Relacje Definicja pary uporządkowanej (według Kuratowskiego

Relacje
Definicja pary uporządkowanej (według Kuratowskiego):
^^
(a, b) := {{a} , {a, b}} .
a
b
Własności par uporządkowanych:
^^
a
^^^^
a
c
b
[(a, b) = (b, a) ⇔ a = b] ,
b
[(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d] .
d
Definicja iloczynu kartezjańskiego:
n
o
^ ^
A∪B
A × B := (a, b) ∈ 22
:a∈A∧b∈B
Zb(A) Zb(B)
Podstawowe własności iloczynu kartezjańskiego:
^ ^
[A × B = B × A ⇔ A = B] ,
Zb(A) Zb(B)
^
^
[A × B = ∅ ⇔ A = ∅ ∨ B = ∅] ,
^
^
^
[A × B ⊂ C × D ⇔ A ⊂ C ∧ B ⊂ D] ,
^
^
^
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) ,
^
^
^
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) ,
^
^
^
A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C) ,
^
^
^
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C) ,
^
^
^
(A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C) ,
^
^
^
(A \ B) × C = (A × C) \ (B × C) .
Zb(A) Zb(B)
^
Zb(A) Zb(B) Zb(C) Zb(D)
Zb(A) Zb(B) Zb(C)
Zb(A) Zb(B) Zb(C)
Zb(A) Zb(B) Zb(C)
Zb(A) Zb(B) Zb(C)
Zb(A) Zb(B) Zb(C)
Zb(A) Zb(B) Zb(C)
Definicja relacji:
^
[Rel(x) :=
x
_
_
x ⊂ A × B]
Zb(A) Zb(B)
Dziedzina i przeciwdziedzina relacji: Można udowodnić, że
^
_
_ ^ ^
[A∗ ⊂ A ∧ B ∗ ⊂ B ⇒ R ⊂ A × B] ,
Rel(R) Zb(A∗ ) Zb(B ∗ ) Zb(A) Zb(B)
∗
∗
oraz, że zbiory A i B są jednoznacznie wyznaczone. Zbiór D(R) := A∗ nazywa się dziedziną relacji R, zaś
zbiór D∗ (R) := B ∗ nazywa się przeciwdziedziną relacji R.
Definicja obrazu zbioru poprzez relację:
^ ^
_
R(A) := {y ∈ D∗ (R) :
(x, y) ∈ R} .
x∈A
Rel(R) Zb(A)
Definicja przeciwobrazu zbioru poprzez relację:
^ ^
_
R−1 (B) := {x ∈ D(R) :
(x, y) ∈ R} .
Superpozycja relacji:
^ ^
Rel(R) Zb(B)
y∈B
Q ◦ R := {(x, z) ∈ D(R) × D∗ (Q) :
_
y
Rel(R) Rel(Q)
1
[(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ Q} .
Relacja odwrotna:
^
R−1 := {(y, x) ∈ D∗ (R) × D(R) : (x, y) ∈ R} .
Rel(R)
Relacja wzajemnie jednoznaczna: Relację R nazywamy wzajemnie jednoznaczną jeśli spełnia ona warunek
^^^^
[(x, y) ∈ R ∧ (u, v) ∈ R ⇒ [x = u ⇔ y = v]] .
x
y
u
v
Relacje w zbiorze: Relację R nazywamy relacją w zbiorze X jeśli R ⊂ X × X.
Notacje dotyczące relacji:
^ ^^
xRy := (x, y) ∈ R ;
Rel(R) x
^ ^^
Rel(R) x
y
R(x, y) := (x, y) ∈ R .
y
Podstawowe typy relacji:
1. Relacja R jest zwrotna na zbiorze X, gdy:
^
(x, x) ∈ R .
x∈X
2. Relacja R jest przeciwzwrotna na zbiorze X, gdy:
^
(x, x) ∈
/R.
x∈X
3. Relacja R jest symetryczna na zbiorze X, gdy:
^ ^
[(x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R] .
x∈X y∈X
4. Relacja R jest antysymetryczna na zbiorze X, gdy:
^ ^
[(x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y] .
x∈X y∈X
5. Relacja R jest asymetryczna na zbiorze X, gdy:
^ ^
[(x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈
/ R] .
x∈X y∈X
6. Relacja R jest przechodnia na zbiorze X, gdy:
^ ^ ^
[(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R] .
x∈X y∈X z∈X
7. Relacja R jest spójna na zbiorze X, gdy:
^ ^
[(x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R ∨ x = y] .
x∈X y∈X
Relacje równoważności: Relacją równoważności na zbiorze X nazywamy relację, która jest zwrotna, symetryczna i przechodnia na zbiorze X. Zbiór
[x/R] := {y ∈ X : (x, y) ∈ R}
nazywamy klasą abstrakcji (warstwą) elementu x ∈ X relacji równoważności R na zbiorze X. Zbiór
_
X/R := {A ∈ 2X :
A = [x/R]}
x∈X
nazywamy zbiorem ilorazowym (zbiorem warstw) relacji równoważności R na zbiorze X.
Relacje porządkujace zbiór: Relacją porządku częściowego na zbiorze X nazywamy relację, która jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia na X.
Relacją ścisłego porządku częściowego na zbiorze X nazywamy relację, która jest asymetryczna i przechodnia
na X.
Relacją porządku liniowego na zbiorze X nazywamy relację, która jest zwrotna, antysymetryczna, przechodnia
i spójna na X, czyli jest to relacja porządku częściowego na X spełniająca dodatkowo warunek spójności na X.
Relacją ścisłego porządku liniowego na zbiorze X nazywamy relację, która jest asymetryczna, przechodnia i
spójna na X, czyli jest to relacja ścisłego porządku częściowego na X spełniająca dodatkowo warunek spójności
na X.
2
Definicja funkcji: Funkcją nazywamy relację F o tej własności, że
^^^
[(x, y) ∈ F ∧ (x, z) ∈ F ⇒ y = z] .
x
y
z
Ponieważ funkcja jest relacją, więc pojęcia dziedziny, przeciwdziedziny, obrazu, przeciwobrazu, złożenia relacji
i relacji odwrotnej stosują się również do funkcji. Przy tym złożenie funkcji jest również funkcją, zaś funkcja
odwrotna jest relacją ale funkcją być nie musi.
Argument i wartość funkcji: Element x nazywamy argumentem funkcji F jeśli x ∈ D(F ). Wartością funkcji
F dla argumentu x nazywamy dokładnie jeden element y ∈ D∗ (F ) taki, że (x, y) ∈ F . Oznaczamy go symbolicznie F (x) := y. Korzystając z tej notacji można wyrazić obraz i przeciwobraz zbioru poprzez funkcję jak
niżej.
Obraz zbioru poprzez funkcję F :
^
F (A) = {y ∈ D∗ (F ) :
_
y = F (x)} .
x∈A
Zb(A)
Przeciwobraz zbioru poprzez funkcję F :
^
_
F −1 (B) := {x ∈ D(F ) :
F (x) = y} .
y∈B
Zb(B)
Podstawowe typy Funkcji: Mówimy, że funkcja F odwzorowuje (przekształca) zbiór A w zbiór B jeśli
A ⊂ D(F ) ∧ F (A) ⊂ B .
Piszemy wówczas F : A → B.
Mówimy, że funkcja F odwzorowuje (przekształca) zbiór A na zbiór B jeśli
A ⊂ D(F ) ∧ F (A) = B .
na
Piszemy wówczas F : A −→ B.
Funkcję F nazywamy różnowartościową na zbiorze A jeśli
^ ^
A ⊂ D(F ) ∧
F (x) = F (y) ⇒ x = y .
x∈A y∈A
Funkcję F nazywamy różnowartościową jeśli jest ona różnowartościowa na swojej dziedzinie D(F ).
Mówimy, że funkcja F odwzorowuje (przekształca) wzajemnie jednoznacznie zbiór A w zbiór B jeśli F jest
1−1
różnowartościowa na A i F (A) ⊂ B. Piszemy wówczas F : A −−→ B.
Mówimy, że funkcja F odwzorowuje (przekształca) wzajemnie jednoznacznie zbiór A na zbiór B jeśli F jest
1−1
na
różnowartościowa na A i F (A) = B. Piszemy wówczas F : A −−→ B lub F : A −−→ B.
na
1−1
Superpozycja (złożenie) funkcji: Łatwo udowodnić, że superpozycja (złożenie) G ◦ F funkcji G z F jest
również funkcją i mają miejsce własności:
^
[F (x) ∈ D(G) ⇒ G ◦ F (x) = G(F (x))] ;
x∈D(F )
^
^
^
[F : A → B ∧ G : B → C ⇒ G ◦ F : A → C] ;
Zb(A) Zb(B) Zb(C)
^
^
1−1
^
1−1
1−1
[F : A −−→ B ∧ G : B −−→ C ⇒ G ◦ F : A −−→ C] ;
Zb(A) Zb(B) Zb(C)
^
^
^
na
na
na
[F : A −→ B ∧ G : B −→ C ⇒ G ◦ F : A −→ C] ;
Zb(A) Zb(B) Zb(C)
^
^
^
1−1
1−1
1−1
na
na
na
[F : A −−→ B ∧ G : B −−→ C ⇒ G ◦ F : A −−→ C] .
Zb(A) Zb(B) Zb(C)
Obcięcie funkcji do zbioru: Obcięciem funkcji F do zbioru A nazywamy relację
F|A := {(x, y) ∈ D(F ) × D∗ (F ) : x ∈ A} .
Łatwo udowodnić, że obcięcie funkcji F do zbioru jest również funkcją oraz D(F|A ) = A∩D(F ) i D∗ (F|A ) = F (A).
Odwracalność funkcji i funkcja odwrotna: Funkcja F nazywa się odwracalna jeśli relacja odwrotna F −1
jest również funkcją. Wówczas relację odwrotną F −1 nazywamy funkcją odwrotną do funkcji F i mają miejsce
własności:
^
^
[y = F (x) ⇔ x = F −1 (y)]
x∈D(F ) y∈D∗ (F )
D(F −1 ) = D∗ (F ) ∧ D∗ (F −1 ) = D(F ) .
3
Łatwo udowodnić, że:
1. Funkcja F jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy F jest różnowartościowa.
1−1
1−1
2. Jeśli funkcja F : D(F ) −−→ D∗ (F ) to F jest odwracalna i F −1 : D∗ (F ) −−→ D(F ).
3. Jeśli funkcje F i G są odwracalne to złożenie G ◦ F jest również funkcją odwracalną i zachodzi równość
(G ◦ F )−1 = F −1 ◦ G−1 .
Funkcja F nazywa się odwracalna na zbiorze A jeśli A ⊂ D(F ) i obcięcie F|A jest funkcją odwracalną. Wówczas
D((F|A )−1 ) = F (A) i D∗ ((F|A )−1 ) = A. Łatwo udowodnić, że funkcja F jest odwracalna na zbiorze A wtedy i
tylko wtedy gdy F jest różnowartościowa na zbiorze A.
Równoliczność zbiorów: Zbiory A i B nazywamy równolicznymi jeśli istnieje relacja wzajemnie jednoznaczna
R taka, że D(R) = A i D∗ (R) = B. Piszemy wówczas A ' B. Ponieważ relacja wzajemnie jednoznaczna jest
1−1
funkcją różnowartościową, więc A ' B wtedy i tylko wtedy gdy istnieje funkcja F : A −−→ B. Stąd natychmiast
na
wynikają własności:
^
A'A;
Zb(A)
^
^
[A ' B ⇒ B ' A] ;
Zb(A) Zb(B)
^
^
^
[A ' B ∧ B ' C ⇒ A ' C] .
Zb(A) Zb(B) Zb(C)
Zbiory skończone i nieskończone: Zbiór A nazywa się zbiorem nieskończonym jeśli A jest równoliczny z
pewnym swoim podzbiorem właściwym, tzn.
_
[B ⊂ A ∧ B 6= A ∧ A ' B] .
Zb(B)
Zbiór A nazywa się zbiorem skończonym jeśli A nie jest zbiorem nieskończonym, czyli
^
[B ⊂ A ∧ B 6= A ⇒∼ A ' B] .
Zb(B)
4