Porządki częściowe I

MFI
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 9
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
13 grudnia 2016
Porządki częściowe I
Porządkiem częściowym (posetem) nazywamy parę (X, R) gdzie X jest zbiorem, a R ⊂
X 2 jest relacją zwrotną, przechodnią oraz antysymetryczną, tzn. jeżeli (x, y) ∈ R oraz
(y, x) ∈ R, to x = y. Jeżeli dodatkowo relacja R jest spójna, tj. ∀x,y∈X (x, y) ∈ R
lub (y, x) ∈ R, to porządek nazywamy liniowym. Element a nazywamy maksymalnym
w porządku (X, ¬), gdy ∀x∈X a ¬ x ⇒ a = x. Element a nazywamy największym
w porządku (X, ¬), gdy ∀x∈X x ¬ a. Elementy minimalne i najmniejsze definiujemy
analogicznie. Element a0 ∈ X nazywamy supremum zbioru A (kresem górnym), gdy:
(i) ∀a∈A a ¬ a0 ,
(ii) (∀a∈A a ¬ b) ⇒ a0 ¬ b.
Infimum zbioru A (kres dolny) definiujemy analogicznie. Zbiór A ⊆ X nazywamy łańcuchem, gdy ∀a,b∈A (a ¬ b) ∨ (b ¬ a). Zbiór A ⊆ X nazywamy antyłańcuchem, gdy
∀a,b∈A (a 6= b) ⇒ ¬(a ¬ b ∨ b ¬ a).
Zadanie 1. Sprawdź, czy poniższe pary tworzą częściowe porządki:
(i) (NN , R) taka, że f Rg ↔ ∃h∈NN h ◦ f = g ◦ h.
(ii) ([0, 1][0,1] , R) taka, że f Rg ↔ ∃x∈[0,1] f (x) 6 g(x).
Zadanie 2. Niech R i S będą relacjami częściowego porządku na X. Pokaż, że relacja
R ∪ S częściowo porządkuje X wtedy i tylko wtedy, gdy
(R ◦ S) ∪ (S ◦ R) ⊆ R ∪ S
oraz
R ∩ S −1 = 1X .
Zadanie 3. Rozważmy poset (N+ , |) oraz zbiór A = {8, 28, 32}. Wyznacz zbiór jego
ograniczeń dolnych i górnych oraz znajdź sup A i inf A.
Zadanie 4. Niech A = {y ∈ R : ∃x∈R y = sin x + cos x}.
(i) Pokaż, że zbiór A jest ograniczony,
(ii) Znajdź supremum A w (R, 6).
Zadanie 5. Pokaż, że w dowolnym częściowym porządku (X, 6):
(i) istnieje inf ∅ wtedy i tylko wtedy, gdy w (X, 6) istnieje element największy,
(ii) istnieje sup ∅ wtedy i tylko wtedy, gdy w (X, 6) istnieje element najmniejszy,
(iii) jeśli każdy podzbiór X ma supremum, to każdy podzbiór X ma infimum.
Zadanie 6. Podaj przykład porządku (X, 6) takiego, że A ⊆ X ma supremum wtedy
i tylko wtedy, gdy A jest skończony.
Zadanie 7. Podaj przykład porządku z jednym elementem maksymalnym i bez elementu
największego.
Zadanie 8. Podaj przykład zbioru częściowo uporządkowanego, z dwoma elementami
maksymalnymi i jednym minimalnym, bez elementu najmniejszego i z takim czteroelementowym antyłańcuchem, który jest ograniczony z góry ale nie ma kresu górnego.
Strona 1/2
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 9
Semestr zimowy 2016/2017
MFI
Kraków
13 grudnia 2016
Zadanie 9. Podaj przykład zbioru liniowo uporządkowanego, w którym istnieje podzbiór
niemający supremum.
Zadanie 10. Pokaż, że jeśli x i y elementami maksymalnymi w częściowym porządku
(X, 6), to sup{x, y} istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy x = y.
Zadanie 11. Czy dla każdej antysymetrycznej relacji R na zbiorze X istnieje relacja S
częściowo porządkująca X taka, że R ⊆ S?
Zadanie 12. Niech R i S będą relacjami liniowego porządku na X. Czy następujące
relacje liniowo porządkują X:
(i) R ∪ S,
(ii) R ∩ S,
(iii) R \ S,
(iv) R ÷ S?
Zadanie 13. Czy antyłańcuch może być łańcuchem?
Zadanie 14. (?) Ile elementów posiada największy, pod względem mocy, łańcuch w
(P(N), ⊆)? Wskazówka: Zbiór A ⊂ Q nazywamy wypukłym, jeśli dla dowolnych a, b ∈ A,
jeśli c ∈ Q i a < c < b, to c ∈ A. Sprawdź ile jest zbiorów wypukłych w Q.
Zadanie 15. (?) Pokaż, że każda relacja częściowego porządku na zbiorze skończonym A
może zostać rozszerzona do relacji liniowego porządku na A.
Zadanie 16. (?) Skonstruuj relacje liniowego porządku na zbiorach:
(i) N2 ,
(ii)
S
i∈N+
Ni ,
(iii) C.
Strona 2/2