągła jest dla . Punkty postaci Zadanie 13 Zbadać ciągłość funkcji, określonej w formie granicy: nie należą do dziedziny. Wskazówka Należy doprowadzić funkcję do postaci definiowanej przy użyciu "klamerki" (patrz poprzednie przykłady). Rozwiązanie Zauważmy, że wyrażenie da się przepisać w postaci dodatnie dla każdego . W konsekwencji i dla wszystkich . Gdy , a zatem jest ono jest dobrze określone dla dowolnego , mamy następujące oszacowanie i z reguły trzech ciągów wynika, że Natomiast, gdy , mamy: gdzie tym razem wykorzystaliśmy następującą postać wyrażenia pod pierwiastkiem: Z reguły trzech ciągów wynika teraz, że Funkcję można więc przepisać w postaci: Poza punktami "sklejenia" funkcja jest ciągła. Natomiast dla mamy: co oznacza, że funkcja jest w tym punkcie ciągła. Ze względu na parzystość (82) jest ona także ciągła dla .
