Wprowadzenie

Jan Awrejcewicz
Vadim A. Krysko
DYNAMIKA CHAOTYCZNA
BELEK, PŁYT I POWŁOK
Metody numeryczne
Bubnowa-Galerkina i różnic
skończonych
Wydawnictwa Naukowo-Techniczne
Fundacja „Książka Naukowo-Techniczna”
Warszawa
Spis treści
Wprowadzenie
1 TEORIA POWŁOK NIEJEDNORODNYCH
1.1 Uwagi wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Podstawowe związki i założenia . . . . . . . . . . .
1.3 Niejednorodność powłoki . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Równania wariacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Równania ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Warunki brzegowe i początkowe . . . . . . . . . . .
1.7 Sprowadzenie równań do postaci bezwymiarowej . .
1.8 Zmienne parametry sztywności . . . . . . . . . . .
1.9 Współczynnik sztywności giętnej elementu powłoki
1.10 Funkcje uogólnione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 NIESTATECZNOŚĆ STATYCZNA POWŁOK PROSTOKĄTNYCH
2.1 Pojęcia podstawowe teorii stateczności sprężystej . . . . . . . . .
2.2 Dwie podstawowe postacie kryterium energetycznego bifurkacyjnej utraty stateczności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Metoda typu Bubnowa-Galerkina badania stateczności powłok .
2.3.1 Metoda podobszarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Metoda kolokacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Metoda najmniejszych kwadratów . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Metoda momentów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Metoda Galerkina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6 Porównanie metod błędów wagowych . . . . . . . . . . .
2.3.7 Związki z innymi metodami . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.8 Własności teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.9 Zalety obliczeniowe metod Galerkina . . . . . . . . . . .
2.3.10 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
14
17
18
25
27
28
29
34
36
41
41
51
57
63
63
64
64
65
67
70
74
78
79
vi
SPIS TREŚCI
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
Metoda Bubnowa-Galerkina z przybliżeniami
wyższych rzędów i algorytm numeryczny . . . .
Powłoki z dodatkami innych materiałów . . . . .
Stateczność statyczna powłoki . . . . . . . . . .
Centralny kwadratowy element niejednorodności
Centralny krzyżowy dodatek niejednorodności .
Niejednorodność typu „perforacja” . . . . . . . .
3 DRGANIA POWŁOK PROSTOKĄTNYCH
3.1 Liniowe i słabo nieliniowe drgania układów
3.2 Drgania własne powłok niejednorodnych .
3.2.1 Metoda rozwiązania problemu . . .
3.2.2 Ocena otrzymanych wyników . . .
3.3 Nieliniowe drgania swobodne płyt i powłok
3.3.1 Metoda rozwiązania zagadnienia .
3.4 Widmowa analiza rozwiązania . . . . . . .
3.5 Zbieżność metody . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Widmowa analiza drgań swobodnych . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
mechanicznych
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
80
90
91
94
97
98
.
.
.
.
.
.
.
.
.
101
101
102
102
106
113
113
115
127
129
4 DYNAMICZNA UTRATA STATECZNOŚCI POWŁOK PROSTOKĄTNYCH
131
4.1 Rodzaje dynamicznego wyboczenia . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2 Konstrukcje idealne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3 Koncepcja stateczności układu w skończonym przedziale czasu . 134
4.4 Matematyczne modele układów drgających i układy dynamiczne 138
4.5 Synchronizacja, chaos i quasi-okresowość . . . . . . . . . . . . . 142
4.6 Bifurkacje statyczne i teoria katastrof . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.7 Katastrofa typu „zmarszczka” lub punkt graniczny . . . . . . . . 148
4.8 Katastrofa typu „fałda” lub bifurkacja symetryczna . . . . . . . . 149
4.9 Bifurkacje dynamiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.10 Kryteria dla praktycznych obliczeń . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.11 Utrata stateczności powłok jednorodnych obciążanych poprzecznie152
4.11.1 Realność otrzymywanych wyników . . . . . . . . . . . . 152
4.11.2 Obciążenie krytyczne i parametr kx = ky powłoki jednorodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.12 Utrata stateczności powłok niejednorodnych obciążanych poprzecznie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.12.1 Zależność obciążenia krytycznego od powierzchni elementu dodatkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.12.2 Zależność obciążenia krytycznego od współczynnika sztywności elementu dodatkowego . . . . . . . . . . . . . . . . 159
SPIS TREŚCI
vii
4.12.3 Zależność obciążenia krytycznego od liczby dodatków
wzmacniających ułożonych wzdłuż jednego boku powłoki 159
4.12.4 Zależność obciążenia krytycznego od szerokości żebra . 161
5 STATECZNOŚĆ ZAMKNIĘTEJ POWŁOKI WALCOWEJ PODDANEJ DZIAŁANIU OSIOWO NIESYMETRYCZNEGO OBCIĄŻENIA
163
5.1 Równania ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.2 Wpływ imperfekcji na stateczność powłok . . . . . . . . . . . . 164
5.3 Obciążenie pochodzące od przepływu typu wiatr . . . . . . . . . 170
5.4 Zagadnienie statyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.5 Dynamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6 POWŁOKI KOMPOZYTOWE
6.1 Równania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Stateczność statyczna powłok warstwowych . . . . . . . . . . . .
6.3 Stateczność dynamiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179
179
182
184
7 INTERAKCJA SPRĘŻYSTYCH POWŁOK I PORUSZAJĄCEJ SIĘ
MASY
187
7.1 Drgania konstrukcji przy więzach jednostronnych nałożonych na
ruchomą masę . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.2 Równanie ruchu kloca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.3 Postać bezwymiarowa równań ruchu kloca . . . . . . . . . . . . 195
7.4 Zagadnienie brzegowe i początkowe dla powłoki . . . . . . . . . 196
7.5 Wysokość wzniosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.6 Drgania powłoki z więzami dwustronnymi nałożonymi na poruszającą się masę . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.7 Powłoka podczas zderzenia poprzecznego z ciałem sztywnym . . 209
7.8 Powłoka z obciążeniem poruszającym się ze stałą prędkością . . 212
7.9 Powłoka z obciążeniem poruszającym się ruchem jednostajnie
przyspieszonym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.10 Powłoka z obciążeniem poruszającym się ruchem jednostajnie
opóźnionym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.11 Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8 RUCH PŁYTY SZTYWNEJ PODCZAS ZABURZENIA TEMPERATUROWEGO
225
8.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.2 Matematyczne sformułowanie problemu . . . . . . . . . . . . . . 228
viii
SPIS TREŚCI
8.3
8.4
8.5
8.6
Rozwiązanie zagadnienia przy użyciu metody transformacji Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Analiza procesu stacjonarnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Analiza procesu niestacjonarnego przy stałym współczynniku tarcia234
8.5.1 Analiza ruchu ciała podczas hamowania . . . . . . . . . 235
8.5.2 Analiza ruchu ciała podczas przyspieszenia . . . . . . . . 236
Analiza procesu niestacjonarnego przy zmiennym współczynniku
tarcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9 SCENARIUSZE PRZEJŚCIA OD RUCHÓW HARMONICZNYCH
DO CHAOTYCZNYCH
243
9.1 Wprowadzenie historyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.2 Scenariusz Landaua-Hopfa (LH) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.3 Scenariusz Ruella, Takensa i Newhousa (SRTN) . . . . . . . . . 247
9.4 Scenariusz Feigenbauma (SF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.5 Scenariusz Pomeau-Manneville’a (SPM) . . . . . . . . . . . . . 251
9.6 Synchronizacja częstości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
10 DYNAMIKA ZAMKNIĘTYCH PODATNYCH POWŁOK WALCOWYCH
255
10.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.2 Równania podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
10.3 Metoda Bubnowa-Galerkina i reprezentacja Fouriera . . . . . . . 259
10.4 Zagadnienia statyczne teorii zamkniętych powłok walcowych . . 265
10.5 Dynamiczne zagadnienia teorii zamkniętych powłok walcowych . 268
10.5.1 Zbieżność reprezentacji Fouriera dla zagadnienia niestacjonarnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
10.5.2 Dynamiczne kryteria utraty stateczności powłok walcowych272
10.5.3 Drgania zamkniętych powłok walcowych pod działaniem
poprzecznego obciążenia harmonicznego . . . . . . . . . 273
10.5.4 Zależność charakteru drgań od szerokości wycinka obciążenia ϕ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
10.5.5 Zależności charakteru drgań od liniowych wymiarów powłoki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
10.5.6 Lokalna utrata stateczności . . . . . . . . . . . . . . . . 278
10.5.7 Globalna utrata stateczności . . . . . . . . . . . . . . . . 279
10.5.8 Scenariusze przejścia do chaosu przy zmianie parametru λ281
10.5.9 Scenariusz Feigenbauma w nieliniowej dynamice powłok
walcowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
10.5.10 Scenariusz Feigenbauma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.5.11 Scenariusz Ruella-Takensa-Feigenbauma . . . . . . . . . 290
SPIS TREŚCI
ix
10.5.12 Zmodyfikowany scenariusz Ruella-Takensa . . . . . . . . 293
10.5.13 Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
11 STEROWANIE PRZESTRZENNO-CZASOWYM CHAOSEM POWŁOK WALCOWYCH
297
11.1 Przegląd literatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
11.2 Model matematyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
11.3 Metoda Bubnowa-Galerkina i przekształcenie Fouriera . . . . . . 299
11.4 Sterowanie chaosem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
11.4.1 Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
12 BADANIE DRGAŃ CHAOTYCZNYCH PODATNYCH
PROSTOKĄTNYCH POWŁOK PRZY ZASTOSOWANIU METODY BUBNOWA-GALERKINA I METODY RÓŻNIC SKOŃCZONYCH
309
12.1 Równania podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
12.2 Metoda Bubnowa-Galerkina z wyższymi przybliżeniami . . . . . 312
12.3 Metoda różnic skończonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
12.4 Porównanie wyników otrzymanych przy użyciu metody BubnowaGalerkina i metody różnic skończonych . . . . . . . . . . . . . . 322
12.5 Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Bibliografia
327
Wprowadzenie
Zacznijmy od definicji niejednorodności. Istnieje dużo różnych określeń dotyczących niejednorodności, ale w tej książce poprzez niejednorodność będziemy
rozumieć zależność modułu Younga E(x, y, z) i gęstości ρ(x, y, z) analizowanych konstrukcji od trzech współrzędnych przestrzennych x, y, z.
Metoda Ritza (MR) i metoda Bubnowa-Galerkina (MBG) należą do klasy
metod projekcyjnych. Przypomnijmy, że oryginalność metody Ritza polega na
osobliwości związanego z nią funkcjonału, który osiąga wartości ekstremalne
w punktach stacjonarnych. Ideą przewodnią dla obydwu wymienionych metod
(MR i MBG) stanowi aproksymacja przestrzeni stanu badanego układu poprzez
pewną jej podprzestrzeń, w której następnie należy określić punkt stacjonarny
rozpatrywanego funkcjonału.
Towarzyszy temu przejście od układu równań wejściowych różniczkowo-cząstkowych do układu równań algebraicznych (w przypadku zagadnienia statycznego) lub do układu równań różniczkowych zwyczajnych (w przypadku
zagadnienia dynamicznego).
Zauważmy, że MBG jako metoda projekcyjna może być formalnie stosowana również do rozwiązywania równań różniczkowych niekoniecznie należących
do klasy równań Eulera i dla dowolnie określonego funkcjonału (jak również
istniejący funkcjonał może być nieokreślony).
W tym ostatnim przypadku zastosowanie MBG polega na projekcji równań
wyjściowych na pewną podprzestrzeń analizowanej przestrzeni funkcjonalnej,
w której znajduje się rozwiązanie problemu, a rozwiązanie przybliżone jest poszukiwane na bazie pewnych otrzymanych relacji jako element tej podprzestrzeni.
Początek powstania wspomnianych metod MR i MBG wiąże się z pionierskimi pracami W. Ritza [189] i I.G. Bubnowa [48]. Rozwój i zastosowanie
metod MR i MBG w zagadnieniach dotyczących mechaniki został przedstawiony w pracach B.G. Galerkina [69], L.S. Leibensona [143, 144], P.F. Papkovitcha
[177, 178], K.Z. Galimowa [71] i wielu innych autorów.
Głębokie podwaliny matematyczne związane z MR dla zagadnień liniowych samosprzężonych podano w szeregu fundamentalnych prac N.M. Krylova
[107, 109, 110, 112]. W pracy Krylova [108] MR została zastosowana do analizy
2
WPROWADZENIE
równania T. Kármána, jak również pokazano sposób oszacowania błędu wprowadzanego przez tę metodę poprzez zastosowanie pewnej równomiernej normy.
W pracy M.W.V. Kieldysha [92] wykazano zbieżnośc MBG w zagadnieniach
liniowych dla równań różniczkowych zwyczajnych parzystego rzędu oraz dla
pewnej klasy równań cząstkowych typu eliptycznego.
S.G. Mikhlin [161] rozszerzył wyniki Kieldysha na przypadek liniowego
równania operatorowego z operatorem niesamosprzężonym, uogólniając w ten
sposób tego typu podejście do szerokiej klasy zagadnień brzegowych dla równań
typu eliptycznego. W pracy M. A. Krasnoselskiego [105] podano podstawowe
twierdzenia dotyczące zbieżności MBG dla równań nieliniowych operatorowych
i podano oszacowanie błędu tej metody poprzez ustalenie błędu najlepszego
z możliwych przybliżeń poszukiwanej funkcji za pomocą liniowych kombinacji
elementów współrzędnych.
W pracach A.D. Liashko [145, 146, 147] i A.E. Martyniuka [155, 156]
(dla przypadku równań liniowych z operatorem niesamosprzężonym) podana
została konstrukcja funkcjonału kwadratowego, analogicznego do funkcjonału
wykorzystywanego w metodzie Ritza dla zagadnień samosprzężonych, i została
wykazana zbieżność odpowiadającej mu metody wariacyjnej. W pracach Liashko
[148] i M.Z. Nasheda [168] uzyskane wyniki zostały uogólnione na przypadek
równania nieliniowego z operatorem niepotencjalnym.
W odróżnieniu od MR, MBG może być efektywnie wykorzystana do rozwiązania nie tylko zagadnień stacjonarnych (zagadnień brzegowych dla równań typu
eliptycznego), ale również i zagadnień ewolucyjnych (początkowo-brzegowych
dla równań typu parabolicznego i hiperbolicznego). Ponieważ upowszechniło się
mniemanie, że po raz pierwszy MBG została zastosowana do analizy zagadnień
niestacjonarnych w roku 1949 przez S. Faedo [61], to w literaturze matematycznej anglojęzycznej często używa się również określenia metoda Faedo-Galerkina.
Jednakże, jeszcze w roku 1931 w pracy Krylova-Bogolubova [111] MBG
była wykorzystana do badania zagadnień Cauchy-Dirichleta dla równania hiperbolicznego rzędu drugiego, przy czym schemat, jaki był wykorzystywany
w cytowanej pracy, jest bardzo bliski stosowanemu współcześnie. Należy w
związku z tym zauważyć, że priorytet S. Faedo w obszarze zastosowania MBG
do zagadnień ewolucyjnych nie odpowiada prawdzie, chociaż bez wątpienia praca
[61] należy do jednej z pierwszych w tej dziedzinie, lecz nie fundamentalnych.
Z wcześniejszych prac poświęconych temu zagadnieniu wymienić należy publikacje J.W. Greena [80] i E. Hopfa [85], w których MBG została wykorzystana
odpowiednio do równań liniowych typu parabolicznego i do równań nieliniowych
Naviera-Stokesa.
Poziom rozwoju i wykorzystania metod MR i MBG w zagadnieniach nieliniowych teorii płyt i powłok w roku 1956 został dostatecznie dobrze zilustrowany
WPROWADZENIE
3
w monografii Volmira [217] oraz Mushtari i Galimowa [167], gdzie wspomniane
metody były zastosowane z uwzględnieniem pierwszego i drugiego przybliżenia.
Następnie rozwój techniki obliczeniowej umożliwił zastosowanie obydwu
dyskutowanych metod z wykorzystaniem wyższych przybliżeń. Wymienimy tutaj
niektóre z prac związanych z tym kierunkiem badań. W monografii Kornishina
[100] podane zostały wyniki dotyczące analizy dużych ugięć prostokątnych powłok przy zastosowaniu trzeciego przybliżenia. Kantor [90] wykorzystywał MR
do rozwiązywania zagadnień teorii powłok pochyłych osiowo symetrycznych
z uwzględnieniem nieliniowości geometrycznej i fizycznej (wykazano dostateczność stosowania czwartego lub piątego rzędu przybliżeń). W przeglądowej
pracy Vorovicha i Minakovej [222] została podana literatura dotycząca stosowania MBG z wyższymi przybliżeniami. W pracach Amielchenki i Kryski [3],
Kryski [114] i Potasha [184] w rozwiązaniu przybliżonym brano pod uwagę aż
do 36. parametrów podlegających wariacji.
Wyniki różnorodnych zastosowań MR i MBG dotyczących teorii stateczności powłok podano w monografii Grigoliuka i Kabanowa [81], gdzie podczas
określania postaci utraty stateczności w układach charakteryzujących się dużą
niejednorodnością wskazano na konieczność brania pod uwagę dużej wartości
członów szeregu (poprzez wykorzystanie informacji a priori) i na konieczność
przeprowadzania odpowiedniego wyboru liczby funkcji bazowych.
Szczegółowej prezentacji MBG dla zagadnień dynamicznych i geometrycznie
nieliniowych dotyczących teorii płyt i powłok dokonano w monografiach Volmira
[218] (podano w niej spis literatury obejmujący historię zagadnienia do roku
1972) i [219], gdzie zbadano stateczność konstrukcji oddziałujących z cieczą
i gazem.
Obszerna klasa zagadnień teorii powłok pochyłych z uwzględnieniem nieliniowości fizycznych i geometrycznych, jak również zagadnienia obciążenia
cyklicznego (w szczególności zagadnienia wpływu obciążenia impulsowego poprzecznego na stateczność powłok, wpływu tłumienia na wielkość obciążenia
dynamicznego krytycznego, itd. ) rozwiązano przy pomocy MBG w monografii
Kryski [114], gdzie wskazano na celowość wykorzystywania MBG w porównaniu to tradycyjnej metody różnic skończonych (głównie ze względu na krótszy
czas obliczeń numerycznych).
Zastosowaniu MBG do obliczeń zagadnień dynamicznych teorii powłok w ramach modelu Kirchhoffa-Love’a, jak również w ramach modelu Timoszenki
poświęcona była praca doktorska Kutsemaki [134].
Obliczenia utraty stateczności dynamicznej powłoki walcowej o przekroju
kołowym przy obciążeniu pasmowym i przy zastosowaniu metody MBG przeprowadzono w pracy Kolomoyeca i Kutsemaki [98].
4
WPROWADZENIE
W artykule Kirichenko i in. [93] MBG została zastosowana do zbadania
dynamicznej stateczności pochyłej powłoki, sztywno zamocowanej na brzegu
zarówno z uwzględnieniem, jak i bez uwzględnienia sprzężenia pola temperatury
i odkształceń.
Różnorodne zagadnienia numerycznej realizacji MBG w zagadnieniach teorii
powłok przedstawiono w pracach Svirskiego [201], Krotkovej [106], Bacinova
[43], Yakusheva [231], Tcherniaka [203], Mukhopadhyaya [166], Mioduchowsky
i in. [163], Chen i Hwanga [52], Gelosa i in. [79], oraz szeregu innych autorów.
Metoda Bubnowa-Galerkina, powstała najpierw jako metoda obliczeniowa,
stanowi dzisiaj mocny aparat badania problemów rozwiązywalności szerokiej
klasy zagadnień fizyki matematycznej, zarówno stacjonarnych i ewolucyjnych,
jak również liniowych i nieliniowych.
Powstanie matematycznych ścisłych schematów dowodów istnienia rozwiązań
przy użyciu MBG i opierających się na fundamentalnych twierdzeniach analizy
matematycznej, stało się w pełni możliwym po odkryciu przez Soboleva [198]
uogólnionych pochodnych funkcji mierzalnych klasy Lebesque’a i następnie na
sformułowaniu podejście koncepcji rozwiązania uogólnionego zagadnień matematycznych fizyki.
Badaniu zbieżności MR i MBG w zagadnieniach liniowych, a w tym obejmujących analizę płyt i powłok, oraz formalnemu wykazaniu rozwiązywalności tego typu problemów w przestrzeni Soboleva poświęcono prace Mikhlina
[157, 158, 160] i Ladyzhenskiey [136], gdzie również przedstawiono historię
tego problemu.
Zasadnicze wyniki w aspekcie matematycznego uzasadnienia stosowania
różnych metod przybliżonych, a w tym i MBG, podano w monografiach Krasnoselskiego i in. [104], Lionsa i Magensa [151]. Szerokiego przeglądu przykładów
zbadania zbieżności MBG w zagadnieniach nieliniowych podano w monografii
Lionsa [150].
W odniesieniu do zagadnień rozwiązywalności nieliniowych zagadnień płyt
i powłok, to przede wszystkim należy wymienić prace Vorovicha [142, 223, 224,
225, 226], które często służyły jako inspiracja do innych prac w tej dziedzinie.
Fundamentalne wyniki w tym obszarze były również uzyskane przez Morozowa w pracach [164, 165] dotyczących rozwiązywalności zagadnień nieliniowych
teorii płyt cienkich. Zauważmy, że w pracy [164] dotyczących drgań pryzmatycznego pręta Morozowi udało się przy wykorzystaniu specyfiki rozważanego
problemu i twierdzenia Sobolewa, udowodnić nie tylko istnienie, ale i jednoznaczność rozwiązania.
Analizie problemu dotyczącego rozwiązywalności różnych zadań mechaniki
konstrukcji cienkościennych przy wykorzystaniu MBG poświęcone były prace
Lebedeva [141, 142], Skrypnika [197] i innych autorów. Wyczerpujące podsta-
WPROWADZENIE
5
wy MBG i MR dotyczących zagadnień statycznych nieliniowej teorii powłok
pochyłych podano w monografii Vorovicha [221].
Zagadnienia istnienia i jednoznaczności rozwiązań zagadnień liniowych i nieliniowych termosprężystości płyt i powłok w ramach kinematycznej teorii Kirchhoffa-Love’a i typu Timoszenki przy użyciu trójwymiarowego równania przewodnictwa ciepła były szeroko badane w pracy Kirichenki i Kryski [94]. Rozwiązywalność sformułowanych tam zagadnień jest dowodzona na bazie MBG w
przestrzeni Soboleva. W pracy Wenka [228] rozpatrzono zagadnienie nieliniowe
termosprężystości dla płyt przy założeniu liniowego prawa rozkładu temperatury
wzdłuż grubości płyty.
W charakterze warunków brzegowych przyjęto subróżniczkowe inkluzje prowadzące do uogólnienia zagadnienia w formie wariacyjnych nierówności. Przy
użyciu MBG sformułowano twierdzenia dotyczące istnienia, jednoznaczności,
regularności i ciągłej zależności rozwiązania od przyjętych danych. Chrzęszczyk
[55] otrzymał wyniki dotyczące jednoznaczności i gładkości rozwiązania zagadnienia, rozwiazywalność którego była dowiedziona we wcześniej wspomnianej
pracy [94].
W cyklu prac Kowalskiego i Piskorka [103], Gawineckiego [72, 73, 75,
76, 77, 78], Kowalskiego i in. [102], Gawineckiego i in., sformułowano przy
zastosowaniu MBG szereg twierdzeń dotyczących istnienia, jednoznaczności i regularności rozwiązań szeregu zagadnień liniowych przestrzennych teorii termosprężystej, zarówno dla izotropowych jak i anizotropowych ciał, z równaniem
przewodzenia ciepła, zarówno typu parabolicznego jak i hiperbolicznego.
W większości z wymienionych prac zbieżność MBG i MR pojawia się jako
produkt uboczny wystepujacy podczas dowodzenia istnienia rozwiązania rozpatrywanego zagadnienia, przy tym klasycznym wynikiem (dla dowolnego wyboru
bazy) jest zbieżność w sensie normy energetycznej w przypadku problemów
statyki oraz słaba zbieżność w pewnych przestrzeniach „energetycznych” dla zagadnień dynamiki. Przy odpowiednim racjonalnym wyborze układu bazowego
otrzymane wyniki dotyczące zbieżności mogą być wzmocnione, a ponadto mogą
być sformułowane efektywne oszacowania prędkości, z jaką ta zbieżność zachodzi.
Fundamentalną pracę w tym kierunku rozwoju MBG stanowi publikacja
Mikhlina [162], w której zostało wprowadzone pojęcie zbieżnych operatorów
i otrzymany został wynik dotyczący oszacowania zbieżności błędu MR do zera,
jeśli jako bazę wykorzystać układ wartości własnych pewnego operatora pomocniczego i zbieżnego z operatorem rozpatrywanego równania. W pracy [157]
otrzymany wynik został poprawiony, a na operatory wyjściowy i pomocniczy
zostały narzucone dodatkowe warunki nierównościowe tzw. kąta ostrego.
6
WPROWADZENIE
Pryncypialne wyniki dotyczące operatorów zbieżnych spełniających nierówności typu kąta ostrego podano w pracy Sobolevskiego [199] i Ladyzhenskiej
[137]. Na bazie tych wyników Mikhlin [157] dla szeregu konkretnych przypadków podał specjalne bazy zabezpieczające zbieżność błędu MR do zera.
Bogarian [46] rozprzestrzenił wyniki uzyskane przez Mikhlina na przypadek
MBG. W publikacji Dzishkarianiego [60] dla zagadnień liniowych otrzymano
a priori oszacowania błędu MR w postaci normy energetycznej, gdzie wykorzystywane były wartości własne operatora pomocniczego zbieżnego z operatorem
zagadnienia wyjściowego.
W merytorycznie bliskich pracach Vainikki [216] i Dzishkarianiego [60]
analogiczne wyniki otrzymano dla MBG. W pracy Vainikki [215] otrzymano
oszacowania błędu MBG dla stacjonarnych problemów, w przypadku gdy widmo
operatora pomocniczego nie jest czysto punktowe.
W pracy Dzishkarianiego [59] oszacowania błędu MR zostały rozszerzone
na przypadek równania quasi-liniowego zawierającego w charakterze operatora
nieliniowego ciągły operator potencjalny posiadający dodatnią różniczkę Frecheta.
W pracy Zarubina [232] podano ogólne oszacowania prędkości zbieżności
metody Galerkina-Pietrowa dla liniowych i quasi-liniowych zagadnień stacjonarnych, z których m. in. wynikają oszacowania błędu MBG podczas wyboru
w charakterze bazy układu elementów operatora samosprzężonego zbieżnego
i tworzącego kąt ostry z operatorem głównej części analizowanego zagadnienia. Szeroki przegląd prac związanych z teorią metod numerycznych, a w tym i
MBG, dla zagadnień stacjonarnych zawarto w monografii Mikhlina [159].
Spośród prac poświęconych badaniu zbieżności MBG dla zagadnień ewolucyjnych należy przede wszystkim wymienić publikację Sobolevskiego [200],
gdzie dla równania quasi-liniowego parabolicznego przy dowolnym wyborze
bazy podano twierdzenia dotyczące silnej zbieżności rozwiązań przybliżonych
do dokładnego i oszacowania zbieżności błędów do zera. Zarubin i Tiunchik
[236] zastosowali MBG do równania parabolicznego z operatorem nieliniowym.
W charakterze bazy wykorzystywany był układ elementów własnych operatora pomocniczego, spełniającego nierówność typu kąta ostrego. Podano warunki
zbieżności błędów MBG do zera oraz warunki dotyczące silnej zbieżności ciągu
rozwiązań przybliżonych do dokładnych.
W serii prac Zarubina [233, 234, 235] w odniesieniu do pojęć wartości własnych operatora zbieżnego i tworzącego kąt ostry z wyjściowym operatorem
samosprzężonym, występującym w początkowym sformułowaniu zagadnienia,
podano różne warianty oszacowań a priori błędu MBG dla równań parabolicznych z pewnym dołączonym operatorem.
WPROWADZENIE
7
Zagadnienie badania szybkości zbieżności MBG dla równań hiperbolicznych
i dla problemów związanych typu równań termosprężystości analizowane było
w pracach Zhelozovskiej [240, 241].
Analiza współczesnego stanu teorii płyt i powłok oraz badanie zbieżności
MBG prowadzi do następujących obserwacji. MBG jest jednym z najbardziej
efektywnych i szeroko wykorzystywanych numerycznych metod rozwiązywania
zagadnień statycznych i dynamicznych teorii płyt i powłok. Współczesne możliwości techniki obliczeniowej i głębsze matematyczna wiedza dotycząca MBG
pozwala znajdować rozwiązania wielu złożonych zagadnień teorii powłok niejednorodnych przy ich skończonych ugięciach.
Nie jest celem niniejszej monografii pełne i wielostronne ujęcie pokrótce
scharakteryzowanego zagadnienia, a raczej stanowi ona próbę ukazania prostoty
realizacji i efektywności MBG w zagadnieniach dotyczących teorii płyt i powłok.
Monografia ta jest wynikiem kilkunastoletniej współpracy naukowej pomiędzy zespołami naukowymi obydwu autorów. Czytelnik może uzupełnić wiedzę
dotyczącą rozpatrywanych zagadnień studiując inne prace autorów, tj. monografie [14, 18, 19, 20, 21, 22, 31, 37] i artykuły [15, 16, 17, 23, 24, 25, 27, 28,
29, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 115, 116, 117, 118, 119, 120]. Z łatwością można je
bezpośrednio wydrukować ze strony internetowej www.p.lodz.pl/k16. Ponadto godna polecenia jest praca zbiorowa pod redakcją Cz. Woźniaka [230], gdzie
podano ogromną bibliografię związaną z mechaniką sprężystych płyt i powłok,
ze szczególnym uwypukleniem wkładu polskich uczonych.
Z całej różnorodności metod opierających się na MBG w tej monografii
będziemy wykorzystywać jej wariant związany z szeregiem Fouriera.
Niniejsza monografia zawiera również dwa rozdziały 7 i 8 nie związane
bezpośrednio z MBG, ale za to mające duże znaczenie aplikacyjne. Opracowanie
rozdziału 8 zostało wsparte finansowo grantem KBN-u 5 T07A 019 23.
O metodzie Bubnowa-Galerkina
Przegląd historyczny
Powstanie metody Bubnowa-Galerkina jest związane z nazwiskiem uczonego
rosyjskiego Bubnowa (1872-1919), który zajmował się projektowaniem statków.
Obok Krylova należał on do twórców rosyjskiej floty wojennej. Bubnow zaprojektował 48 statków podwodnych i nawodnych. Był on również twórcą dyscypliny
naukowej zwaną mechaniką konstrukcji statków.
Timoszenko w pracy opublikowanej w roku 1907 [210] na przykładzie centralnie ściskanego pręta rozważał zagadnienie stateczności wykorzysując zasadę
minimalizacji energii potencjalnej pręta. Następnie Timoszenko uogólnił swoją
8
WPROWADZENIE
pracę i napisał monografię pt. „O stateczności układów sprężystych”, która ukazała się osobno w latach 1910-1911. Ponadto była wydana w książce „Prace
Kijowskiego Instytutu Politechnicznego” z roku 1910 [209]. Za tę pracę Timoszenko otrzymał złoty medal Żurawskiego i 2500 złotych rubli. Francuskie
Towarzystwo Inżynierskie opublikowało wspomnianą pracę w roku 1913 we francuskim czasopiśmie poświęconym budowie dróg i mostów [207].
Było to pierwsze i ostatnie przyznanie nagrody Żurawskiego. Wspomniana
praca recenzowana była przez profesorów Bielelubskiego, Bieleckiego, Bubnowa
i Kolosova. Recenzje zostały opublikowane w roku 1913 w „Pracach Instytutu
Inżynierów” [188]. Rok 1913 uważany jest za rok narodzin metody Bubnowa
jako ogólnej metody rozwiązywania równań różniczkowych.
W rzeczywistości metoda ta została sformułowana dwa lata wcześniej (koniec
maja 1911 roku), a jej źródeł należy szukać w pracy Timoszenki. Ta ostatnia
otrzymała nagrodę w roku 1911, a publikacja w prasie na ten temat ukazała się
9 czerwca 1911 roku (gazeta „Riecz”), a następnie 25 czerwca tego samego roku
notatka prasowa ukazała się również w „Westnikie Putiej Soobszczenija” [86].
I.G. Bubnow zaproponował dwa warianty metody sprowadzenia równań różniczkowych cząstkowych (lub ich układów) do równań algebraicznych i różniczkowych zwyczajnych (lub układów takich równań).
Jednakże w literaturze Zachodniej metoda ta jest wiązana z artykułem opublikowanym w 1915 roku [? ] przez B.G. Galerkina poświęconym analizie stanów
równowagi prętów i cienkich płyt. Podany wcześniej przegląd rzeczywistych wydarzeń wskazuje na prawdziwą genialność pomysłu Bubnowa, który pojawił się
podczas pisania recenzji pracy Timoszenki. Po raz pierwszy już wtedy Bubnow
wskazał na tożsamość pomiędzy metodą energetyczną (metodą Rayleigha-RitzaTimoszenki) i jego podejściem (metodą Bubnowa-Galerkina), chociaż później
metoda ta była przez Bubnowa rzadko stosowana.
Metoda MBG rozpowszechniła się w literaturze rosyjsko języcznej głównie
z powodu prac Galerkina i jego współpracowników. Na Zachodzie metoda ta stała się znana po pojawieniu się prac Duncana, poświęconym dynamice obiektów
latających. Następnie Bickey [45] zastosował MBG do rozwiązania zagadnienia niestacjonarnej wymiany ciepła na drodze analizy ekwiwalentnego obwodu
elektrycznego. Otrzymane wyniki Bickey porównał z rozwiązaniami otrzymanymi przy użyciu metody kolokacji i metody najmniejszych kwadratów.
Po tym okresie nastąpił szeroki rozwój i upowszechnienie zastosowań MBG,
jak również pojawiły się różne modyfikacje tej metody. Jak już wcześniej wspomniano, już sam Bubnow podczas pisania recenzji dotyczącej pracy Timoszenki
w pełni zdawał sobie sprawę ze związku pomiędzy metodą Bubnowa-Galerkina
i różnorodnymi metodami wariacyjnymi, takimi jak metoda Rayleigha-Ritza,
co formalnie zostało wykazane w pracy [91]. Związek ten odegrał istotną ro-
WPROWADZENIE
9
lę w drugiej połowie lat 60. w związku z opracowywaniem metody elementów
skończonych.
Metoda Bubnowa-Galerkina na tle innych metod projekcyjnych
Poniżej podamy schemat zastosowania metody Bubnowa-Galerkina na przykładzie abstrakcyjnego zagadnienia dwuwymiarowego, opisywanego poprzez liniowe równanie różniczkowe o postaci:
L(u) = 0,
(1)
→
rozpatrywane w obszarze D(−
x ) przy następujących warunkach brzegowych:
S(u) = 0,
(2)
zadanych na krzywej ∂D, będącej granicą obszaru D.
Rys. 1. Pozycja MBG na tle innych metod projekcyjnych
Zgodnie z metodą MBG poszukiwać będziemy funkcji:
→
→
x)+
aj ϕj (−
x ),
ua = u0 (−
N
j=1
(3)
10
WPROWADZENIE
→
gdzie ϕj (−
x ) są znanymi funkcjami analitycznymi, funkcja ua (x1 , x2 ) została
wprowadzona w celu spełnienia warunków brzegowych, a współczynniki aj są
znajdywane w procesie rozwiązywania zagadnienia. Podstawienie (3) do (1)
prowadzi do błędu R = 0:
→
x )] = L(ua ) = L(u0 ) +
[R(a0 , a1 , a2 , ...aN , −
N
aj L(ϕj ).
(4)
j=1
Wprowadźmy następującą definicję iloczynu wewnętrznego:
(f, g) =
f g dx1 dx2 .
(5)
D
W przypadku metody Bubnowa-Galerkina poszukiwane współczynniki pojawiające się w (3) powinny być wyznaczane poprzez rozwiązywania następującego układu funkcji algebraicznych:
(R, ϕk ) = 0,
k = 1, 2, ..., N ,
(6)
gdzie R jest błędem określonym poprzez równanie (1), a ϕk są tymi samymi
funkcjami analitycznymi, które pojawiły się w (3). Ponieważ teraz rozpatrywane
jest zagadnienie liniowe (1), to (6) może być zapisane w postaci następującego
równania macierzowego:
N
aj (L(ϕj ), ϕk ) = −L(u0 , ϕk ) .
(7)
j=1
Rozwiązując powyższe równanie ze względu na aj i podstawiając je do (3),
otrzymujemy rozwiązanie przybliżone ua .
→
x ). FunkW literaturze często wprowadza się pojęcie tzw. funkcji wagi wk (−
→
−
cje ϕj ( x ) występujące w (3) z kolei nazywane bywają funkcjami próbnymi.
→
x)
Podczas stosowania MBG i przy wyborze funkcji wagowych i próbnych ϕj (−
powinny być spełnione pewne wymagania. Powinny one być wybierane z liczby pierwszych N funkcji pewnego zupełnego układu funkcji [91]. Stanowi to
warunek konieczny zbieżności rozwiązania przybliżonego do rozwiązania ścisłego przy N → ∞. Teoretyczne podstawy i zastosowania metody MBG w teorii
powłok można znaleźć w klasycznej monografii Vorovicha [227].
Poniżej podamy warunki konieczne dla stosowania metody Bubnowa-Galerkina w wersji klasycznej.
→
x ) powinny należeć do tej samej rodziny funkcji co
Funkcje wagowe wk (−
→
−
i funkcje próbne ϕj ( x ), a ponadto:
WPROWADZENIE
11
→
→
1. wk (−
x ) i ϕj (−
x ) powinny być liniowo niezależne;
→
→
x ) i ϕj (−
x ) powinny stanowić N pierwszych elementów pełnego
2. wk (−
układu funkcji;
→
x ) powinny spełniać warunki brzegowe (i początkowe, o ile one wy3. ϕj (−
stępują) w sposób ścisły.
Warunek 1 definiuje metodę Bubnowa-Galerkina, warunek 2 powinien być
spełniony w celu otrzymania równań niezależnych do określenia nieznanych
współczynników aj . Warunek 3 ma zdecydowany wpływ na efektywność MBG
i jego naruszenie może w znaczącym stopniu ją obniżyć.