doc20.10
download 
Reklamacja Transkrypt
20.10
Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Wyklad 3 Uklady modelowe I Pudla wielowymiarowe Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Hamiltonian, równania Schrödingera hamiltonian ~2 d 2 2m dx 2 równanie Schrödingera zależne od czasu Ĥ(x) = T̂ (x) = − − ~2 ∂ 2 Ψ(x, t) ∂Ψ(x, t) = i~ 2m ∂x 2 ∂t stany stacjonarne 2 dψE (x) 2mE p = − 2 ψE (x) = − 2 dx ~ ~ ψE (x) = −k 2 ψE (x) Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Analiza rozwiazań , E = k = 0 (rozwiazanie nieporzadne) , , ψE =0 ∝ x E < 0, k = iκ (rozwiazanie nieporzadne) , , ψE <0 = A exp(κx) + B exp(−κx) E > 0, k ∈ R (rozwiazanie porzadne) , , ψE >0 = A exp(ikx) + B exp(−ikx) k 2 ~2 E = 2m Pudla wielowymiarowe Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Wnioski energia w ruchu swobodnym nie jest kwantowana funkcje A exp(ikx) i B exp(−ikx) sa, funkcjami wlasnymi pedu , z wartościami wlasnymi odpowiednio k~ i −k~ stale calkowania A i B wyznaczane sa, przez warunki poczatkowe (brzegowe), na przyklad gdy czastka porusza sie, , , zgodnie z osia, x(→) , wówczas B = 0 pelne funkcje falowe (z czlonem zależnym od czasu) reprezentuja, fale plaskie rozchodzace a:, w , sie, ze stala, predkości , ← (x, t)) prawo (Ψ→ (x, t)) i w lewo (Ψ E E funkcji ψE >0 (x) nie da sie, unormować do jedności, sens fizyczny maja, jedynie wzgledne gestości prawdopodobieństwa: , , typowe dla ruchu nieograniczonego warunek ortonormalności dla widma ciag , lego: hψE |ψE 0 i = δ(E − E 0 ) Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Czastka w stalym potencjale , V (x) = V 6= 0 hamiltonian Ĥ(x) = T̂ (x) + V̂ (x) = − ~2 d 2 +V 2m dx 2 wektor falowy k 02 = 2m(E − V ) ~2 rozwiazania , ψE −V >0 = A exp(ik 0 x) + B exp(−ik 0 x) k 02 ~2 E = 2m Pudla wielowymiarowe Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Definicja ukladu, obraz klasyczny Czastka klasyczna nadchodzaca z −∞: , , przejdzie do obszaru III dla E > V0 odbije sie, od bariery w przypadku E < V0 Rozważamy strumień czastek kwantowych nadchodzacy z −∞ . . . , , Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Ogólna postać rozwiazań , E > V0 √ ψI = A exp(ik0 x) + B exp(−ik0 x), ψII = C exp(ikx) + D exp(−ikx), ψIII = F exp(ik0 x), k0 = √ 2mE ~ , 2m(E −V ) k= √ ~ 0 , k0 = 2mE ~ , x <0 0¬x ¬L x >L 0 < E < V0 √ ψI = A exp(ik0 x) + B exp(−ik0 x), ψII = C exp(κx) + D exp(−κx), ψIII = F exp(ik0 x), k0 = √ 2mE ~ , 2m(V0 −E ) κ= √ ~ , 2mE k0 = ~ , x <0 0¬x ¬L x >L Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe Warunki ciag , lości Ciag , lość funkcji falowej: ψI (0) = ψII (0) ψII (L) = ψIII (L) Ciag , lość pierwszej pochodnej funkcji falowej: ψI0 (0) = ψII0 (0) 0 (L) ψII0 (L) = ψIII FEMO Pudla wielowymiarowe Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Prawdopodobieństwa przejścia i odbicia prawdopodobieństwo przejścia F 2 P+ = A prawdopodobieństwo odbicia B 2 P− = = 1 − P+ A −1 E > V0 : P+ =1+ 0<E < −1 V0 : P+ 1 4 k02 −k 2 kk0 =1+ 1 4 2 sin2 (kL) k02 +κ2 κk0 2 sinh2 (κL) Pudla wielowymiarowe Czastka swobodna , Bariera potencjalu Tunelowanie I Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Czastka swobodna , Bariera potencjalu Tunelowanie II prawdopodobieństwo przetunelowania szybko zanika ze wzrostem dlugości bariery wzrost wysokości bariery ma mniejsze znaczenie bariera staje sie, przezroczysta dla kL = nπ Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Tunelowanie w fizyce i w biologii Azotobacter vinelandii ferredoxin I Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Podwójna bariera funkcja zszywana z pieciu kawalków , najwygodniej użyć oprogramowania typu CAS (Mathematica, Maple, . . . ) Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe A kind of magic zupelnie nieaddytywny efekt obecność drugiej bariery czyni możliwymi rezonanse Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Opis ukladu Czastka zamknieta w pudelku o , , x =a ∞, 0, V (x) = ∞, krawedziach dla x = −a i , x ¬ −a −a < x < a x a funkcja falowa musi mieć postać ψ(x) = 0, x ¬ −a A exp(ikx) + B exp(−ikx), 0, x −a −a < x < a Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Warunki brzegowe i kwantowanie Warunek ciag , lości w x = −a i x = a wymusza A exp(ika) + B exp(−ika) = 0 A exp(−ika) + B exp(ika) = 0 Uklad równań na wspólczynniki A i B jest jednorodny i ma nietrywialne rozwiazania wtedy, gdy , exp(ika) exp(−ika) =0 exp(−ika) exp(ika) Stad , kn = nπ , 2a n = . . . , −1, 0, 1, . . . Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Stany wlasne Można pokazać, co uczynimy na ćwiczeniach :), że: dla n = 0 nie otrzymujemy funkcji porzadnej , funkcje otrzymane dla n i −n różnia, sie, tylko znakiem, czyli opisuja, ten sam stan Ostatecznie otrzymamy: ψn = ψn = En = √1 a √1 a cos nπx 2a , n = 1, 3, . . . sin nπx 2a , n = 2, 4, . . . ~2 k 2 2m = ~2 π 2 n2 8ma2 , n = 1, 2, . . . Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Symetria funkcji falowej potencjal jest symetryczny wzgledem zera: V (−x) = V (x) , kwadrat modulu funkcji falowej powinien wykazywać identyczna, symetrie, przy zalożeniu, że funkcje sa, rzeczywiste, możliwe bed , a, tylko dwie sytuacje: ψn (−x) = ψn (x) lub ψn (−x) = −ψn (x) funkcje parzyste dla nieparzystych n funkcje nieparzyste dla parzystych n Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Widmo energii, wez , ly funkcji falowej odleglości miedzy kolejnym poziomami energetycznymi szybko , rosna, ze wzrostem n funkcja falowa dla każdego kolejnego poziomu ma dodatkowy weze na konieczność spelnienia warunków , l ze wzgledu , ortogonalności w granicy a → ∞ czastka może przyjmować dowolne energie , lacznie z zerow a (obraz klasyczny) , , w granicy n → ∞ rozklad gestości prawdopodobieństwa jest , praktycznie jednorodny (obraz klasyczny) Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Alternatywne definicje pudla x ∈< −a, a > x ∈< 0, L > ψn = √1a cos nπx 2a , 1, 3, . . . n= ψn = √1a sin nπx 2a , 2, 4, . . . n= En = ~2 π 2 n2 , 8ma2 n = 1, 2, . . . podkreślenie symetrii ψn = 21/2 1, 2, . . . En = q ~2 π 2 n2 , 2mL2 1 L sin nπx L , n= n = 1, 2, . . . pojedyncze wyrażenie na funkcje falowe Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Czasteczka butadienu jako pudlo 1D dla elektronów π , Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Energetyka orbitali/stanów π eksperymentalna dlugość fali odpowiadajaca , wzbudzeniu: 217nm hc = λFEMO = EFEMO hc 9E1 −4E1 = 220nm Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Butadien vs hekstarien Absorpcja promieniowania: butadien: 217nm heksatrien: 258nm efekt batochromowy ze wzrostem dlugości lańcucha FEMO: butadien: 220nm heksatrien: 251nm Pudla wielowymiarowe Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Benzen pudlo cykliczne (czastka na okregu) , , warunki brzegowe: ψ(0) = ψ(L), ψ 0 (0) = ψ 0 (L) rozwiazania: , ψ0 = ψn = ψn = En = q 1 qL 2 L q sin 2nπx L 2 2nπx L cos L ~2 π 2 (2n)2 2mL2 , n>0 , n<0 degeneracja stanów wzbudzonych Pudla wielowymiarowe Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Gestość π wedlug FEMO , poprawna struktura ekstremów dla polienów aromatyczny charakter benzenu brak aromatyczności dla kationu/anionu benzenu Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Hamiltoniany separowalne Definicja Jeżeli hamiltonian ukladu Ĥ(q) zależy od wspólrzednych w taki , sposób, że daje sie, on wyrazić jako suma hamiltonianów dla poszczególnych wymiarów Ĥ(q1 , q2 , . . . , qm ) = m X Ĥi (qi ) i=1 to hamiltonian taki nazywamy hamiltonianem separowalnym. Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Twierdzenie o separacji Twierdzenie Jeżeli hamiltonian jest separowalny i Ĥi (qi )ψi (qi ) = Ei ψi (qi ), i = 1, 2, . . . , m to ψ(q) = E = m Y i=1 m X i=1 ψi (qi ) Ei Pudla wielowymiarowe Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe Pudlo 2D x ∈< 0, Lx >, s ψnx ,ny = 2 Enx ,ny y ∈< 0, Ly > 1 nx πx ny πy sin sin Lx Ly Lx Ly ~2 π 2 = 2m ny2 nx2 + L2x L2y ! FEMO Pudla wielowymiarowe Czastka swobodna , Bariera potencjalu Pudlo jednowymiarowe FEMO Pudla wielowymiarowe Pudlo 3D, degeneracja x ∈< 0, Lx >, s ψnx ,ny = 23/2 Enx ,ny y ∈< 0, Ly >, z ∈< 0, Lz > 1 nx πx ny πy nz πz sin sin sin Lx Ly Lz Lx Ly Lz ~2 π 2 = 2m ny2 nx2 nz2 + + L2x L2y L2z ! Dla pudel wielowymiarowych może pojawić sie, degeneracja. Przykladowo dla kwadratowego pudelka Enx ,ny = Eny ,nx
