Spis treści

3
Spis treści
Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. Funkcje trygonometryczne
dowolnego kąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Równania trygonometryczne – ciąg
dalszy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Nierówności trygonometryczne . . . . . . . . . 63
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Miara łukowa kąta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Okręgi i proste na płaszczyźnie . . . . . . . . 68
Kąt jako miara obrotu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Kąt środkowy i pole wycinka koła . . . . . . . 68
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Funkcje trygonometryczne dowolnego
kąta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Kąt wpisany i jego związek z kątem
środkowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Wartości funkcji trygonometrycznych
Styczna do okręgu i jej własności . . . . . . . 78
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
wielokrotności kąta
π
. . . . . . . . . . . . . . . . 20
2
.
Znaki wartości funkcji
trygonometrycznych dowolnego kąta . . . . 21
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Wzory redukcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Okresowość funkcji trygonometrycznych 26
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Związki między funkcjami
trygonometrycznymi tego samego kąta . . . 31
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Funkcje trygonometryczne sumy
i różnicy kątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Suma i różnica funkcji
trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Okręgi styczne i ich własności . . . . . . . . . . 85
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Przed obowiązkową maturą. . . . . . . . . . . . . 89
3. Wielokąty na płaszczyźnie i obliczenia
z zastosowaniem trygonometrii . . . . . . . . 91
Trójkąty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Prostokąty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Kwadraty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Równoległoboki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Romby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Trapezy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Wykresy i własności funkcji
trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Deltoidy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Wykres funkcji sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Okrąg wpisany w czworokąt . . . . . . . . . . . 121
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Wykres funkcji cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Wykresy funkcji tangens . . . . . . . . . . . . . . . 46
Przekształcanie wykresów funkcji
trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Równania trygonometryczne . . . . . . . . . . . 52
_Księga LO kl3R RR.indb 3
Okrąg opisany na czworokącie . . . . . . . . . 126
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Rozwiązywanie zadań
optymalizacyjnych z planimetrii . . . . . . . 131
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2014-03-26 09:16:51
4
Spis treści
Rozwiązywanie zadań
optymalizacyjnych z zastosowaniem
rachunku różniczkowego . . . . . . . . . . . . . . 135
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7. Ostrosłupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Odcinki i kąty w ostrosłupie . . . . . . . . . . . 212
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Przed obowiązkową maturą. . . . . . . . . . . . 142
Przekroje ostrosłupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4. Twierdzenie sinusów i twierdzenie
cosinusów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Pole powierzchni i objętość ostrosłupa . . 224
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Twierdzenie sinusów . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Przed obowiązkową maturą. . . . . . . . . . . . 232
Twierdzenie cosinusów . . . . . . . . . . . . . . . 152
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Zastosowanie twierdzenia sinusów
i twierdzenia cosinusów . . . . . . . . . . . . . . . 160
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5. Proste, płaszczyzny i kąty
w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8. Walec, stożek i kula . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Walec, jego pole powierzchni i objętość . 234
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Stożek, jego pole powierzchni i objętość 242
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Kula, jej pole powierzchni, objętość
i przekroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Wzajemne położenie prostych
i płaszczyzn w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . 166
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9. Rachunek prawdopodobieństwa . . . . . . 259
Kąt dwuścienny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Doświadczenie losowe i zbiór zdarzeń
elementarnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6. Graniastosłupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Odcinki w graniastosłupach i kąty
między tymi odcinkami . . . . . . . . . . . . . . . 180
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Kąty w graniastosłupie między
odcinkami i płaszczyznami . . . . . . . . . . . . 185
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Kąty między ścianami w graniastosłupie 189
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Przekroje prostopadłościanu . . . . . . . . . . . 191
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Przekroje graniastosłupa . . . . . . . . . . . . . . 196
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Pole powierzchni i objętość
graniastosłupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Przed obowiązkową maturą. . . . . . . . . . . . 257
Liczba wyników doświadczenia
losowego. Reguła mnożenia i reguła
dodawania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Obliczanie liczby oczekiwanych
wyników doświadczenia losowego . . . . . 267
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Zdarzenie losowe i jego
prawdopodobieństwo . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Pojęcie prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . 277
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Obliczanie prawdopodobieństwa
za pomocą metody drzew . . . . . . . . . . . . . 292
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Własności prawdopodobieństwa . . . . . . . 306
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Przed obowiązkową maturą. . . . . . . . . . . . 315
Przed obowiązkową maturą. . . . . . . . . . . . 209
_Księga LO kl3R RR.indb 4
2014-03-26 09:16:52
Spis treści
10. Kombinatoryka
a prawdopodobieństwo . . . . . . . . . . . . . . 318
n

k 
Pojęcie silni ( n! ) 
Symbol Newtona
. . . . . . . . . . . . . . . . 318
. . . . . . . . . . . . . . . . 319
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
5
13. Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . 387
1. Funkcje trygonometryczne
dowolnego kąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
2. Okręgi i proste na płaszczyźnie . . . . 393
Permutacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
3. Wielokąty na płaszczyźnie
i obliczenia z zastosowaniem
trygonometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Wariacje bez powtórzeń . . . . . . . . . . . . . . . 327
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
4. Twierdzenie sinusów i twierdzenie
cosinusów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
Wariacje z powtórzeniami . . . . . . . . . . . . . 330
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5. Proste, płaszczyzny i kąty
w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
Kombinacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
6. Graniastosłupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
7. Ostrosłupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
Kombinatoryka w zadaniach . . . . . . . . . . . 339
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
8. Walec, stożek i kula . . . . . . . . . . . . . . 410
11. Prawdopodobieństwo warunkowe
i całkowite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
Prawdopodobieństwo warunkowe i jego
własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
Prawdopodobieństwo całkowite . . . . . . . . 354
Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
9. Rachunek prawdopodobieństwa . . . . 412
10. Kombinatoryka
a prawdopodobieństwo. . . . . . . . . . . . 417
11. Prawdopodobieństwo warunkowe
i prawdopodobieństwo całkowite. . . 419
12. Utrwalamy nabyte umiejętności
z zakresu podstawowego . . . . . . . . . . 420
12. Utrwalamy nabyte umiejętności . . . . . . 359
Liczby rzeczywiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
Wyrażenia algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . 362
Równania i nierówności . . . . . . . . . . . . . . . 364
Funkcje i ich właściwości . . . . . . . . . . . . . 368
Funkcja liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
Funkcja kwadratowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Funkcje postaci y =
a
i y = a x . . . . . . . . . 372
x
Ciągi liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Ciąg arytmetyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
Ciąg geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
Trygonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
Geometria analityczna . . . . . . . . . . . . . . . . 382
Elementy statystyki opisowej . . . . . . . . . . 384
_Księga LO kl3R RR.indb 5
2014-03-26 09:16:53