FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI
Do zdefiniowania pojęcia funkcji potrzebne będą dwa zbiory, nazwijmy je 𝑿 i 𝒀 oraz pewne
przyporządkowanie, które wiąże ze sobą ich elementy.
DEFINICJA FUNKCJI
Funkcją nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi 𝑥 danego zbioru 𝑋 dokładnie jednego
elementu 𝑦 zbioru 𝑌. Zbiór 𝑋, nazywany zbiorem argumentów funkcji, a zbiór 𝑌, nazywany zbiorem
wartości funkcji.
W definicji tej kluczowe znaczenie ma słowo "dokładnie"; wystarczy bowiem, że jakiemuś elementowi
przyporządkujemy więcej niż jeden element by takie przyporządkowanie nie było funkcją. Zbiory 𝑋 i 𝑌
mogą być to zupełnie dowolnymi zbiorami, my będziemy jednak zajmować się tylko zbiorami
liczbowymi. Funkcje na nich określone nazywamy funkcjami liczbowymi.
Zdanie: 𝑓 jest funkcją zbioru 𝑋 w zbiór 𝑌 zapisujemy symbolicznie:
𝑓: 𝑋 → 𝑌 lub 𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) lub jeszcze krócej 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Zmienną 𝑥 nazywamy argumentem funkcji, zmienną 𝑦 wartością funkcji.
DZIEDZINA, ZBIÓR WARTOŚCI, MIEJSCE ZEROWE FUNKCJI
Dziedzina funkcji jest to zbiór wszystkich elementów zbioru 𝑋, dla których określona jest funkcja (zbiór
argumentów). Zbiór wartości funkcji jest to zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez funkcję.
Miejsce zerowe funkcji to argument 𝑥, dla którego 𝑓(𝑥) = 0.
Przykład 1: Każdej liczbie całkowitej przyporządkowujemy liczbę przeciwną do niej. W tym przypadku
dziedziną jest zbiór liczb całkowitych ℤ, a przeciwdziedziną także zbiór liczb całkowitych ℤ. Funkcję tę
zapisujemy: 𝑓(𝑥) = −𝑥.
Przykład 2: Każdej liczbie rzeczywistej różnej od zera przyporządkowujemy jej odwrotność. Dziedziną i
1
przeciwdziedziną jest zbiór liczb ℝ ∖ {0}. Funkcję tę zapisujemy: 𝑓(𝑥) = .
𝑥
UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH PROSTOKĄTNYCH
Układem współrzędnych prostokątnych na płaszczyźnie
nazywamy parę osi liczbowych wzajemnie prostopadłych. Ich
punkt przecięcia, punkt zerowy każdej z osi, nazywamy
początkiem układu.
Oś 𝑂𝑋 (poziomą) nazywamy osią odciętych.
Oś 𝑂𝑌 (pionową) nazywamy osią rzędnych.
Każdemu punktowi 𝑃 płaszczyzny przyporządkowujemy
następująco dwie liczby. Rzutujemy punkt 𝑃 na oś 𝑂𝑋 i na oś
𝑂𝑌. Odcięta punktu 𝑃 to współrzędna rzutu na osi 𝑂𝑋, zaś
rzędna punktu 𝑃 to współrzędna rzutu na osi 𝑂𝑌.
W ten sposób każdej uporządkowanej parze liczb
rzeczywistych przyporządkowujemy punkt na płaszczyźnie i
odwrotnie,
każdemu
punktowi
na
płaszczyźnie
przyporządkowujemy
uporządkowaną
parę
liczb
rzeczywistych.
WYKRES FUNKCJI
Wykresem funkcji 𝒇(𝒙) na płaszczyźnie nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o
współrzędnych (𝒙, 𝒇(𝒙)), gdzie 𝒙 jest argumentem funkcji, a 𝒇(𝒙) jej wartością.
Przykłady wykresów funkcji
MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI
Mówimy, że funkcja f jest monotoniczna w danym przedziale, jeśli posiada w nim jedną z czterech
własności:




funkcja jest rosnąca jeśli większym argumentom odpowiadają większe wartości,
inaczej, dla dowolnych 𝑥1 , 𝑥2 : 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )
Wykres takiej funkcji „wznosi się” gdy poruszamy się „w prawo”.
funkcja jest malejąca jeśli większym argumentom odpowiadają mniejsze wartości,
inaczej, dla dowolnych 𝑥1 , 𝑥2 : 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 )
Wykres takiej funkcji „opada” gdy poruszamy się „w prawo”.
funkcja jest nierosnąca jeśli dla dowolnych 𝑥1 , 𝑥2 : 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) ≥ 𝑓(𝑥2 )
funkcja jest niemalejąca jeśli dla dowolnych 𝑥1 , 𝑥2 : 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 )
MAKSIMUM I MINIMUM FUNKCJI.
Spójrzmy na funkcję obok, określoną dla 𝑥 ∈ [−4; 4]. Przyjmuje ona
zarówno wartość największą i najmniejszą. Funkcja ta przyjmuje
wartość największą 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 3 dla 𝑥1 = 2. Natomiast wartością
najmniejszą tej funkcji jest 𝑦𝑚𝑖𝑛 = −3 dla 𝑥2 = −4.
Zwróćmy uwagę, że funkcja ta posiada dwa „szczyty” i jedną „dolinę”
położoną między nimi. Takie miejsca nazywane są ekstremami funkcji.
Ekstremum funkcji definiuje się jako wartość, dla której funkcja
zmienia swoją monotoniczność np. z rosnącej na malejącą. „Szczyt”
nazywamy maksimum funkcji, zaś „dolinę” minimum funkcji.
NAJMNIEJSZA I NAJWIĘKSZA WARTOŚĆ FUNKCJI
Funkcja 𝑦 = 𝑓(𝑥) przyjmuje wartość największą 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ) dla pewnego 𝑥0 ∈ 𝑋 wtedy i tylko wtedy,
gdy dla każdego 𝑥0 ∈ 𝑋 zachodzi nierówność𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ). Funkcja 𝑦 = 𝑓(𝑥) przyjmuje wartość
najmniejszą 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ) dla pewnego 𝑥0 ∈ 𝑋 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego 𝑥0 ∈ 𝑋 zachodzi
nierówność𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0 ).
FUNKCJA RÓŻNOWARTOŚCIOWA
Jest to funkcja, która różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości. Innymi słowy funkcja
przyjmuje
równe
wartości
tylko
dla
równych
argumentów.
W skrócie: 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) => 𝑥1 = 𝑥2 . Najprostszym przykładem funkcji różnowartościowej jest funkcja
tożsamościowa 𝑓(𝑥) = 𝑥.
FUNKCJA WZAJEMNIE JEDNOZNACZNA (BIJEKCJA)
Jest to funkcja, która jest różnowartościowa i 𝑌 jest zbiorem wartości. O takiej funkcji mówimy że
odwzorowuje zbiór 𝑋 na zbiór 𝑌.
FUNKCJA PARZYSTA
To funkcja, która przeciwnym argumentom z dziedziny przyporządkowuje równe wartości:
∀𝑥: 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥)
Przykładem funkcji parzystej jest funkcja 𝑓(𝑥) = |𝑥|.
Inne przykłady: funkcje potęgowe o parzystym wykładniku, np. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 , 𝑓(𝑥) = 𝑥 8 …
FUNKCJA NIEPARZYSTA
To funkcja, która przeciwnym argumentom z dziedziny przyporządkowuje przeciwne wartości:
∀𝑥: 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥)
Przykładem funkcji nieparzystej jest funkcja tożsamościowa. Innymi przykładami są funkcje potęgowe o
nieparzystym wykładniku, np. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 , 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 , 𝑓(𝑥) = 𝑥 7 …
Uwaga! Jeśli funkcja nie jest parzysta nie oznacza to, że jest nieparzysta. I odwrotnie: jeśli funkcja nie
jest nieparzysta nie oznacza to, że jest parzysta. Większość funkcji nie jest ani parzysta ani nieparzysta.
FUNKCJA OKRESOWA
To funkcja której wartości powtarzają się co pewną stałą wartość argumentu. Najmniejszą z tych wartości
nazywamy okresem podstawowym. Inaczej: gdy istnieje liczba 𝑇 ≠ 0, taka że ∀𝑥: 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥).
Przykładami funkcji okresowych są funkcje trygonometryczne 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑓(𝑥) =
𝑡𝑔𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑡𝑔𝑥. Funkcja stała jest okresowa, okresem jej jest każda liczba rzeczywista.
Przykłady wykresów funkcji okresowych
PRZEKSZTAŁCANIE WYKRESÓW FUNKCJI
Symetria wykresu względem osi 𝑶𝑿.
Jeżeli wykres funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥)przekształcimy przez symetrię względem
osi 𝑂𝑋, to każda wartość funkcji po przekształceniu zmieni znak. Zatem
wzór funkcji o wykresie odbitym symetrycznie względem osi OX będzie
miał postać: 𝑦 = −𝑓(𝑥).
A zatem by sporządzić wykres funkcji 𝑦 = −𝑓(𝑥) należy wykres funkcji
𝑦 = 𝑓(𝑥) odbić symetrycznie względem osi 𝑂𝑋.
Symetria wykresu względem osi 𝑶𝒀.
Jeżeli wykres funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥) przekształcimy przez symetrię względem
osi 𝑂𝑌, to każdy argument funkcji po przekształceniu zmieni znak. Zatem
wzór funkcji o wykresie odbitym symetrycznie względem osi OX będzie
miał postać: 𝑦 = 𝑓(−𝑥).
A zatem by sporządzić wykres funkcji 𝑦 = 𝑓(−𝑥) należy wykres funkcji
𝑦 = 𝑓(𝑥) odbić symetrycznie względem osi 𝑂𝑌.
Symetria wykresu względem środka układu współrzędnych.
Jeżeli wykres funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥) przekształcimy przez symetrię względem
początku układu współrzędnych, to każdy argument funkcji i każda
wartość funkcji po przekształceniu zmieni znak. Zatem wzór funkcji o
wykresie odbitym symetrycznie względem osi OX będzie miał postać:
𝑦 = −𝑓(−𝑥).
A zatem by sporządzić wykres funkcji 𝑦 = −𝑓(−𝑥) należy wykres
funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥) odbić symetrycznie środka układu współrzędnych.
Przesunięcie wykresu (translacja).
Jeżeli wykres funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥) przesuniemy o wektor 𝑢
⃗ = [𝑎, 𝑏].
otrzymamy wykres funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑎) + 𝑏.
Zatem aby sporządzić wykres funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑎) + 𝑏 należy wykres
funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥) przesunąć o wektor 𝑢
⃗ = [𝑎, 𝑏].
Zamiana wykresu funkcji 𝒇(𝒙) na wykres funkcji |𝒇(𝒙)|.
Aby z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) powstał wykres funkcji |𝑓(𝑥)| odbijamy część wykresu funkcji 𝑓(𝑥)
leżąca pod osią 𝑂𝑋 symetrycznie względem tej osi.
Zamiana wykresu funkcji 𝒇(𝒙) na wykres funkcji 𝒇(|𝒙|).
Aby z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) powstał wykres funkcji 𝑓(|𝑥|) odbijamy część wykresu funkcji 𝑓(𝑥)
leżąca z prawej strony osi 𝑂𝑌 symetrycznie względem tej osi. Część wykresu leżąca z lewej strony
osi 𝑂𝑌 pomijamy.
ZADANIA
1. Sprawdź, które z poniższych przyporządkowań jest funkcją:
a) każdej liczbie naturalnej przyporządkowujemy jej dzielnik
b) każdemu trójkątowi przyporządkowujemy środek okręgu opisanego na nim
c) każdemu czworokątowi przyporządkowujemy jego oś symetrii
d) każdej figurze przyporządkowujemy jej pole
e) każdemu okręgowi przyporządkowujemy styczną (do niego)
f) każdej nieujemnej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy jej pierwiastek kwadratowy
2. Podaj przykład dowolnje funkcji ze zbioru zbiór 𝑋 w zbiór 𝑌 jeśli:
a) 𝑋 = ℝ
𝑌 = ℝ+ ∪ {0}
b) 𝑋 = ℝ
𝑌 = ℝ− ∪ {0}
c) 𝑋 = ℤ
𝑌 = 𝑧𝑏𝑖ó𝑟 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏 𝑝𝑎𝑟𝑧𝑦𝑠𝑡𝑦𝑐ℎ
d) 𝑋 = ℕ
𝑌 = 𝑧𝑏𝑖ó𝑟 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏 𝑐𝑎ł𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑦𝑐ℎ 𝑢𝑗𝑒𝑚𝑛𝑦𝑐ℎ
3. Która z określonych niżej funkcji odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zbiór 𝑋 na zbiór 𝑌?
a)
b)
c)
d)
𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥
𝑦 = 𝑓(𝑥) = −√𝑥
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
= ℝ+
= ℝ+
=ℕ
=ℤ
𝑌=ℝ
𝑌 = ℝ−
𝑌=ℕ
𝑌=ℤ
4. Określ zbiór wartości funkcji jeśli jej dziedziną jest:
a) 𝕎
b) ℝ+ ∪ {0}
c) ℤ ∖ {0}
d) ⟨−1; 1⟩
5. Określ dziedzinę funkcji:
1
d) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 + √1 − 𝑥
a) 𝑓(𝑥) = (𝑥−1)(𝑥−2)
2𝑥+1
1
c) 𝑓(𝑥) = √𝑥
6. Określ dziedzinę i zbiór wartości funkcji:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1
1
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥
d)
e)
f)
g)
1
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 + 𝑥+1
f) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2
b) 𝑓(𝑥) = √3𝑥 − 1
𝑥
h) 𝑓(𝑥) = 𝑥+1
i) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1
√𝑥+1
j) 𝑓(𝑥) = 𝑥2−1
1
𝑥2
𝑓(𝑥) =
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2
𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1
𝑓(𝑥) = √𝑥 2
𝑥
k) 𝑓(𝑥) = √𝑥2−1
7. Określ zbiór wartości funkcji przy podanej obok dziedzinie:
1
d) 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥 2
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥
𝑥 ∈ (0; 1)
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3
1
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥
𝑥 ∈ ℝ+
f) 𝑓(𝑥) = 2𝑥
2
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 +1
𝑥∈ℝ
𝑥
8. Dana jest funkcja 𝑓(𝑥) = 𝑥+1 Oblicz:
1
1
𝑓(0), 𝑓(1), 𝑓(2), 𝑓(√2), 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥 − 1), 𝑓(𝑥 2 )
𝑥 ∈ ℝ−
𝑥 ∈ ⟨−3; + ∞)
𝑥∈ℕ
14. Rysunki przedstawiają wykresy sześciu
różnych funkcji. Każda z nich określona
jest w zbiorze ℛ i każdą oznaczamy 𝑦 =
𝑓(𝑥). Naszkicuj na osobnych rysunkach
wykresy następujących funkcji:
a) 𝑦 = |𝑓(𝑥)|
b) 𝑦 = −𝑓(𝑥)
c) 𝑦 = −𝑓(𝑥)
d) 𝑦 = −𝑓(−𝑥)
15. Przekształcając odpowiednio wykresy
funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥)na danym rysunku
narysuj wykres podanej funkcji:
a) 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 3
(rys. 3.4)
b) 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 3)
(rys. 3.5)
c) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 2)
(rys. 3.6)
d) 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 2
(rys. 3.7)
e) 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 3) + 1 (rys. 3.8)
f) 𝑦 = 1 − 𝑓(𝑥)
(rys. 3.9)
9. Określ miejsca zerowe funkcji:
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 4
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2
c) 𝑓(𝑥) = |𝑥| − 2
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 1
10. Sprawdź, które z funkcji są parzyste, które nieparzyste, a które żadne z nich:
a) 𝑓(𝑥) =
b)
c)
d)
e)
𝑥2
2𝑥2 −1
𝑓(𝑥) = √𝑥 ⋅ √𝑥 + 1
𝑓(𝑥) = 𝑥 5 + 𝑥 3 + 𝑥
𝑓(𝑥) = |𝑥| − 2
𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2|
11. Która z określonych poniżej funkcji odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zbiór X na zbior Y?
a)
b)
c)
d)
𝑓(𝑥) = √𝑥 , 𝑋 = ℛ+ , 𝑌 = ℛ
𝑓(𝑥) = −√𝑥 , 𝑋 = ℛ+ , 𝑌 = ℛ−
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − √𝑥 , 𝑋 = 𝒩 , 𝑌 = 𝒩
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 , 𝑋 = 𝒵 , 𝑌 = 𝒵
12. Uzasadnij na podstawie definicji, że każda z podanych niżej funkcji jest rosnąca w podanym zbiorze.
1
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 , 𝑥 ∈ ℛ
e) 𝑓(𝑥) = − 𝑥 , 𝑥 ∈ ℛ+
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 , 𝑥 ∈ ℛ
f) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 , 𝑥 ∈ ℛ +
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1 , 𝑥 ∈ ℛ+
d) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 4 , 𝑥 ∈ ℛ−
13. Uzasadnij na podstawie definicji, że każda z podanych niżej funkcji jest malejąca w podanym zbiorze.
1
a) 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 4 , 𝑥 ∈ ℛ
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 , 𝑥 ∈ ℛ+
2
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 , 𝑥 ∈ ℛ−
e) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1| , 𝑥 ∈ ℛ−
1
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 , 𝑥 ∈ ℛ+
f) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 , 𝑥 ∈ (−∞; 1)
16. Sprawdź czy punkty należą do wykresu funkcji 𝑓(𝑥):
1 7
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3 , 𝑥 ∈ ℝ
𝑃1 = (−2, −7)
𝑃2 = (−1, 4)
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ
1
c) 𝑓(𝑥) =
, 𝑥 ∈ ℝ ∖ {2}
𝑃1 = (√3, √3 + 3)
𝑃1 = (2, 0)
𝑃2 = (−1, 0)
𝑃3 = (2 , 9)
𝑃3 = (2, 8)
𝑃2 = (1, −1)
𝑃3 = (√3, √5 + 2)
d) 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥 2 , 𝑥 ∈ ℝ
𝑃1 = (√3, −2)
𝑃2 = (−1, 0)
𝑃3 = (2 , 9)
𝑥−2
1 8
17. Naszkicuj wykres funkcji 𝑦 = 𝑠𝑔𝑛 𝑥 określonej następująco:
1 𝑑𝑙𝑎 𝑥 ∈ ℝ+
𝑠𝑔𝑛 𝑥 = { 0 𝑑𝑙𝑎 𝑥 = 0
−1 𝑑𝑙𝑎 𝑥 ∈ ℝ−
1
18. Symbol [𝑥] oznacza największą z liczb całkowitych, które są miejsze lub równe 𝑥, np. [3] = 0,
3
[− 4] = −1, [5] = 5. Naszkicuj wykres funkcji:
a) 𝑓(𝑥) = [𝑥]
b) 𝑓(𝑥) = 1 − [𝑥]
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − [𝑥]
19. Naszkicuj wykres funkcji 𝑦 = 2𝑥 a następnie odpowiednio go przekształcając, narysuj wykresy
funkcji:
a) 𝑦 = 2𝑥 − 3
c) 𝑦 = −2𝑥
b) 𝑦 = 2𝑥 + 2
d) 𝑦 = |2𝑥|
20. Naszkicuj na jednym rysunku pary wykresów funkcji:
a) 𝑦 = 𝑥 + 1
i
𝑦 = |𝑥| + 1
b) 𝑦 = 2𝑥 − 1 i
𝑦 = 2|𝑥| − 1
c) 𝑦 = −3𝑥 + 2 i
𝑦 = −3|𝑥| + 2
d) 𝑦 = −2𝑥 − 3 i
𝑦 = −2|𝑥| − 3