zestaw 7

Logika i Teoria Mnogości 2016/17
ZESTAW 7
Zadanie 7.1
Jeśli X, Y to zbiory, a w element, prosz˛e pokazać: ¬
X ∪ {w} ⊆ Y
⇒ w ∈ Y.
Zadanie 7.2
Jeśli X, Y to zbiory a w element, prosz˛e pokazać: ¬
Y ⊆ X ∪ {w}
⇒ (Y ⊆ X) ∨ (w ∈ Y ).
Zadanie 7.3
Oznaczamy X 0 = X ∪ {X}. Załóżmy iż dla zbiorów Y z pewnej rodziny zbiorów Y zachodzi:
(Y ⊆ X) ∧ (Y 6= X)
⇒
Y ∈ X.
(∗)
Prosz˛e pokazać lub skonstruować kontrprzykład, ( ­ ) iż
(Y ⊆ X 0 ) ∧ (Y 6= X 0 )
⇒
Y ∈ X 0.
Czy jeśli Y to rodzina liczba naturalnych i (∗) zachodzi to jest to prawda ?
Zadanie 7.4
Dla dowolnej relacji R ⊂ X × X , prosz˛e pokazać:
1. R ⊆ R−1
⇒
R = R−1 , ¬
2. Po to by R była spójna potrzeba i wystarcza: R ∪ R−1 = X × X , ¬
3. Niech R bedzie
˛
relacja˛ cz˛eściowego porzadku
˛
a S relacja˛ równoważności na X . Kiedy R da sie˛
określić na zbiorze klas abstrakcji ? ­
Zadanie 7.5
Niech X bedzie
˛
cz˛eściowo uporzadkowany,
˛
majoranta˛ zbioru A ⊆ X nazywamy x ∈ X takie, że a ∈ A ⇒
a ≤ x. Podobnie definiujemy minorante.
˛
Supremum zbioru A to najmniejsza majoranta, a infimum zbioru A to najwieksza
˛
minoranta. Zakładajac,
˛
iż zbiory A, B maja˛ supremum i infimum, co można powiedzieć o: ­
sup(A ∩ B),
sup(A ∪ B),
inf(A ∩ B),
inf(A ∪ B)
Zadanie 7.6
Czy działanie przemienne musi być łaczne
˛
? Jeśli nie, prosz˛e podać kontrprzykład. ¬
Zadanie 7.7
Prosz˛e pokazać, iż dla dowolnych m, n, k zachodzi
k(m + n) = km + kn.
(∗)
Wskazówka: Prosz˛e pokazać, iż P = {k ∈ N : (∗)zachodzi} jest zbiorem induktywnym.
Zadanie 7.8
Niech Ai ⊆ X bedzie
˛
rodzina˛ zbiorów indeksowana˛ liczbami naturalnymi. Prosz˛e sprawdzić czy ( ®):
!
lim sup{Ai } =
\ [
i=1
Aj
j≥i
sa˛ sobie równe i podać odpowiednie przykłady.
!
,
lim inf{Ai } =
[ \
i=1
j≥i
Aj ,