wersja do druku (plik PDF)

Zadania z geometrii algebraicznej
Zadanie 1. Niech C3 będzie twisted cubic, pokazać, że ideał I(C3 ) jest generowany przez równania Q0 = Z0 Z3 −
Z1 Z2 , Q1 = Z1 Z3 − z22 , Q2 = Z0 Z2 − Z12 .
Pokazać, że przecięcie dowolnych dwóch spośród wielomianów Qi (ogólniej dwóch nieproporcjonalnych elementów
przestrzeni wektorowej rozpiętej przez Q0 , Q1 , Q2 ) składa się z krzywej C3 i pewnej prostej przecinającej twisted cubic
w dwóch punktach lub do niej stycznej.
Pokazać, że jeżeli prosta L przecina twisted cubic w dwóch punktach lub jest do niej styczna, to zbiór L ∪ C jest
przecięciem dwóch kwadryk.
Wskazówka: Zadanie można zrobić na dwa sposoby uzyskując różną dodatkową informację. Używając algebry liniowej możemy zapisać F, G dwie nieproporcjonalne kwadryki przestrzeni wektorowej jako kombinacje liniowe Ai ,
dodajmy jeszcze trzecią H tak aby F, G, H były inną bazą przestrzeni wektorowej, wtedy
 
 
F
Q0
 G  = M1 Q1 
H
Q2
gdzie M1 jest nieosobliwą macierzą przejścia. Poszukujemy relacji (takie relacje w pierścieniu wielomianów nazywamy
syzygiami) stopnia jeden między elementami F, G, H. Trzy formy liniowe można zapisać w postaci
Z0 , Z1 , Z2 , Z3 M2
gdzie M2 jest macierzą 3 × 4. Odpowiadająca im kombinacja liniowe macierz Q0 , Q1 , Q2 jest równa
 
Q0
Z0 , Z1 , Z2 , Z3 M2 M1 Q1 
Q2
Macierz M1 jest ustalona, macierz M2 jest szukana, aby odpowiadające jej kombinacja liniowa była równa zero, iloczyn
M2 M1 musi być równy stosownym macierzom kombinacji liniowych dla form Q0 , Q1 , Q2 .
Można w tym miejscu nie odwoływać się do wcześniejszych obliczeń ale rozpisać wszystko w bazie wielomianów
jednorodnych stopnia 2.
Pytanie dodatkowe, czy istnieje macierz 3 × 2 której minorami są formy kwadratowe F, G, H (jeśli ją znajdziemy,
obliczenia staną się dużo prostsze). Co będzie jak podziałamy na wyjściową macierz z jednej strony macierzą 2 × 2
lub z drugiej strony macierza 3 × 3.
Argumentacja geometryczna. Niech F, G będą dwiema kwadrykami zawierającymi twisted cubic. Zauważyć, że
jeśli C3 6= F ∩ G, to F ∩ G = C3 ∪ L gdzie L jest krzywą, której żadna składowa nie zawiera się w C3 . Pokazać,
że dla dowolnych dwóch punktów L \ C3 przecięcie F ∩ G zawiera prostą przechodzącą przez te dwa punkty, a dla
dowolnych trzech punktów L \ C3 niewspółliniowych, F ∩ G zawiera płaszczyznę przechodzącą przez te punkty. Stąd
L jest prostą.
Pokazać, że prosta L przecina dowolną kwadrykę jej niezawierającą w dwóch punktach, lub jednym punkcie z
krotnością 2.
Zadanie 2. Niech C3 będzie obrazem potrójnego zanurzenia Veronese prostej rzutowej (czyli twisted cubic). Niech πP
będzie rzutem 3 \ {P } −→ 2 z punktu P . Udowodnić, że


 stożkową gdy P ∈ C3 ,
πP (C3 \ {P }) jest
parabolą półsześcienną gdy P 6∈ C3 , P leży na stycznej do C3


liściem kartezjusza w pozostałych przypadkach
P
P
Uwaga: Można przyjąć jako definicje, że prosta jest styczna do twisted cubic C jeśli każda kwadryka z ideału I(C)
zeruje się w jednym punkcie prostej (lub znika tożsamościowo).
Wskazówka: W ilu punktach prosta w 2 przecina obraz?
Złożenie rzutowania z zanurzeniem Veronese zawsze można przedtawić w postaci (F0 , F1 , F2 ) gdzie Fi są wielomianami jednorodnymi stopnia 3. Pokazać, że jeżeli punkt P leży na C3 to podwójne zanurzenie Veronese V1,2 .
P
Zadanie 3. Skonstruować odwzorowanie regularne i biwymierne π :
C := {(x : y : z) ∈
P1 −→ C, gdzie C jest liściem kartezjusza
P2 : x3 + y3 = 3xyz}.
P
Zadanie 4. Pokazać, że dowolna krzywa rzutowa stopnia 3 w 2 (czyli hiperpowierzchnia zadana jednym równaniem
jednorodnym stopnia 3) z punktem osobliwym jest izomorficzna z dokłądnie jedną z
• x3 + y 3 − 3xy, (lub równoważnie y 2 = x3 − x2 ),
• xy(x + y + 1),
• y 2 − x3 ,
• xy(x + y),
• (x2 + y 2 − 1)x,
• x2 y,
2
2
• (x + y − 1)(x + 1),
• x3 .
Zadanie 5. Niech a ∈ V będzie ustalonym punktem rozmaitości afinicznej i niech m będzie minimum krotności przecięcia V z prostymi w a. Pokazać, że suma mnogosciowa prostych o krotności przecięcia większej niż m jest zadana
przez znikanie najniższych niezerowych form jednorodnych w rozwinięciach w punkcie a elementów ideału I(V ).
Zadanie 6. Niech (R, m) będzie pierścieniem lokalnym w zerze jednej z następjących krzywych stopnia 3
(a) y 2 = x3 + x,
(b) y 2 = x3 ,
(c) y 2 = x3 + x2
Wyznaczyć pierścień z gradacją grm (R).
C
Zadanie 7. Wyznaczyć iloraz przestrzeni 2 przez działanie grupy µ3
• (x, y) 7→ (ζ3 x, ζ3 y)
• (x, y) 7→ (ζ3 x, ζ32
(to znaczy wyznaczyć podpierścień wielomianów niezmienniczych ze względu na działanie grupy, udowodnić podpierścień ten jest –algebrą afiniczną, wskazać odpowiadającą jej rozmaitość afiniczną). Pokazać, że skonstruowana rozmaitość ma stosowną własność uniwersalną.
k
Zadanie 8. Niech V będzie rozmaitością afiniczną, a ∈ V . Oznaczmy przez m1 (odp. m2 ) ideał maksymalny pierścienia [V ] funkcji znikających w a (odp. ideał maksymalny pierścienia lokalnego OV,a ). Pokazać, że dla dowolnego
k ∈ przestrzenie wektorowe mk1 /mk+1
oraz mk2 /mk+1
są izomorficzne.
1
2
N
k
P
P
Zadanie 9. Niech σ : 2 3 (x : y : z) 7→ (yz : xz : xy) ∈ 2 . Pokazać, że odwzorowanie σ jest biwymierne. Niech
C bedzie krzywą w 2 daną równaniem (a)
zy 2 = x3 ,
(b) zy 2 = x3 + zx2 .
Obliczyć zbiór σ(C ∩ U ) gdzie U jest zbiorem otwartym, na którym σ jest odwzorowaniem regularnym.
P
2