AFX

SPIS TRE‘CI
1
III. Równania ró»niczkowe cz¡stkowe rz¦du II
Spis tre±ci
1 Klasykacja równa« liniowych rz¦du drugiego
2
2 Posta¢ kanoniczna liniowych równa« rz¦du II
5
2.1 Charakterystyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2 Posta¢ kanoniczna równa« rz¦du II na pªaszczy¹nie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3 Metoda rozdzielania zmiennych
12
3.1 Przepªyw ciepªa w jednorodnym pr¦cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2 Struna drgaj¡ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.3 Kilka sªów o szeregach Fouriera i wzory na wspóªczynniki . . . . . . . . . . . . . .
16
1 Klasykacja równa« liniowych rz¦du drugiego
2
Przypomnijmy na pocz¡tku, »e zgodnie z ogóln¡ postaci¡ równania cz¡stkowego, równaniem drugiego
rz¦du nazwiemy równanie postaci:
F (D 2 u(x), Du(x), u(x), x) = 0,
gdzie F : Rn
2
Rn R U ! R jest dana, natomiast funkcja u : U ! R jest niewiadom¡.
Poniewa» teoria równa« cz¡stkowych rz¦du drugiego jest znacznie trudniejsza od teorii dotycz¡cej
równa« rz¦du pierwszego, nawet je±li miaªaby dotyczy¢ tylko rozwi¡za« klasycznych, zajmiemy si¦
tylko równaniami liniowymi i tylko niektórymi z ogólnej klasy równa« liniowych drugiego rz¦du.
Zauwa»my najpierw, »e równanie liniowe drugiego rz¦du mo»na zapisa¢ w postaci
n
X
i,j=1
gdzie aij , bi , c, f : Rn
aij (x)uxi xj (x) +
n
X
bi (x)uxi (x) + c(x)u(x) = f (x),
(1)
i=1
U ! R s¡ funkcjami ci¡gªymi, a u jest niewiadom¡ funkcj¡ klasy C 2(U).
Wida¢ od razu, »e je±li lew¡ stron¦ tego równania oznaczymy przez Lu , to mamy
L(u1 + u2 ) = Lu1 + Lu2 ,
dla dowolnych u1 , u2
2 C 2(U), wi¦c jest ono w istocie liniowe.
Równanie falowe, równanie przewodnictwa cieplnego (dyfuzji) i równanie Laplace'a s¡ przykªadami
liniowych równa« ró»niczkowych rz¦du drugiego. Jak si¦ pó¹niej oka»e, jako±ciowe wªasno±ci rozwi¡za« ka»dego z tych równa« b¦d¡ nieco inne, np.: rozwi¡zania równania Laplace'a i równania dyfuzji
b¦d¡ gªadsze ni»by to wynikaªo z samych równa«, a rozwi¡zania równania falowego b¦d¡ na ogóª
klasy C 2 ; dla rozwi¡za« równania falowego pr¦dko±¢ rozchodzenia zaburze« b¦dzie sko«czona, a dla
rozwi¡za« równania przewodnictwa cieplnego - niesko«czona, itp.
Okazuje si¦, »e równania liniowe rz¦du II mo»na podzieli¢ na pewne klasy, a badanie ka»dej z tych
klas stanowi przedmiot odr¦bnej i rozlegªej teorii matematycznej.
1 Klasykacja równa« liniowych rz¦du drugiego
Spo±ród równa« liniowych wyodr¦bnia si¦ trzy podstawowe typy: równania hiperboliczne, równania
1 Klasykacja równa« liniowych rz¦du drugiego
3
paraboliczne i równania eliptyczne. Jak si¦ pó¹niej przekonamy, ju» dla n = 3 nie jest to peªna klasykacja, ale innymi typami nie b¦dziemy si¦ zajmowa¢.
Rowa»amy teraz tylko równanie w postaci (1). Bez zmniejszania ogólno±ci mo»emy zaªo»y¢, »e macierz A = [aij ]nij=1 jest macierz¡ symetryczn¡, czyli »e aij = aji . Istotnie, je±li przyjmiemy
1
aij0 = (aij + aji ),
2
1
aij00 = (aij
2
to wtedy
aij0 = aji0 , aij00 =
aji ),
aji00 , aij = aij0 + aij00 ,
a z symetrii macierzy drugich pochodnych cz¡stkowych funkcji u mo»emy napisa¢:
n
X
i,j=1
aij uxi xj =
n
X
a0 ij uxi xj +
i,j=1
n
X
a00 ij uxi xj =
i,j=1
|
{z
}
n
X
a0 ij uxi xj .
i,j=1
=0
Ustalmy punkt x
2 U i niech 1, 2, ... , n b¦d¡ warto±ciami wªasnymi macierzy A(x) = [aij (x)]nij=1.
Poniewa» zaªo»yli±my, »e macierz ta jest symetryczna, wi¦c wszystkie warto±ci wªasne s¡ rzeczywiste.
Oznaczmy teraz
n+ (x) = # fi :
i > 0g ,
n (x) = # fi :
i < 0g ,
n0 (x) = # fi :
i = 0g .
Denicja 1.1.
Mówimy, »e równanie (1) jest w punkcie x
1. eliptyczne, je±li n+ (x) = n lub n (x) = n,
2. hiperboliczne, je±li n+ (x) + n (x) = n i n (x) 2 f1, n
3. paraboliczne, je±li n0 (x) = 1 i n+ (x) = n
1g,
1 lub n (x) = n
1.
Na podstawie tej denicji, jak wida¢, mo»emy w peªni sklasykowa¢ jedynie równania dla n = 2.
Dla wy»szych wymiarów mo»emy okre±li¢ jeszcze tzw. równanie ultrahiperboliczne w punkcie x , je±li
1 Klasykacja równa« liniowych rz¦du drugiego
n+ (x) + n (x) = n i 1 < n (x) < n
4
1.
Uwaga 1.1. Jako przypomnienie podamy teraz, »e warto±ci wªasne macierzy A uzyskujemy z rozwi¡zania równania
det(A
I ) = 0.
Šatwo mo»emy sprawdzi¢ teraz, »e równanie falowe jest hiperboliczne, równanie dyfuzji - paraboliczne,
a równanie Laplace'a eliptyczne. Istniej¡ równania, które nie s¡ »adnego z wymienionych typów, np.:
uxx
uy
uz = 3,
dla którego n+ = 1, n0 = 2. Ponadto istniej¡ równania, które zmieniaj¡ typ w obszarze, w którym
sa okre±lone. Przykªadem jest tzw. równanie Tricconiego, które opisuje w przybli»eniu ruch ciaªa w
gazie z pr¦dko±ci¡ blisk¡ pr¦dko±ci d¹wi¦ku:
yuxx + uyy = 0.
Dla y > 0 jest ono eliptyczne i odpowiada ruchowi z pr¦dko±ci¡ podd¹wi¦kow¡, dla y < 0 jest
hiperboliczne i odpowiada ruchowi z pr¦dko±ci¡ ponadd¹wi¦kow¡, a dla y = 0 jest to równanie paraboliczne (które si¦ tu trywializuje).
Równania o zmieniaj¡cym sie typie s¡ sªabiej zbadane ni» te, które maja ten sam typ w caªym obszarze okre±lono±ci. Na szcz¦±cie wi¦kszo±¢ równa« liniowych zyki matematycznej ma ustalony typ
w caªym obszarze okre±lono±ci.
Mamy ponadto wa»n¡ przydatn¡ wªasno±¢ zwi¡zan¡ z typem równania.
Lemat 1.1. Typ równania nie ulega zmianie przy dyfeomorcznej (klasy C 2 ) zamianie zmiennych.
Dowód.
Niech Φ b¦dzie dyfeomorzmem klasy C 2 mi¦dzy dwoma obszarami w
Rn ,
Rn U 3 x ! y = Φ(x) 2 V Rn .
Zaªó»my, »e u 2 C 2 (U) i niech v = u Φ 1 2 C 2 (V ). Ró»niczkuj¡c obie strony równo±ci u(x) =
v (Φ(x)), otrzymujemy:
uxi (x) =
n
X
k=1
vyk (Φ(x))
@ yk
,
@ xi
2 Posta¢ kanoniczna liniowych równa« rz¦du II
uxi xj (x) =
n
X
vyk yl (Φ(x))
k,l=1
St¡d za±
n
X
aij (x)uxi xj (x) =
i,j=1
n
X
5
n
@ yk @ yl X
@ 2 yk
+
vyk (Φ(x))
.
@ xi @ xj k=1
@ xi @ xj
vyk yl (Φ(x))
n
X
aij (x)
i,j=1
k,l=1
@ yk @ yl
+
@ xi @ xj
+ wyrazy z pochodnymi niszego rzdu.
Zatem dla y = Φ(x) cz¦±¢ gªówna równania ma posta¢
n
X
aij (x)uxi xj (x) =
i,j=1
n
X
ãkl (y )vyk yl (y ),
k,l=1
+ wyrazy z pochodnymi niszego rzdu,
gdzie
ãkl (y ) =
n
X
i,j=1
aij
@ yk @ yl
(x)
(x)
@ xi @ xj
dla x = Φ 1 (y ).
Innymi sªowy, je±li à = [ãkl ]nk,l=1 oraz A = [aij ]ni,j=1 , a J jest macierz¡ Jacobiego dyfeomorzmu Φ,
h
czyli J = @@yxkj
in
k,j=1
, to
à = J A J T
(przy czym nale»y pami¦ta¢, by warto±ci wspóªczynników i pochodnych bra¢ w odpowiednich punktach). Macierz wspóªczynników przy pochodnych drugiego rz¦du transformuje si¦ wi¦c tak samo, jak
macierz formy kwadratowej - maj¡ taki sam wielomian charakterystyczny (zobacz [15]: Dodatek E o
formach kwadratowych) - i dlatego
n0 (Ã) = n0 (A), n+ (Ã) = n+ (A), n (Ã) = n (A),
co oznacza, »e po zamianie zmiennych typ równania si¦ nie zmieni.
2 Posta¢ kanoniczna liniowych równa« rz¦du II
Skoro przy dyfeomorcznej zamianie zmiennych nie zmienia si¦ typ równania, to czy mo»na tak dobra¢
nowe zmienne, by równanie miaªo prostsz¡ posta¢ (z której by¢ mo»e uda si¦ uzyska¢ rozwi¡zania)?
Odpowied¹ jest \ostro»nie" pozytywna. Zanim jednak przeprowadzimy taka zamian¦, potrzebne nam
b¦d¡ informacje o charakterystykach dla równa« liniowych II rz¦du.
2.1 Charakterystyki
6
2.1 Charakterystyki
Niech hiperpowierzchnia Γ b¦dzie n
1 -wymiarowa klasy C 1 w U i zadana jako przeciwobraz 0
Γ = fx
gdzie F : U
2U
: F (x) = 0g ,
! R jest klasy C 1 i rz[F 0(x)] = 1 dla x 2 Γ.
Denicja 2.1.
Charakterystyk¡ równania
n
X
aij (x)uxi xj (x) +
i,j=1
n
X
bi (x)uxi (x) + c(x)u(x) = f (x),
(2)
i=1
nazywamy hiperpowierzchni¦ Γ tak¡, »e w ka»dym punkcie x
n
X
2 Γ speªnione jest równanie
aij (x)Fxi (x)Fxj (x) = 0.
(3)
i,j=1
Równanie to nazywa si¦ równaniem charakterystyk.
Jak wida¢ z tej denicji, rozwi¡zania równania charakterystyk (3) opisuj¡ charkterystyki równania
(2), czyli charakterystyki s¡ poziomicami tych rozwi¡za«
Γc = fx : F (x) = C g , C = const.
2 Γ. Wtedy cho¢ jedna z pochodnych
cz¡stkowych Fx (x) 6= 0, niech to b¦dzie Fx (x) 6= 0. Okre±lmy odwzorowanie Φ : Rn Γ ! V Rn
Zaªó»my teraz, »e Γ jest charakterystyk¡ i ustalmy punkt x
n
i
wzorem:
Φ(x1 , x2 , ... , xn ) = (y1 , y2 , ... , yn 1 , F (x1 , x2 , ... , xn )),
czyli yn = F (x1 , x2 , ... , xn ). Wtedy det Φ0 (x) = Fxn (x) 6= 0, wi¦c na podstawie twierdzenia o lokalnej
odwracalno±ci Φ jest dyfeomorzmem otoczenia punktu x na otoczenie punktu Φ(x) = y .
Posªu»ymy si¦ rachunkami z dowodu lematu 1.1 i przypomnimy, jak wygl¡da równanie (2) w nowych
zmiennych dla v = u Φ 1 . Mamy
n
X
i,j=1
aij (x)uxi xj (x) =
n
X
k,l=1
ãkl (y )vyk yl (y ),
2.1 Charakterystyki
7
gdzie
n
X
ãkl (y ) =
aij
i,j=1
@ yk @ yl
(x)
(x)
@ xi @ xj
+ wyrazy z pochodnymi niszego rzdu
dla x = Φ 1 (y ). Ale dla k
¬n
ki , natomiast dla k = n mamy yn,xi = Fxi . St¡d
1, yk,xi =
dostajemy kolejno:
n
X
ãkl (y )vyk yl (y ) =
k,l=1
nX1
=
ãkl (y )vyk yl (y ) +
k,l=1
nX1
ãkn (y )vyk yn (y ) +
k=1
=
nX1
0
ãnl (y )vyn yl (y ) + ãnn (y )vyn yn (y ) =
l=1
nX1
ãkl (y )vyk yl (y ) + 2
k,l=1
nX1
ãkn (y )vyk yn (y ) + ãnn (y )vyn yn (y ) =
k=1
1
n
X
@ yk @ yn A
@ yn @ yn
@
=
ãkl (y )vyk yl (y ) + 2
(x)
(x) vyk yn (y ) +
(x)
(x)vyn yn (y ) =
aij
aij
@ xi @ xj
@ xi @ xj
i,j=1
k,l=1
k=1 i,j=1
nX1
=
|{z}
nX1
nX1
ãkl (y )vyk yl (y ) + 2
yn,xi =Fxi k,l=1
=
|{z}
yk,xi =ki
n
X
nX1
0
@
k=1
nX1
ãkl (y )vyk yl (y ) + 2
k,l=1
1
n
X
@ yk
A
(x)Fxj (x) vyk yn (y ) +
aij Fxi (x)Fxj (x)vyn yn (y ) =
aij
@ xi
i,j=1
i,j=1
n
X
nX1
k=1
0
@
n
X
1
akj Fxj (x)A vyk yn (y ) +
j=1
n
X
aij Fxi (x)Fxj (x)vyn yn (y ).
i,j=1
Ale ostatni skªadnik tej sumy znika na mocy denicji charakterystyki i wyboru punktu x .
h
Powiedzmy, »e znamy dwie charakterystyki takie, »e rz Fi,xj (x)
fx 2 U
: F1 (x) = 0g i Γ2 = fx
2U
ij ¬n
i=1,2
= 2 dla x
2 Γ1 \ Γ2, gdzie Γ1 =
: F2 (x) = 0g . Powy»sze rachunki prowadz¡ nas do wniosku,
»e mo»emy wyeliminowa¢ (lokalnie) skªadniki zawieraj¡ce vyi yi dla i = 1, 2. Zakªadaj¡c podobnie,
h
i
¬ 6= 0 i podstawiaj¡c w dyfeomorzmie Φ,
yi = Fi (x) mo»emy caªkowicie wyeliminowa¢ wyrazy zawieraj¡ce pochodne vyi yi dla i = 1, 2, ... , n i
»e znamy n takich charakterystyk, »e det Fi,xj (x)
i,j n
pozostan¡ tylko pochodne mieszane. W szczególno±ci równanie
X
6
aij vyi yj = 0
i =j
mo»na ªatwo rozwi¡za¢, bo jego rozwi¡zaniami s¡ wszystkie funkcje postaci
v (y ) =
n
X
gi (yi ),
i=1
gdzie gi jest funkcj¡ zmiennej rzeczywistej klasy C 1 .
Przypomnijmy teraz, »e z poprzednich (dªugich) rachunków, mamy
n
X
k,l=1
ãkl (y )vyk yl (y ) =
nX1
k,l=1
ãkl (y )vyk yl (y ) + 2
nX1
k=1
0
@
n
X
j=1
1
akj Fxj (x)A vyk yn (y ),
2.1 Charakterystyki
8
wi¦c dla funkcji G (y ) = yn mamy Gyl = 0 dla l
n
X
ãkl Gyk (y )Gyl (y ) =
nX1
¬n
ãkl Gyk (y )Gyl (y ) + 2
nX1
k=1
k,l=1
k,l=1
1, czyli
Oznacza to, »e hiperpªaszczyzna (n
0
@
n
X
1
akj Fxj (x)A Gyk (y )Gyn (y ) = 0.
j=1
1)-wymiarowa fy : yn = 0g jest charakterystyk¡ przeksztaª-
conego równania. Wniosek mamy nast¦pujacy: zamiana zmiennych zgodnie z funkcja opisuj¡c¡ charaterystyk¦ \prostuje" t¦ charakterystyk¦ (analogia do równa« I rz¦du). Przy badaniu wi¦c równania na brzegu Γ mo»emy, jak przy równaniach I rz¦du, zakªada¢, »e brzeg jest wyprostowany, czyli
Γ = fx
2U
: xn = 0g.
Tak, jak w równaniach I rz¦du, tutaj równie» nie mo»na na charakterystykach zadawa¢ zupeªnie
dowolnych warunków pocz¡tkowych. Istotnie, je±li do równania (2)
n
X
aij (x)uxi xj (x) +
i,j=1
n
X
bi (x)uxi (x) + c(x)u(x) = f (x)
i=1
doªo»ymy warunki
u j Γ = ,
to mo»emy przyj¡¢, »e
@u
jΓ= ,
@
@ u = u . Ponadto,
i nie zale»¡ od zmiennej xn (brzeg jest wyprostowany) i @
xn
na Γ mamy, »e uxn = , uxn xi =
xi
dla i
¬n
1 i uxi = xi , uxi xj = xi xj dla i, j
¬n
1. Wstawiaj¡c
to wszystko do równania, otrzymamy na brzegu
nX1
aij xi xj +
i,j=1
nX1
(ain + ani )
i=1
xi
+
nX1
bi xi + bn + c = f .
i=1
Zatem speªnianie tej równo±ci jest warunkiem koniecznym istnienia rozwi¡zania zagadnienia pocz¡tkowego.
Przykªad 2.1.
Rozwa»my równanie dyfuzji
ut = 2 ∆u.
Równaniem charakterystyk jest tu
n
X
Fxi (x, t)Fxi (x, t) = 0.
i=1
Speªniaj¡ je takie funkcje F , »e Fxi (x, t) = 0 dla i = 1, 2, ... , n. Zatem F nie zale»y od zmiennych przestrzennych x , czyli F (x, t) = F (t) = C . Charakterystykami s¡ wi¦c hiperpowierzchnie
Γc = f(x, t) 2 Rn+1 : F (t) = C g .
2.2 Posta¢ kanoniczna równa« rz¦du II na pªaszczy¹nie
9
Przykªad 2.2.
Rozwa»my n-wymiarowe równanie falowe
utt = c 2 ∆u.
Równaniem charakterystyk jest tu
Ft (x, t)Ft (x, t) = c 2
n
X
Fxi (x, t)Fxi (x, t).
i=1
Dostali±my równanie ró»niczkowe cz¡stkowe rz¦du I, które w przypadku n = 1 potramy rozwi¡za¢.
Jako charakterystyki otrzymujemy wtedy proste x + ct = a, x
ct = a, bo musimy rozwi¡za¢ dwa
równania Ft = cFx .
Natomiast równanie Laplace'a nie posiada charakterystyk!
2.2 Posta¢ kanoniczna równa« rz¦du II na pªaszczy¹nie
Przypomnijmy, »e na pªaszczy¹nie ka»de równanie liniowe II rz¦du jest jednego z trzech poznanych
typów: hiperboliczne, paraboliczne lub eliptyczne. Zatem dla ka»dego z nich b¦dzie mo»na znale¹¢
posta¢ kanoniczn¡, wykorzystuj¡c równanie charakterystyk (oprócz równania eliptycznego, gdzie zastosujemy pewien pomysª).
Zauwa»my najpierw, »e równanie to dla funkcji u dwóch zmiennych mo»na zapisa¢ w postaci
a(x, y )uxx + 2b(x, y )uxy + c(x, y )uyy + R(x, y , u, Du) = 0,
gdzie a, d, c : U
! R s¡ klasy C 1, U R2. Zajmujemy sie tylko cz¦±ci¡ gªówn¡. Wtedy
2
A(x, y ) = 6
4
3
a(x, y ) b(x, y )
b(x, y ) c(x, y )
7
5
i dla ustalonego punktu (x, y ) - b¦dziemy go dalej pomija¢ w zapisie - mamy 0 = det(A
(a
)(c
)
b 2 . Zatem nale»y rozwi¡za¢ równanie kwadratowe
2
z niewiadom¡ .
(4)
(a + c) + (ac
b2 ) = 0
I ) =
2.2 Posta¢ kanoniczna równa« rz¦du II na pªaszczy¹nie
Wyró»nikiem tego trójmianu jest (a
znaku iloczynu 1 2 =
b2
ac
1
c)2 + 4b 2
­ 0, zatem znaki 1 i 2 zale»¡ od (wzory Viete'a)
∆. Symbol ∆ nazywamy tutaj wyró»nikiem cz¦±ci
b 2 + ac =:
=
10
gªównej. Wida¢ wi¦c, »e warto±ci wªasne 1 i 2 s¡:
- tych samych znaków (równanie eliptyczne), je±li ∆ < 0;
- przeciwnych znaków (równanie hiperboliczne), je±li ∆ > 0;
- jedna z nich jest 0 (równanie paraboliczne), je±li ∆ = 0.
Rozwa»my równanie hiperboliczne w ustalonym punkcie (x, y ), czyli ∆(x, y ) > 0. Wtedy w pewnym
otoczeniu tego punktu znak ∆ si¦ nie zmienia i mo»emy przeanalizow¢ równanie charakterystyk w
tym otoczeniu:
(5)
aFx Fx + 2bFx Fy + cFy Fy = 0.
Rozkªadamy je na iloczyn
aFx + b +
Zatem wystarczy rozwi¡za¢
aFx + b +
p
p
∆ Fy
p
aFx + b
∆ Fy = 0.
p
∆ Fy = 0 lub aFx + b
∆ Fy = 0.
S¡ to równania liniowe I rz¦du, wi¦c odpowiadajace im równania charakterystyk (dla równa« cz¡stkowych I rz¦du) s¡ nast¦puj¡ce:
8
>
<
x 0 = a(x, y ),
>
:
y 0 = b(x, y ) +
q
∆(x, y ),
8
>
<
x 0 = a(x, y ),
>
:
y 0 = b(x, y )
q
∆(x, y ).
Rozwi¡zania tych równa« s¡ rozwi¡zaniami równania charakterystyk (5) (w sensie równa« II rz¦du).
Mo»emy zatem okre±li¢
gdzie (x, y )
v ( , ) = u Φ 1 ( , ),
! ( , ) = Φ(x, y ) = (Φ+(x, y ), Φ
(x, y )), a Φ+ (x, y ) i Φ (x, y ) s¡ rozwi¡zaniami
powy»szych równa«. Oczywi±cie takie okre±lenie funkcji v (jest tylko tam, gdzie istnieje Φ 1 ) redukuje
wspóªczynniki przy v i v do zera, przy czym przeksztaªcenie (x, y ) ! Φ(x, y ) jest dyfeomorczne.
i
i h
h
+
Istotnie, gdyby jakobian tego odwzorowania byª równy 0, to wektory Φ+
x , Φy i Φx , Φy byªyby w
h
p
i h
pewnym punkcie równolegªe, wi¦c wektory do nich prostopadªe a, b + ∆ i a, b
równolegªe, czyli musiaªoby by¢
b+
p
∆=b
p
i
∆ te» byªyby
p
∆.
Jest to sprzeczne z zaªo»eniem, »e ∆ > 0. Zatem, ostatecznie, równanie hiperboliczne mo»na lokalnie
sprowadzi¢ do postaci
v + R̂( , , v , v , v ) = 0,
2.2 Posta¢ kanoniczna równa« rz¦du II na pªaszczy¹nie
11
(zwykle ªatwo ju» to równanie rozwi¡za¢), a po dodatkowym podstawieniu
s = + , t = ,
które te» jest przeksztaªceniem dyfeomorcznym, dostajemy posta¢ kanoniczn¡
wss
wtt + R̄(s, t, w , ws , wt ) = 0.
Przejd¹my teraz do równania parabolicznego, czyli mamy ∆ = 0 w pewnym zbiorze otwartym. Wtedy
równanie charakterystyk (5) redukuje si¦ do postaci
aFx + bFy = 0.
Dostajemy wi¦c odpowiadaj¡cy mu ukªad równa« zwyczajnych
8
>
<
x 0 = a(x, y ),
>
:
y 0 = b(x, y )
i jedno rozwi¡zanie Φ1 . Aby wi¦c uzyska¢ dyfeomorczn¡ zamian¦ zmiennych, jak poprzednio, musimy
znale¹¢ takie Φ2 klasy C 2 , by jakobian przeksztaªcenia (x, y ) ! ( , ) = Φ(x, y ) = (Φ1 (x, y ), Φ2 (x, y ))
byª niezerowy. Wtedy dla v ( , ) = u Φ 1 ( , ) zniknie wspóªczynnik przy v . Ponadto wspóªczynnik
przy v te» zniknie, bo jest nim
aΦ1x +bΦ1y =0
z}|{
2(aΦ1x Φ2x + b(Φ1x Φ2y + Φ1y Φ2x ) + cΦ1y Φ2y )
,b2 =ac 2c
2(bΦ1x Φ2y + cΦ1y Φ2y ) =
=
∆=0
z}|{
=
b
Φ2y (aΦ1x + bΦ1y ) = 0.
Zostanie wi¦c tylko skªadnik z v i równanie (4) b¦dzie miaªo posta¢ kanoniczn¡
v + R̂( , , v , v , v ) = 0,
dla której mo»na ªatwo znale¹¢ rozwi¡zanie.
Na koniec rozwa»my równanie eliptyczne, o którym ju» wiemy, »e jego równanie charakterystyk nie
posiada rozwi¡za«. Mamy tu ∆(x, y ) < 0 w pewnym punkcie i jego otoczeniu. Jednak równanie (5)
mo»emy rozªo»y¢ na iloczyn, tyle tylko, »e w dziedzinie zespolonej. Ma on posta¢:
aFx + b + i
Zatem wystarczy rozwi¡za¢
aFx + b + i
p
p
∆ Fy
aFx + b
i
p
∆ Fy = 0 lub aFx + b
∆ Fy = 0.
i
p
∆ Fy = 0.
3 Metoda rozdzielania zmiennych
12
Zauwa»my najpierw, »e je±li F speªnia pierwsze z tych równa«, to jest funkcj¡ zespolon¡ F = Φ1 +iΦ2 ,
gdzie Φ1 , Φ2 s¡ funkcjami rzeczywistymi, i równanie to mo»na zapisa¢ jako ukªad (z wydzielon¡ cz¦±ci¡
rzeczywist¡ i urojon¡):
8
>
<
aΦ1x + bΦ1y
>
:
aΦ2x + bΦ2y +
p
p
∆Φ2y = 0,
∆Φ1y = 0.
Natomiast z drugiego równania otrzymaliby±my taki sam ukªad z zamian¡ Φ1 i Φ2 . Tutaj równie»
jakobian przeksztaªcenia (x, y )
! ( , ) = Φ(x, y ) =h (Φ1(x,iy ),h Φ2(x, yi)) jest niezerowy. Istotnie,
gdyby cho¢ w jednym punkcie byªo inaczej, to wektory Φ1x , Φ1y i Φ2x , Φ2y byªyby w pewnym punkcie
h
i
h
i
równolegªe, wi¦c Φ2x , Φ2y = Φ1x , Φ1y dla pewnego =
6 0. Po podstawieniu do naszegu ukªadu
otrzymaliby±my
p 1
∆Φ = 0,
p y1
8
>
<
aΦ1x + bΦ1y
>
:
aΦ1x + bΦ1y +
Mno»¡c pierwsze równanie przez
∆Φy = 0.
i dodaj¡c oba stronami, otrzymaliby±my
p
(2 + 1)
∆Φ1y = 0.
St¡d Φ1y = 0, wi¦c i Φ1x = 0, co nie jest mo»liwe. Mo»emy wi¦c zastosowa¢ zamian¦ zmiennych
( , ) = Φ(x, y ) = (Φ1 (x, y ), Φ2 (x, y )). Po wyliczeniu odpowiednich pochodnych, dostajemy, »e
wspóªczynniki przy v i v s¡ takie same, a wspóªczynnik przy v jest zerowy. Zatem równanie
przyjmie nast¦puj¡c¡ posta¢ kanoniczn¡
v + v = âR̂( , , v , v , v ).
Szczegóªy rachunkowe prowadz¡ce do wyliczenia wspóªczynników znale¹¢ mo»na np. w [15], str.
120-121.
3 Metoda rozdzielania zmiennych
W paragrae tym omówimy metod¦, zwan¡ metod¡ rozdzielania zmiennych, pozwalaj¡c¡ w niektórych
przypadkach znale¹¢ analityczn¡ posta¢ rozwi¡za«. Czasami nazywa si¦ j¡ te» metod¡ Fouriera rozdzielania zmiennych. Zobaczymy t¦ metod¦ w dwóch przypadkach, a szczegóªowo omówiona b¦dzie
na ¢wiczeniach.
3.1 Przepªyw ciepªa w jednorodnym pr¦cie
13
3.1 Przepªyw ciepªa w jednorodnym pr¦cie
Jednorodny pr¦t, to odcinek I = [0, ], a u(x, t) oznacza tempertaur¦ w punkcie x
t
­ 0. Przy odpowiednim doborze jednostek zmiany temperatury mo»na zapisa¢ jako:
ut = uxx , x
2 (0, ), t > 0.
2I
w chwili
(6)
Ponadto zakªadamy, »e znany jest pocz¡tkowy rozkªad temperatury, a ko«ce pr¦ta caªy czas maja
temperatur¦ 0:
u(x, 0) = f (x), u(0, t) = u( , t) = 0.
(7)
Wypada jeszcze zaªo»y¢, »e f (0) = f ( ) = 0 (tzw. warunek zgodno±ci). Szukamy najpierw rozwi¡zania w postaci iloczynu dwóch funkcji, z których ka»da zale»y tylko od jednej zmiennej, co powinno
upro±ci¢ nasze równanie, tzn. zakªadamy, »e
u(x, t) = v (x)w (t).
Dla takich u równanie (6) przybiera posta¢:
v 00 (x)w (t) = v (x)w 0 (t),
czyli
v 00 (x)
w 0 (t)
=
,
v (x)
w (t)
przy zaªo»eniu, »e v , w =
6 0. Poniewa» prawa strona zale»y tylko od x , a lewa od t , wi¦c speªnienie
tej równo±ci jest zagwarantowane, je±li istnieje staªa 2 R taka, »e
v 00 (x)
w 0 (t)
v (x)
Zajmijmy si¦ pierwszym równaniem
= ,
v 00 (x)
w (t)
= .
v (x) = 0
i zauwa»my, »e z (7) wynika nast¦puj¡cy warunek brzegowy: v (0) = v ( ) = 0. Dla > 0 równanie
to ma rozwi¡zanie w postaci
v (x) = C1 exp(x
p
p
) + C2 exp( x )
i warunek brzegowy jest speªniony tylko dla C1 = C2 = 0, czyli v
v (x) = C1 + C2 x
0. W przypadku = 0 dostajemy
3.1 Przepªyw ciepªa w jednorodnym pr¦cie
14
i znowu v musi znika¢ to»samo±ciowo. Jednak dla < 0 rozwi¡zanie ma posta¢
p
v (x) = C1 cos(
p
x) + C2 sin(
x).
Poniewa» v (0) = 0, wi¦c C1 = 0. Warunek v ( ) = 0 prowadzi teraz do wniosku (o ile nie chcemy
znikania v ), »e
= n2 , n = 1, 2, 3, ...
Zatem rozwi¡zania s¡ dane jako
v (x) = C sin nx,
gdzie C
2 R.
Zajmijmy sie teraz drugim równaniem w 0 (t)
w (t) = 0. Ma ono rozwi¡zania w (t) = D exp(t),
czyli uwzgl¦dniaj¡c posta¢ , mamy
w (t) = D exp( n2 t),
gdzie D
2 R. Poniewa» równanie (6) jest liniowe, wi¦c speªnia je równie» dowolna kombinacja liniowa
znalezionych rozwi¡za«:
u(x, t) =
X
bn exp( n2 t) sin nx.
(8)
n
Dla t = 0 otrzymujemy u(x, 0) = f (x) =
P
n
bn sin nx.
Jaki st¡d wniosek?
Je±li umiemy przedstawi¢ pocz¡tkowy rozkªad temperatury w postaci sumy (by¢ mo»e niesko«czonej) sinusów, to rozwi¡zanie w jawnej postaci (z dokªadno±ci¡ do sprawdzenia, czy otrzymany szereg mo»na ró»niczkowa¢ wyraz po wyrazie) otrzymujemy mechanicznie: wystarczy dopisa¢ czynniki
exp( n2 t).
Otrzymany wzór (8) pozwala równie» na jako±ciow¡ analiz¦ rozwi¡zania.
• Je±li ci¡g bn jest ograniczony (jest ju» tak przy bardzo sªabym zaªo»eniu o caªkowalno±ci funkcji
f ), to z uwagi na obecno±¢ szybko gasn¡cych czynników exp( n2 t) suma szeregu (8) jest
funkcj¡ klasy C 1 .
• Rozwi¡zanie u(x, t)
! 0 dla t ! +1. Zgadza si¦ to z intuicj¡: je±li ko«ce ogrzanego pr¦ta
s¡ wbite w lód, to pr¦t w ko«cu wystygnie - niezale»nie od tego, jaki byª poczatkowy rozkªad
temperatury.
3.2 Struna drgaj¡ca
15
• Je±li b1 =
6 0, to
u(x, t)
= 1.
t sin x
lim
t
!1 b1 e
Zatem dla du»ych czasów t0 wykres temperatury u(, t0 ) przypomina wykres funkcji sinus pomno»onej przez pewn¡ staª¡: stygn¡cy pr¦t jest najcieplejszy w okolicy ±rodka, z dala od zimnych
ko«ców.
3.2 Struna drgaj¡ca
Tym razem u(x, t) oznacza wychylenie struny z poªo»enia równowagi. Wspóªrz¦dna x to odlegªo±¢
punktu spoczywaj¡cej struny od jednego z ko«ców, x
2 [0, ] , a t oznacza czas. Je±li struna jest
jednorodna, a drgania niewielkie, to jak ju» widzieli±my wcze±niej, prawo Hooke'a i druga zasada
dynamiki prowadz¡ do równania
utt = c 2 uxx , x
2 (0, ), t > 0,
(9)
gdzie c jest pewn¡ staª¡, zale»n¡ od przyj¦tego ukªadu jednostek. Aby zagwarantowa¢ sobie jednoznaczno±¢ rozwi¡zania, dokªadamy warunki pocz¡tkowe i brzegowe, tzn. znamy pocz¡tkowe wychylenie struny, »e puszczono j¡ swobodnie i »e ko«ce struny s¡ zamocowane (s¡ to warunki przykªadowe),
co daje odpowiednio
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = 0, u(0, t) = u( , t) = 0, dla x
2 [0, ] , t ­ 0.
(10)
Post¦puj¡c podobnie, jak poprzednio, czyli poszukuj¡c rozwi¡zania w postaci u(x, t) = v (x)w (t),
dostajemy
u(x, t) =
X
(11)
bn sin nx cos cnt.
n
Tym razem nale»y rozwi¡za¢ równania v 00 (x)
v (x) = 0, w 00 (t)
c 2 w (t) = 0. Jak poprzednio,
wspóªczynniki bn w równaniu (11) nale»y dobra¢ tak, by mie¢ f (x) =
wzoru
sin( + ) + sin(
mo»emy otrzyma¢
u(x, t) =
) = 2 sin cos 1 ˜
f (x + ct) + f˜(x
2
ct) ,
P
n
bn sin nx. Ze szkolnego
3.3 Kilka sªów o szeregach Fouriera i wzory na wspóªczynniki
16
gdzie f˜ jest nieparzyst¡ funkcj¡ 2 -okresow¡, pokrywaj¡c¡ si¦ z f na przedziale [0, ].
Fala wzdªu» struny rozchodzi si¦ wi¦c ze sko«czona pr¦dko±ci¡ c , a po doj±ciu do ko«ca struny zmienia
kierunek i wychylenie na przeciwne. W przeciwie«stwie do poprzedniego przykªadu, tutaj rozwi¡zania
nie musz¡ by¢ wcale funkcjami gªadkimi (s¡ gªadkie na tyle, na ile pozwala funkcja f ).
3.3 Kilka sªów o szeregach Fouriera i wzory na wspóªczynniki
Aby rozwa»ania z poprzednich dwóch podrozdziaªów miaªy sens, nale»y odpowiedzie¢ sobie na kilka
pyta«.
• Czy dla danej funkcji f : [0, ] ! R mo»na znale¹¢ rozkªad postaci f (x) =
P
n
bn sin nx ?
• Jak to zrobi¢?
• Jak nale»y rozumie¢ równo±¢ (tzn. jaki jest charakter zbie»no±ci szeregu)?
Teoria szeregów Fouriera odpowiada na te pytania, chocia» oczywi±cie nie omówimy tutaj caªej tej
teroii.
Zacznijmy od okre±lenia wzorów na wspóªczynniki szeregu. Je±li funkcja 2 -okresowa f jest sum¡
jednostajnie zbie»nego szeregu
f (x) =
1
a0 X
+
(an cos nx + bn sin nx),
2 n=1
(12)
to mno»¡c obie strony przez sin mx i caªkuj¡c wyraz po wyrazie, dostaniemy
Z 1 Z
X
a Z
f (x) sin mx dx =
0
2
sin mx dx +
n=1
= bm
Z (an cos nx sin mx + bn sin nx sin mx) dx =
sin2 mx dx = bm .
Wspóªczynnik am znajdziemy, bior¡c cos mx zamiast sin mx i powtarzaj¡c caªy zabieg. Ostatecznie
wi¦c
am =
1
Z f (x) cos mx dx, bm =
1
Z f (x) sin mx dx.
Zauwa»my jeszcze, »e gdy funkcj¦ okre±lon¡ na przedziale [0, ] przedªu»ymy do 2 -okresowej funkcji
nieparzystej, to dostaniemy am
0 i po prawej stronie równo±ci (12) pojawi¡ sie same sinusy.
Wyprowadzone przed chwil¡ wzory na wspóªczynnki am i bm maj¡ sens, gdy f jest po prostu funkcj¡
3.3 Kilka sªów o szeregach Fouriera i wzory na wspóªczynniki
17
caªkowaln¡. Rozwa»my wi¦c przestrze« L1 funkcji caªkowalnych na odcinku [ , ] wzgl¦dem miary
Lebesque'a. Jest to przestrze« Banacha z norm¡
jjf jjL
1
=
2
1
Z jf (x)j dx
(funkcje równe poza zbiorem miary zero uto»samiamy).
Denicja 3.1.
Szeregiem Fouriera funkcji f
2 L1 nazywamy szereg postaci
X
n
gdzie
2Z
fˆ(n) exp(inx),
1
fˆ(n) cn :=
2
Z f (x) exp( inx) dx
jest n-tym wspóªczynnikiem Fouriera.
Šatwo sprawdzi¢, »e dla dodatnich n mamy
1
cn = (an
2
ibn ), c
1
a0
= (an + ibn ), c0 = .
2
2
n
Niestety, w przestrzeni L1 równo±¢ (12) na ogóª nie zachodzi, tzn. szereg Fouriera funkcji f nie musi
zbiega¢ do tej funkcji. Sytuacja wygl¡da nieco lepiej, gdy f
2 L2, tzn. f
jest funkcj¡ caªkowaln¡
z kwadratem na odcinku [ , ]. Przestrze« takich funkcji jest przestrzeni¡ Hilberta z iloczynem
skalarnym
i wyznaczon¡ przeze« norm¡ jjf jj
hf , g i := 21
jjf jjL
Z f (x)g (x) dx
= hf , f i 2 . Wtedy funkcje en (x) = exp(inx) dla n =
1
2
0, 1, 2, ... tworz¡ w L2 ukªad ortonormalny, tzn. hen , em i =
ukªad zupeªny, tzn. dla dowolnej fukcji f
2 L2 mamy
f =
X
n
2Z
nm dla n, m
2 Z. Jest to ponadto
hf , en i en .
Wyra»enie po prawej stronie to szreg Fouriera funkcji f , zapisany w nowych oznaczeniach. Równo±¢
oznacza, »e szereg jest zbie»ny do f w topologii przestrzeni L2 . Zatem nie ma »adnej gwarancji, »e
suma takiego szeregu jest funkcj¡ ci¡gª¡. Wiemy nawet (s¡ przykªady), »e szereg Fouriera funkcji
BIBLIOGRAFIA
18
ci¡gªej mo»e by¢ rozbie»ny w nieprzeliczalnie wielu punktach, tworz¡cych g¦sty podzbiór odcinka
[
, ]. W dodatku jest tak dla wi¦kszo±ci funkcji ci¡gªych. Zatem zbie»no±¢ w sensie L2 to za maªo.
Ale zbie»no±¢ jednostajna ju» wystarcza.
Twierdzenie 3.1. (Kryterium Weierstrassa zbie»no±ci jednostajnej)
Je»eli dla dowolnego n 2 N mamy supt jxn (t)j = Mn i szereg liczbowy
P
n
P
n
Mn jest zbie»ny, to szereg
xn (t) jest jednostajnie zbie»ny.
A poniewa» suma jednostajnie zbie»nego szeregu funkcji ci¡gªych jest funkcj¡ ci¡gª¡, to nasza funkcja
f mo»e by¢ ci¡gªa. Je±li teraz zgawarantujemy sobie jednostajn¡ zbie»no±¢ szeregu pochodnych, to
f b¦dzie ró»niczkowalna i jej pochodna b¦dzie równa sumie szeregu pochodnych. Ale nasze wspóª-
czynnki am i bm mo»na odpowiednio oszacowa¢, co wynika z nast¦puj¡cego twierdzenia:
Twierdzenie 3.2.
Je±li funkcja f jest 2 -okresowa i klasy C p , to wspóªczynniki szregu Fouriera wzgl¦dem ukªadu
trygonometrycznego sin nt, cos nt, 1 mo»na oszacowa¢ przez
const
.
np
Wi¦cej wiadomo±ci na temat metody Fouriera rozdzielania zmiennych i informacji dotycz¡cych szeregów Fouriera mo»na znale¹¢ w [15], [14] (i oczywi±cie w podr¦cznikach z analizy funkcjonalnej szeregi Fouriera).
Bibliograa
[1] W. I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, PWN, Warszawa 1981.
[2] W. I. Arnold, Równania ró»niczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 1975.
[3] W. I. Arnold, Teoria równa« ró»niczkowych, PWN, Warszawa 1983.
[4] A. W. Bicadze, Równania zyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984.
[5] A. W. Bicadze, D. F. Kaliniczenko, Zbiór zada« z równa« zyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984.
BIBLIOGRAFIA
19
[6] Birkholc A. Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa 2002.
[7] D. Bleecker, G. Csordas, Basic Partial Dierential Equations, Chapman & Hall, Oxford 1995.
[8] L. Ewans, Równania ró»niczkowe cza,stkowe, PWN, Warszawa 2002.
[9] Fichtenholz G.M. Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, PWN, Warszawa 1980.
[10] J. D. Logan, Applied Partial Dierential Equations, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New
York 1998.
[11] H. Marcinkowska, Wste, p do teorii równa« ró»niczkowych cza,stkowych, PWN, Warszawa 1972.
[12] J. Musielak, Wste, p do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.
[13] Ockendon J., Howison S., Lacey A., Movxhan A., Applied Partial Dierential Equations, Oxford
University Press, 2003.
[14] J. Ombach, Wykªady z równa« ró»niczkowych wspomagane komputerowo -Maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiello«skiego, Kraków 1999.
[15] B. Przeradzki, Równania ró»niczkowe cza,stkowe. Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Uniwersytetu Šódzkiego, Šód¹ 2000.
[16] B. Przeradzki, Teoria i praktyka równa« ró»niczkowych zwyczajnych, Wydawnictwo Uniwersytetu Šódzkiego, Šód¹ 2003.
[17] M. M. Smirnow, Zadania z równa« ró»niczkowych cza,stkowych, PWN, Warszawa 1970.
[18] P. Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równa« ró»niczkowych cza,stkowych, Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa 2007.
[19] B. W. Szabat, Wst¦p do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974.
[20] Zauderer, Partial Dierential Equations of Applied Mathslathics, John Wiley & Sons,
Singapore-New York-Chichester-Brisbane-Toronto 1989.