1 Potrzebne poj¦cia 2 Twierdzenie Steinera

1
Potrzebne poj¦cia
1.1
Bryªa sztywna
Wyobra¹my sobie n punktów materialnych, ka»dy o masie mi . Je±li te punkty s¡ tak ze
sob¡ poª¡czone, »e nie poruszaj¡ si¦ wzgl¦dem siebie, tylko zawsze jako caªo±¢, mówimy »e
tworz¡ bryª¦ sztywn¡. Zaªo»enie sztywno±ci jest potrzebne, np. gdyby ciaªo mogªo zmienia¢
ksztaªt, moment bezwªadno±ci nie byªby staªy i obliczenia byªyby o wiele trudniejsze (np.
ukªad ciaª poª¡czonych spr¦»ynami nie byªby bryª¡ sztywn¡, a podczas wirowania spr¦»yny
by si¦ rozci¡gaªy).
Je±li punktów jest niesko«czenie wiele (jak w przypadku ciaª rozci¡gªych, takich jak walec, kula itd), sumowanie powinno zamieni¢ si¦ na caªkowanie, ale wszystkie dowody wygl¡daj¡ tak samo.
1.2
‘rodek masy
Niech M =
Pn
i=1
mi , a poªo»enie i-tego punktu to Ri , wtedy poªo»enie ±rodka masy1 to:
n
X
~ CM = 1 ·
~i
R
mi R
M i=1
1.3
(1)
Moment bezwªadno±ci
Moment bezwªadno±ci I bryªy sztywnej zawsze liczymy wzgl¦dem jakiej± osi, wtedy:
I=
n
X
mi · ri2
(2)
i=1
Gdzie ri to odlegªo±¢ i-tego punktu od osi. Je±li o± ustawimy wzdªu» osi Z tak, »e przechodzi
przez pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych, to wtedy ri = x2i + yi2 (mo»liwe »e na zaj¦ciach z
rozp¦du dopisaªem zi2 , co jest bez sensu, bo ri jest odlegªo±ci¡ od osi, a nie od pocz¡tku
ukªadu 2 ).
2
Twierdzenie Steinera
2.1
Tre±¢
IAX = ICM + M d2
(3)
Gdzie IAX to moment bezwªadno±ci wzgl¦dem dowolnej osi (po angielsku Axis), ICM to
moment bezwªadno±ci wzgl¦dem osi przechodz¡cej przez ±rodek masy1 i równolegªej do
tamtej osi, M to masa caªej bryªy, a d to odlegªo±¢ mi¦dzy osiami.
1 po angielsku Center of Mass
2 Wi¦cej o odlegªo±ci punktu od prostej w trójwymiarowej przestrzeni jest np. na Wikipedii, od fragmentu Prost¡ mo»na ogólnie przedstawi¢ wektorowo jako....
1
2.2
Dowód
Wzory na momenty bezwªadno±ci zawieraj¡ odlegªo±ci od poszczególnych osi, wprowadzam
wi¦c wektory3
~ i , która jest prostopadªa do osi (osie s¡ równolegªe, wi¦c niewa»ne do której)
~ri = cz¦±¢ R
P
1
~rCM = M · ni=1 mi r~i , czyli cz¦±¢ wektora ±rodka masy, która jest prostopadªa do osi
~rAX = wektor prostopadªy do osi, wskazuj¡cy na now¡ o± (t¦, wzgl¦dem której liczymy I ).
Wtedy d2 = (~rCM − ~rAX )2 (patrz rysunek), a kwadrat odlegªo±ci i-tego punktu od osi
przechodz¡cej przez ±rodek masy to (~ri −~rCM )2 (analogicznie dla nowej osi mam (~ri −~rAX )2 ).
n
n
X
X
Wobec tego:
2
2
2
mi (~ri − ~rAX ) =
IAX =
ICM =
i=1
n
X
2
mi (~ri − ~rCM ) =
i=1
n
X
(4)
mi (~ri2
2
+ ~rCM
− 2~ri · ~rCM )
i=1
Odejmuj¦ stronami oba równania:
IAX − ICM =
mi (~ri + ~rAX − 2~ri · ~rAX )
i=1
n
X
2
2
mi ~rAX
− ~rCM
+ 2~ri · (~rCM − ~rAX ) =
i=1
=
n
X
!
mi
2
(~rAX
2
− ~rCM
)
+2
i=1
n
X
(5)
!
mi~ri
· (~rCM − ~rAX )
i=1
Ale z denicji ~rCM mamy (
Pn
i=1
mi~ri ) = M~rCM , czyli:
2
2
IAX − ICM = M (~rAX
− ~rCM
) + 2M~rCM · (~rCM − ~rAX ) =
2
2
2
− 2M~rCM · ~rAX =
= M (~rAX − ~rCM ) + 2M~rCM
2
2
= M (~rAX + ~rCM − 2~rCM · ~rAX ) =
= M (~rCM − ~rAX )2 = M d2
(6)
Teraz wystarczy doda¢ ICM stronami, aby otrzyma¢ IAX = ICM + M d2 .
3 Ka»dy trójwymiarowy wektor
w
~ || = (w
~ · ~n) · ~n, w
~⊥ = w
~ −w
~ || ,
w
~
gdzie
mo»na podzieli¢ na cz¦±¢ prostopadª¡ i równolegª¡ do danej prostej:
~n
oznacza wektor o dªugo±ci 1, równolegªy do danej prostej.
2