KARTA PRZEDMIOTU Kod przedmiotu AM2_M Nazwa przedmiotu

KARTA PRZEDMIOTU
Kod przedmiotu
AM2_M
w języku polskim
w języku angielskim
Nazwa przedmiotu
Analiza Matematyczna 2
Mathematical Analysis 2
USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW
Kierunek studiów
Matematyka
Forma studiów
Stacjonarne
Poziom studiów
Studia I stopnia licencjackie
Profil studiów
Ogólnoakademicki
Specjalność
Matematyka bankowa i ubezpieczeniowa
Jednostka prowadząca
przedmiot
Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki
Osoba odpowiedzialna za
przedmiot- koordynator
przedmiotu
Imię i nazwisko
Kontakt
Prof. dr hab. Kazimierz Włodarczyk
[email protected]
Forma zajęć
Termin i miejsce
odbywania zajęć
Miejsce realizacji
Zajęcia w
pomieszczeniu
dydaktycznym
Instytutu Nauk
Ekonomicznych i
Informatyki
Wykład i konwersatorium
Termin realizacji
Semestr letni
OGÓLNA CHARAKTERYSTYKA PRZEDMIOTU
Status przedmiotu/przynależność
do modułu
Moduł treści podstawowych
Przedmiot obowiązkowy
Język wykładowy
Polski
Semestry, na których realizowany
jest przedmiot
II
Wymagania wstępne
Student powinien posiadać wiedzę dotyczącą AM1_M
FORMY, SPOSOBY I METODY PROWADZENIA ZAJĘĆ
Formy
zajęć
Wykład
rok
Liczba
godzin
Sem
estr
ćwiczenia
r
s
lektorat
r
s
konwersato seminariu
rium
m
r
30
s
r
s
ZP
r
Samokszt
ałcenieZBUN
PZ
S
r
s
R
30
Zajęcia konwersatoryjne w grupach 25-30 osobowych,
Sposób realizacji zajęć 2 godziny tygodniowo wykładu,
2 godziny tygodniowo konwersatorium.
Sposób zaliczenia zajęć
Metody dydaktyczne
Wykład – egzamin ustny
Konwersatorium - kolokwia
1. Wykład – wykład, analiza tekstu z dyskusją.
Przedstawione są zagadnienia teoretyczne - twierdzenia, definicje, ilustrujące
przykłady, stawiane są i rozwiązywane problemy, prezentowane są idee i
możliwości stosowań, prezentowany jest rys historyczny oraz wskazywane są
kontynuacje oraz związki z innymi działami matematyki.
2.
Konwersatorium – pogadanka, własna działalność, zadania do
S
rozwiązania.
Analizowane są zadania ilustrujące materiał teoretyczny zaprezentowany na
wykładzie, konwersatorium prowadzone jest w formie pogadanki i ogólnej
dyskusji.
Przedmioty
powiązane/moduł
Podstawowa
Wykaz
literatury
Uzupełni
ająca
[1] J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT,
Warszawa, 1996.
[2] W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I, II,
PWN, Warszawa, 2006.
[3] G. N. Berman, A problem book in mathematical analysis, 1977.
[4] L. M. Drużkowski, Analiza matematyczna, Wydaw. UJ, 1998.
[1] G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I-III, PWN, W-wa,
1964.
[2] B. P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Naukowa Książka,
Lublin, 1992.
[3] W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, W-wa, 1983.
[4] W. I. Smirnow, Matematyka wyższa, PWN, Warszawa, 1958.
[5] S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, PWN, Warszawa,
2007.
[6] R. Kowalczyk, K. Niedziałomski, C. Obczyński, Matematyka dla studentów i
kandydatów na wyższe uczelnie. Repetytorium. PWN, Warszawa 2012.
[7] R. Kowalczyk, K. Niedziałomski, C. Obczyński, Całki. Metody
rozwiązywania zadań. PWN, Warszawa 2012.
CELE, TREŚCI I EFEKTY KSZTAŁCENIA
Cele przedmiotu (ogólne, szczegółowe)
C1
Zaznajomienie studenta z podstawowymi zagadnieniami dotyczącymi granic funkcji, ciągłości
funkcji i jednostajnej ciągłości funkcji (ideami i stosowanymi metodami i technikami badawczymi).
C2
Zaznajomienie studenta z podstawowymi zagadnieniami dotyczącymi różniczkowalności funkcji,
wyznaczania ekstremów funkcji różniczkowalnych i badania funkcji różniczkowalnych (ideami i
stosowanymi metodami i technikami badawczymi).
C3
Zaznajomienie studenta z funkcjami n-krotnie różniczkowalnymi, ich własnościami i
twierdzeniami o wartości średniej (ideami i stosowanymi metodami i technikami badawczymi).
C4
Zaznajomienie studenta z całkowalnością funkcji.
C5
Zaznajomienie studenta z zastosowaniami rachunku całkowego (ideami i stosowanymi metodami
i technikami badawczymi).
Treści programowe
Efekty
kształceni
a (kody)
Forma
zajęć
Temat
Liczba
godzin
Granica i ciągłość funkcji
(w przestrzeniach metrycznych)
W1
Wykład
Definicje Cauchy'ego i Heinego granicy funkcji - ich równoważność.
Jedyność granicy funkcji. Działania na granicach. Ciągłość funkcji w
punkcie i na zbiorze (każda funkcja określona na zbiorze E jest ciągła
w każdym punkcie izolowanym tego zbioru). Jeśli odwzorowanie f
zbioru E w R (E otwarty podzbiór przestrzeni metrycznej X) jest ciągłe
w punkcie p zbioru E i f(p)=α>0 (<0), to istnieje otoczenie punktu p, w
którym funkcja f jest dodatnia (ujemna). Superpozycja funkcji i
ciągłość superpozycji funkcji ciągłych. Odwzorowanie f przestrzeni
metrycznej X w przestrzeń metryczną Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy,
gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego w Y jest zbiorem
otwartym w X. Definicja odwzorowania ograniczonego. Obraz ciągły
przestrzeni zwartej jest zbiorem zwartym. (Weierstrass) Funkcja
rzeczywista, ciągła na zbiorze zwartym, osiąga swoje kresy.
Odwzorowanie odwrotne. Jeśli f jest ciągłym 1-1 odzorowaniem
zwartej przestrzeni metrycznej X na przestrzeń metryczną Y, to
odwzorowanie odwrotne f-1 jest ciągłym odzwzorowaniem Y na X.
Homeomorfizm. Metryka jest funkcją ciągłą. Odzwzorowanie
zwężające. Punkt stały. Zasada kontrakcji Banacha (proste
zastosowania). Ciągłość jednostajna. Funkcja jednostajnie ciągła na X
jest ciągła na X. Funkcja ciągła na przestrzeni zwartej X jest
jednostajnie ciągła na X . Obraz ciągły przestrzeni spójnej jest zbiorem
10
spójnym. Własność Darboux dla funkcji rzeczywistej ciągłej na
przedziale <a,b> . Granice jednostronne. Nieciągłości I i II rodzaju.
Istnienie granic jednostronnych funkcji monotonicznych. Zbiór
punktów nieciągłości funkcji monotonicznej jest co najwyżej
przeliczalny. Jeśli f
jest funk-cją rzeczywistą, ciągłą i ściśle
monotoniczną na (a,b), to funkcja odwrotna f-1 jest ciągła na f((a,b)) .
Ciągłość funkcji elementarnych i odwrotnych do nich.
Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistej
zmiennej rzeczywistej. Pewne uwagi o różniczkowaniu funkcji
wektorowej zmiennej rzeczywistej
W1,
W2,W4
Wykład
Pochodna. Różniczkowalność a ciągłość. Działania na funkcjach a
pochodne.
Różniczkowalność
funkcji
odwrotnej.
Pochodne
podstawowych funkcji elementarnych i odwrotnych do nich. Maksima i
minima lokalne. Lemat Fermata (war. konieczny istnienia ekstremum
funkcji różniczkowalnej). Twierdzenia: Rolle'a, Lagrange'a o wartości
średniej (wnioski). Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji
różniczkowalnej (pierwszy). Uogólnione twierdzenie (Cauchy'ego) o
wartości średniej. Symbole nieoznaczone. Reguły de l'Hospitala.
Różniczka. Definicje funkcji (różniczkowalnych) wypukłych i
wklęsłych. Punkt przegięcia funkcji. Warunki wypukłości i wklęsłości.
Warunek konieczny i warunek dostateczny (pierwszy) istnienia punktu
przegięcia. Asymptoty. Wzór Taylora (Maclaurina) z resztami
Lagrange'a i Cauchy'ego. Warunek dostateczny istnienia ekstremum
funkcji n-krotnie różniczkowalnej (drugi). Warunek dostateczny
istnienia punktu przegięcia (drugi). Wzory Taylora (Maclaurina) dla
funkcji elementarnych. Analogony twierdzeń o wartościach średnich
Lagrange'a i Cauchy'ego dla odwzorowań f określonych na przedziale
<a,b> o wartościach w Rk. Własność Darboux dla pochodnej funkcji
różniczkowalnej. Badanie zmienności
krzywych określonych
parametrycznie lub w postaci biegunowej.
10
Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona.
Całka Riemanna funkcji rzeczywistej
zmiennej rzeczywistej
W1-W4
Wykład
Funkcja pierwotna F funkcji f przekształcającej I w R, I - przedział w
R. F=F0+C. Funkcja ciągła na I ma funkcję pierwotną. Całka
nieoznaczona. Całkowanie przez części i przez podstawienie. Całka
oznaczona - wzór na wartość średnią, całkowanie przez części i przez
podstawienie, własności, przypadek odwzorowań o wartościach w Rk i
w C . Całka funkcji ciągłej na przedziale domkniętym i ograni-czonym
oraz jej aproksymacja sumami Riemanna. Całka Riemanna podstawowe twierdzenie rachunku całkowego. Zastosowania całki
oznaczonej: krzywa prostowalna i jej długość; obliczania pola zbioru
płaskiego; punkty osobliwe funkcji i całka niewłaściwa, pole
powierzchni i objętość brył obrotowych. Funkcje o wahaniu
ograniczonym (informacyjnie). Twierdzenie Cauchy-Maclaurina
(kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych).
10
Granica i ciągłość funkcji
(w przestrzeniach metrycznych)
K_U01K_U04
Definicje Cauchy'ego i Heinego granicy funkcji - ich równoważność.
Jedyność granicy funkcji. Działania na granicach. Ciągłość funkcji w
punkcie i na zbiorze (każda funkcja określona na zbiorze E jest ciągła
w każdym punkcie izolowanym tego zbioru). Jeśli odwzorowanie f
zbioru E w R (E otwarty podzbiór przestrzeni metrycznej X) jest ciągłe
Konwer- w punkcie p zbioru E i f(p)=α>0 (<0), to istnieje otoczenie punktu p, w
satorium którym funkcja f jest dodatnia (ujemna). Superpozycja funkcji i
ciągłość superpozycji funkcji ciągłych. Odwzorowanie f przestrzeni
metrycznej X w przestrzeń metryczną Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy,
gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego w Y jest zbiorem
otwartym w X. Definicja odwzorowania ograniczonego. Obraz ciągły
przestrzeni zwartej jest zbiorem zwartym. (Weierstrass) Funkcja
rzeczywista, ciągła na zbiorze zwartym, osiąga swoje kresy.
Odwzorowanie odwrotne. Jeśli f jest ciągłym 1-1 odzorowaniem
zwartej przestrzeni metrycznej X na przestrzeń metryczną Y, to
10
odwzorowanie odwrotne f-1 jest ciągłym odzwzorowaniem Y na X.
Homeomorfizm. Metryka jest funkcją ciągłą. Odzwzorowanie
zwężające. Punkt stały. Zasada kontrakcji Banacha (proste
zastosowania). Ciągłość jednostajna. Funkcja jednostajnie ciągła na X
jest ciągła na X. Funkcja ciągła na przestrzeni zwartej X jest
jednostajnie ciągła na X. Obraz ciągły przestrzeni spójnej jest zbiorem
spójnym. Własność Darboux dla funkcji rzeczywistej ciągłej na
przedziale <a,b> . Granice jednostronne. Nieciągłości I i II rodzaju.
Istnienie granic jednostronnych funkcji monotonicznych. Zbiór
punktów nieciągłości funkcji monotonicznej jest co najwyżej
przeliczalny. Jeśli f
jest funk-cją rzeczywistą, ciągłą i ściśle
monotoniczną na (a,b), to funkcja odwrotna f-1 jest ciągła na f((a,b)) .
Ciągłość funkcji elementarnych i odwrotnych do nich.
W1, W2 KonwerRachunek różniczkowy funkcji rzeczywistej zmiennej
satorium rzeczywistej. Pewne uwagi o różniczkowaniu funkcji wektorowej
zmiennej rzeczywistej
10
Pochodna. Różniczkowalność a ciągłość. Działania na funkcjach a
pochodne.
Różniczkowalność
funkcji
odwrotnej.
Pochodne
podstawowych funkcji elementarnych i odwrotnych do nich. Maksima i
minima lokalne. Lemat Fermata (war. konieczny istnienia ekstremum
funkcji różniczkowalnej). Twierdzenia: Rolle'a, Lagrange'a o wartości
średniej (wnioski). Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji
różniczkowalnej (pierwszy). Uogólnione twierdzenie (Cauchy'ego) o
wartości średniej. Symbole nieoznaczone. Reguły de l'Hospitala.
Różniczka. Definicje funkcji (różniczkowalnych) wypukłych i
wklęsłych. Punkt przegięcia funkcji. Warunki wypukłości i wklęsłości.
Warunek konieczny i warunek dostateczny (pierwszy) istnienia punktu
przegięcia. Asymptoty. Wzór Taylora (Maclaurina) z resztami
Lagrange'a i Cauchy'ego. Warunek dostateczny istnienia ekstremum
funkcji n-krotnie różniczkowalnej (drugi). Warunek dostateczny
istnienia punktu przegięcia (drugi). Wzory Taylora (Maclaurina) dla
funkcji elementarnych. Analogony twierdzeń o wartościach średnich
Lagrange'a i Cauchy'ego dla odwzorowań f określonych na przedziale
<a,b> o wartościach w Rk. Własność Darboux dla pochodnej funkcji
różniczkowalnej. Badanie zmienności
krzywych określonych
parametrycznie lub w postaci biegunowej.
Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona.
Całka Riemanna funkcji rzeczywistej
zmiennej rzeczywistej
K_U06,
K_U23
Funkcja pierwotna F funkcji f przekształcającej I w R, I - przedział w
R. F=F0+C. Funkcja ciągła na I ma funkcję pierwotną. Całka
nieoznaczona. Całkowanie przez części i przez podstawienie. Całka
oznaczona - wzór na wartość średnią, całkowanie przez części i przez
Konwerpodstawienie, własności, przypadek odwzorowań o wartościach w Rk i
satorium w C . Całka funkcji ciągłej na przedziale domkniętym i ograni-czonym
oraz jej aproksymacja sumami Riemanna. Całka Riemanna podstawowe twierdzenie rachunku całkowego. Zastosowania całki
oznaczonej: krzywa prostowalna i jej długość; obliczania pola zbioru
płaskiego; punkty osobliwe funkcji i całka niewłaściwa, pole
powierzchni i objętość brył obrotowych. Funkcje o wahaniu
ograniczonym (informacyjnie). Twierdzenie Cauchy-Maclaurina
(kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych).
10
Efekty kształcenia
Student, który zaliczył przedmiot
Kod
w zakresie WIEDZY
W1
W2
W3
Student zna zagadnienia związane z granicami funkcji, ciągłością
funkcji i jednostajną ciągłością funkcji.
Student zna zagadnienia związane z różniczkowalnością funkcji
zmiennej rzeczywistej.
Student zna zagadnienia związane z całkowalnością funkcji
Odniesienie do efektów
kształcenia
dla kierunku
K_W01-K_W05_
K_W01-K_W07
K_W01-K_W07
zmiennej rzeczywistej.
W4
U1
U2
U3
U4
K1
Student zna zastosowania rachunku różniczkowego i całkowego
funkcji zmiennej rzeczywistej.
K_W01-K_W07
w zakresie UMIEJĘTNOŚCI
Student potrafi wyznaczać granice funkcji, potrafi badać ciągłość
funkcji i potrafi badać ciągłość jednostajną funkcji.
Student potrafi wyznaczać pochodne funkcji i potrafi badać
funkcje.
Student potrafi wyznaczać całki funkcji.
K_U12
K_U12
K_U12K_U14
Student potrafi stosować rachunek całkowy.
K-U12K_U15
w zakresie KOMPETENCJI
Student potrafi formułować opinie na temat podstawowych
zagadnień dotyczących teorii funkcji, różniczkowalności funkcji
zmiennej rzeczywistej, całkowalności funkcji zmiennej rzeczywistej
oraz różnorodnych zastosowań.
Egzamin ustny
Efekty
W1
kształceni W2
a (kody) W3
W4
Metody weryfikacji efektów kształcenia
Egzamin
SprawozdaProjekt
Kolokwium
pisemny
nie
U1
U2
U3
U4
K1
K_K01-K_K07
Referat/
prezentacja
Inne
Punkty ECTS
Obciążenie studenta
Liczba punktów
Liczba godzin
ECTS
Godziny kontaktowe z nauczycielem akademickim, w tym:
wykłady
30
1,2
Forma aktywności
konwersatoria
30
1,2
30
1,2
90
3,6
Ćwiczenia
Konsultacje przedmiotowe w ramach wykładów
Konsultacje
przedmiotowe
w
ramach
konwersatorium/ćwiczeń
Łącznie godzin/punktów ECTS wynikających z zajęć
kontaktowych z nauczycielem akademickim
Godziny bez udziału nauczyciela akademickiego wynikające z nakładu pracy studenta, w tym:
Przygotowanie się do egzaminu + zdawanie egzaminu
35
1,4
Przygotowanie się do kolokwium zaliczeniowego
30
1,2
20
0,8
85
3,4
175
7
51%
51%
Przygotowanie się do zajęć, w tym studiowanie zalecanej
literatury w ramach wykładów
Przygotowanie się do zajęć, w tym studiowanie zalecanej
literatury w ramach konwersatorium/ćwiczeń
Przygotowanie raportu, projektu, prezentacji, dyskusji
Łącznie godzin/punktów ECTS wynikających z
samodzielnej pracy studenta
Sumaryczna liczba godzin/punktów ECTS dla
przedmiotu wynikająca z całego nakładu pracy
studenta
Odsetek godzin/punktów ECTS wynikających z zajęć
kontaktowych z nauczycielem akademickim