Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją

Matematyka dyskretna
1. Relacje
Definicja 1.1
Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X×Y , którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x ∈ X i y ∈ Y .
Uwaga 1.1
Jeśli R jest relacją w zbiorze X ×X, to mówimy, że R jest relacją w zbiorze X.
Rozważmy relację R ⊂ X ×X. Relację R nazywamy:
^
zwrotną, gdy:
(x, x) ∈ R
x∈X
^
symetryczną, gdy:
(x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
x,y∈X
^
antyzwrotną, gdy:
(x, x) ∈
/R
x∈X
słabo antysymetryczną, gdy:
^
((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R) ⇒ x = y)
x,y∈X
^
antysymetryczną, gdy:
(x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈
/R
x,y∈X
^
przechodnią, gdy:
((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R) ⇒ (x, z) ∈ R)
x,y,z∈X
spójną, gdy:
^
(x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R
x,y∈X
Niech X = {x1 , . . . , xn } oraz R ⊂ X ×X. Wówczas relacji R możemy przyporządkować macierz n × n zdefiniowaną w następujący sposób:
(
MR = [rij ], gdzie rij =
0, gdy (xi , xj ) ∈
/R
1, gdy (xi , xj ) ∈ R
Niech R, S będą relacjami w zbiorze X × X. Wówczas sumą relacji R, S jest zbiór
R ∪ S, iloczynem (przekrójem) relacji R, S jest zbiór R ∩ S. Dopełnieniem relacji R
jest zbiór X \ R. Relacją odwrotną do relacji R określamy zbiór:
R−1 = {(x, y) ∈ X ×X: (y, x) ∈ R}
Uwaga 1.2
Relacja R ⊂ X ×X jest symetryczna, wtedy i tylko wtedy, gdy R = R−1 .
Lemat 1.1
Jeżeli (Rt )t∈T jest rodziną relacji przechodnich w zbiorze X, to przekrój wszystkich
relacji z tej rodziny też jest relacją przechodnią.
Definicja 1.2
Przechodnim domknięciem relacji R w zbiorze X nazywamy przekrój wszystkich relacji przechodnich zawierających relację R. Przechodnie domknięcie oznaczamy symbolem R∗
Ponadto zdefiniujmy ciąg relacji: R(1) = R, R(2) = R ◦ R, R(n+1) = R ◦ R(n) .
Lemat 1.2
R∗ =
∞
[
R(n)
n=1
Dowód:
Niech Z = {S ⊂ X ×X: S jest przechodnia ∧ R ⊂ S}. Zauważmy, że:
(x, y) ∈ R ⇒
^
(x, y) ∈ S ⇒ (x, y) ∈
\
Z ⇒ R⊂
\
Z
S∈Z
Wówczas:
(x, y) ∈
∞
[
R(n) ⇔
n=1
(x, y) ∈ R(m)
_
m∈N
A więc istnieją w zbiorze X elementy v1 , . . . , vm−1 takie, że:
(x, v1 ) ∈ R ∧ (v1 , v2 ) ∈ R ∧ . . . ∧ (vm−1 , y) ∈ R
Ponieważ R jest zawarte w każdej relacji S ze zbioru Z, to:
^
(x, v1 ) ∈ S ∧ (v1 , v2 ) ∈ S ∧ . . . ∧ (vm−1 , y) ∈ S
S∈Z
Ponieważ każda relacja S jest przechodnia, to:
^
(x, y) ∈ S ⇔ (x, y) ∈
\
Z
S∈Z
Ostatecznie:
∞
[
R(n) ⊆
\
Z
n=1
Zauważmy, że:
R = R(1) ⊆
∞
[
R(n)
n=1
∗
Pokażemy, że R jest relacją przechodnią. Niech (x, y), (y, z) ∈ R∗ . Wówczas:
_
(x, y) ∈ R(m) ∧ (y, z) ∈ R(p)
m,p∈N
Więc istnieją w zbiorze X elementy v1 , . . . , vm−1 , u1 , . . . , up−1 takie, że:
(x, v1 ) ∈ R ∧ . . . ∧ (vm−1 , y) ∈ R
∧
(y, u1 ) ∈ R ∧ . . . ∧ (up−1 , z) ∈ R
Niech y = vm . Wtedy powyższa koniunkcja oznacza, że element (x, z) należy do
(m + p)-krotnego złożenia relacji R. A więc:
(x, z) ∈ R(m+p) ⇒ (x, z) ∈
∞
[
R(n)
n=1
co oznacza przechodniość relacji R∗ . Skoro R∗ jest relacją przechodnią i zawiera
T
relację R, to R∗ ∈ Z oraz Z ⊆ R∗ , skąd wynika dowodzona równość.
Niech MR = [rij ] oraz MS = [sij ] będą macierzami relacji R, S w zbiorze skończonym
X. Wówczas definiujemy następujące macierze:
(a) MR∪S = [ rij ∨ sij ]
(b) MR∩S = [ rij ∧ sij ]
(c) MR−1 = [ rji ]
(d) MR0 = [ ∼ rij ]
(e) MR◦S = [ cij ] gdzie: cij = (ri1 ∧ s1j ) ∨ (ri2 ∧ s2j ) ∨ . . . ∨ (rin ∧ snj ).
Definicja 1.3
Relacja R jest porządkiem w zbiorze P , gdy jest zwrotna, słabo antysymetryczna i
przechodnia.
Jeżeli relacja R jest spójna, to mówimy, że porządek R jest liniowy.
Zbiór P , w którym określona jest relacja porządkująca R oznaczamy symbolem (P, R)
lub (P, ¬).
Definicja 1.4
Niech (P, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym. Przedziałem wyznaczonym przez elementy a, b ∈ P nazywamy podzbiór:
[a, b] = {x ∈ P : a ¬ x ¬ b}
Zauważmy następujące wynikania:
[a, b] 6= Ø ⇒
_
x ∈ [a, b] ⇒ a ¬ x ¬ b ⇒ a ¬ b
x∈P
∼ (a ¬ b) ⇒ [a, b] = Ø
(a ¬ b) ⇒ a, b ∈ [a, b]
Ponadto definiujemy jeszcze następujące przedziały:
(a, b] = [a, b] \ {a}
(←, b] = {x ∈ P : x ¬ b}
[a, →) = {x ∈ P : a ¬ x}
Definicja 1.5
Niech a, b ∈ P i a 6= b. Element a nazywamy poprzednikiem elementu b (element b
nazywamy następnikiem elementu a), jeśli |[a, b]| = 2, czyli gdy [a, b] = {a, b}.
Definicja 1.6
Niech (X, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym. Element a ∈ X nazywamy maksymalnym jeśli nie poprzedza on żadnego elementu w zbiorze X:
∼
_
(a ¬ x ∧ a 6= x)
x∈X
Element a ∈ X nazywamy największym, jeśli spełniony jest warunek:
^
x¬a
x∈X
Element a ∈ X nazywamy minimalnym, gdy nie poprzedza go żaden element zbioru
X:
_
∼
(x ¬ a ∧ x 6= a)
x∈X
Element a ∈ X nazywamy najmniejszym, jeśli spełniony jest warunek:
^
x∈X
a¬x
Definicja 1.7
Niech A ⊂ X, będzie podzbiorem zbioru uporządkowanego (X, ¬). Element a ∈ X
nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A, jeśli zachodzi warunek:
^
x¬a
x∈A
Element a ∈ X nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru A, jeśli zachodzi warunek:
^
a¬x
x∈A
Jeśli zbiór wszystkich ograniczeń górnych zbioru A ma element najmniejszy, to nazywamy go kresem górnym zbioru A i oznaczamy sup A.
Jeśli zbiór wszystkich ograniczeń dolnych zbioru A ma element największy, to nazywamy go kresem dolnym zbioru A i oznaczamy inf A.
Definicja 1.8
Zbiór uporządkowany (P, ¬) nazywamy kratą, jeśli każdy dwuelementowy podzbiór
zbioru P ma kres górny i kres dolny w zbiorze P .
Definujemy działania ∨ oraz ∧ w następujący sposód:
a ∨ b = c ⇔ sup{a, b} = c oraz a ∧ b = c ⇔ inf{a, b} = c
Uwaga 1.3
Niech (P, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym i niech a, b, c ∈ P . Jeśli c jest kresem
dolnym zbioru {a, b}, to zachodzi warunek:
^
(d ¬ a ∧ d ¬ b) ⇔ d ¬ c
d∈P
Jeśli c jest kresem górnym zbioru {a, b}, to zachodzi warunek:
^
(a ¬ d ∧ b ¬ d) ⇔ c ¬ d
d∈P
Twierdzenie 1.1
W zbiorze uporządkowanym (P. ¬) działania ∨ oraz ∧ są przemienne, łączne i spełniają warunki pochłaniania, tzn.:
^
(a ∨ b) ∧ a = a
^
i
a,b∈P
(a ∧ b) ∨ b = b
a,b∈P
Twierdzenie 1.2
Niech (P, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym i niech a, b ∈ P . Wówczas:
a ¬ b ⇔ ((a ∨ b = b)
∧
(a ∧ b = a))
Twierdzenie 1.3
Każda krata skończona ma element największy i element najmniejszy.
Definicja 1.9
Jeśli krata ma element największy i element najmniejszy, to element b nazywamy
uzupełnieniem elementu a, jeśli a ∨ b = 1 oraz a ∧ b = 0
Definicja 1.10
Mówimy, że krata jest rozdzielna jeśli dla każdych elementów a, b, c prawdziwe są
równości:
(a) a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
(b) a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Definicja 1.11
Algebrą Boole’a nazywamy kratę rozdzielną zawierającą element największy i element najmniejszy, w której każdy element ma swoje uzupełnienie.
Definicja 1.12
Niech (P, ¬1 ) i (Q, ¬2 ) będą zbiorami uporządkowanymi. Izomorfizmem zbiorów uporządkowanych nazywamy każde odwzorowanie odwracalne ψ: P → Q takie, że:
^
(a ¬1 b ⇔ ψ(a) ¬2 ψ(b))
a,b∈P
Definicja 1.13
Niech ¬1 i ¬2 będą porządkami w zbiorze P . Mówimy, że ¬2 jest rozszerzeniem ¬1 ,
gdy:
^
(a ¬1 b ⇒ a ¬2 b
a,b∈P
Przykład 1.1
Zwykły porządek ¬ w zbiorze liczb naturalnych jest rozszerzeniem porządku | wyznaczonego przez relację podzielności.
^
(a|b ⇒ a ¬ b)
a,b∈N
Definicja 1.14
Niech (P1 , ¬1 ), . . . , (Pn , ¬n ) będą zbiorami uporządkowanymi. Utwórzmy zbiór P =
P1 ×. . .×Pn i zdefiniujmy nowy porządek w zbiorze P .
Niech (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) ∈ P , wówczas:
(a1 , . . . , an ) ¬ (b1 , . . . , bn ) ⇔ a1 ¬1 b1 ∧ . . . ∧ an ¬n bn
Tak określony porządek nazywamy produktowym.
Definicja 1.15
Niech (P1 , ¬1 ), . . . , (Pn , ¬n ) będą zbiorami liniowo uporządkowanymi. Niech P =
P1 ×. . .×Pn . Niech (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) ∈ P . Określmy następujący porządek:
(
(a1 , . . . , an ) ¬ (b1 , . . . , bn ) ⇔
(a1 , . . . , an ) = (b1 , . . . , bn )
ai ¬ bi , gdzie: i = min{t: at ¬ bt }
Tak zdefiniowany porządek nazywamy leksykograficznym.
Copyright
c
Grzegorz Gierlasiński