Zapisz jako PDF

Własności
Odległości i normy w
Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na
(iloczyn kartezja/nski
egzemplarzy ).
Punkt
należący do
będziemy oznaczać jako
Przykł.
Wysokość terenu n.p.m. jako funkcja długości i szerokości geograficznej.
Przykł.
Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Odległość
Początkiem do badania
i funkcji na niej jest zdefiniowanie odległości. Przypomnijmy sobie, jak
definiowaliśmy odległość w
. Jest ona wyznaczana z tw. Pitagorasa: RYS.: Dla dwóch punktów
i
odległość
pomiędzy nii jest
Analogicznie postępujemy w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów: Jeśli
odległość
między nimi definiujemy jako
Definicja
Inne oznaczenie
w
to
, tzn.
, to
Definicja
Jeśli mamy punkt
odległość punktu
, to na
możemy patrzeć jako na
od zera:
Tak zdefiniowana norma ma ważne własności, które teraz wypiszemy.
Własności normy
1.
i ogólniej,
, gdzie
.
2.
ta nierówność nazywana jest nierównością trójkąta.
Dowód p.2
Nierówność trójkąta wynika z nierówności Schwarza: Dla dowolnych
zachodzi
Dowód
Rozpatrzmy następującą funkcję zmiennej rzeczywistej :
jest trójmianem kwadratowym w . Ponadto
Skoro trójmian
jest nieujemny, to jego wyróżnik
co możemy przepisać jako
, ponieważ
jest pełnym kwadratem.
musi być niedodatni. Policzmy ten wyróżnik:
Po wyciągnięciu pierwiastka kwadratowego z obu stron nierówności i skorzystaniu z definicji normy
(%i 2) otrzymujemy nierówność (%i 4). CBDO Dow. nierówności trójkąta (%i 3). Policzmy:
z czego trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek, aby otrzymać (%i 3).
CBDO
Uwaga
Czy w nierówności Schwarza może wystąpić równość? TAK — jeśli jest proporcjonalne do (tzn.
dla pewnego
; wtedy
, a to znaczy (p. równ (%i 5)) że w nier. Schwarza ma
miejsce równość.
Podsumujmy własności odległości, definiowanej przez (%i 1): Dla dowolnych punktów
zachodzi:
1.
, przy czym
2.
.
.
(jest to tzw. nierówność trójkąta). RYS.
3.
Okazuje się, że odległość euklidesowa nie jest jedyną funkcją od dwu argumentów, spełniającą
powyższe warunki. Na przestrzeni
można wprowadzić wiele innych funkcji, zależnych od dwu
argumentów, które spełniają powyższe warunki i które w związku z tym można też nazwać
odległościami. Prowadzi to do pojęcia przestrzeni metrycznej:
Przestrzeń metryczna
Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór punktów z funkcją dwóch zmiennych
lub odległością), których odległość spełnia powyższe własności 1., 2. i 3.
Przykł.
Wprowadźmy na
następującą metrykę:
(zwaną metryką
łatwo sprawdzić, że
spełnia powyższe własności 1., 2. i 3.; pierwsze dwie są oczywiste, a
trzecia wynika z nierówności dla wartości bezwzględnej:
.
Ciągi punktów z
Oznaczmy przez
ciąg punktów z
:
, tzn.
.
Zbieżność
Mówimy, że ciąg
punktów z
jest zbieżny do
, jeśli
Uwaga
(%i 7) oznacza, że ciąg (o wartościach rzeczywistych!):
dąży do zera dla
dążącego do
:
Jeśli warunek (%i 7) jest spełniony, to piszemy też:
Podobnie jak w przypadku ciągów o wartościach rzeczywistych, mamy twierdzenie o jednoznaczności
granicy.
Twierdzenie
Jeśli
Dowód
Mamy:
i
, to
.
co znaczy, że
, a więc
.
CBDO Badanie zbieżności ciągów o wartościach w
w . Mówi o tym nast/epujące
jest równoważne badaniu zbieżności ciągów
Stwierdzenie
Niech
będzie ciągiem punktów przestrzeni
; niech
. Wtedy
dla wszystkich
Dowód
i ponieważ każde z wyraże/n pod pierwiastkiem dąży do zera:
do zera, a to znaczy, że
Mamy:
co daje:
, to ich suma też dąży
.
. Wybierzmy którąś
tą składową i mamy z nierówności trójkąta:
i z tw. o 3 ciągach, jeżeli
.
, to także
, a to znaczy, że
dla
CBDO
Ograniczoność
Def. Niech
. Mówimy, że
jest ograniczony, jeśli istnieje taka liczba
(tzn. odległości wszystkich punktów zbioru
Niech
i
od zera są nie większe od liczby
, że
).
.
Kula otwarta
Kulą (otwartą)
o środku w i promieniu
odległość od jest nie większa od : RYS.
nazywamy zbiór tych punktów
, że ich
Uwaga
Własność ograniczoności zbioru można równoważnie tak wypowiedzieć: Zbiór
jeśli zawiera się w pewnej kuli (o pewnym środku i pewnym promieniu).
jest ograniczony,
Twierzednie Bolzano-Weierstrassa
Każdy ograniczony ciąg punktów
posiada podciąg zbieżny.
Dowód
Niech
.
Jeśli ciąg
— ograniczony, to wszystkie ciągi
( — numer składowej, tzn.
— numer elementu ciągu, tzn.
) są ograniczone. Wynika to z nierówności
pokazywanej wyżej:
dla dowolnego
;
.
Po zastosowaniu tw. Bolzano-Weierstrassa do ciągu
otrzymamy podciąg
ciągu
taki, że ciąg pierwszych współrzędnych jest zbieżny. Stosujemy teraz tw. Bolzano-Weierstrassa do
ciągu
i otrzymujemy podciąg ciągu
, którego pierwsza i druga składowa są zbieżne. Itd.,
operację powtarzamy
razy, aż otrzymamy zbieżność we wszystkich składowych.
CBDO
Ciąg Cauchy'ego
Niech
— ciąg punktów z
. Mówimy, że ciąg
jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli
Twiedzenie
W przestrzeni
ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego.
Dowód
: Załóżmy, że
. Z definicji ciągu zbieżnego (powtórzonej tu 2 razy):
Z nierówności trójkąta (Equation 3) mamy:
czyli otrzymujemy (%i 10), a więc
: Załóżmy teraz, że
jest ciągiem Cauchy'ego.
jest ciągiem Cauchy'ego. Wtedy
a że
dla
to każdy z ciągów
jest ciągiem Cauchy'ego. A jak wiemy, jeżeli ciąg rzeczywisty jest ciągiem
Cauchy'ego, to jest zbieżny. Zatem każdy z ciągów
jest zbieżny.
jest zbieżny; a to znaczy, że też i ciąg
CBDO
Zbiory otwarte i domknięte
Przestrze/n
, którą rozpatrujemy, ma naturalną strukturę przestrzeni wektorowej. Ich własności
były/będą omawiane na części 'algebraicznej' wykładu; tu przypomnijmy najważniejsze fakty:
Przestrzeń wektorowa
Przestrzeni
nadajemy strukturę przestrzeni wektorowej nad ciałem liczb rzeczywistych (i
oznaczamy (
przez liczbę:
)), jeśli zdefiniujemy w niej działania dodawania wektorów i mnożenia wektora
Dla dowolnych
,
zachodzi:
1.
;
2.
Zbiory domknięte
Zbiór domknięty — definicja
Def. Niech
elementów z
tzn.:
. Zbiór nazywamy domkniętym, jeśli dla dowolnego zbieżnego ciągu
jego granica też należy do ;
— domknięty
Przykł. zbiorów domkniętych
1.
.
2. Zbiór jednoelementowy.
3. Zbiór sko/nczony.
4. W szczególności — zbiór pusty.
5. Niech
— ciąg o wyrazach z
zbiorem domkniętym.
,
. Wtedy zbiór
jest
Przykł.
Odcinek
nie jest domknięty, bo wszystkie elementy ciągu
należy do
.
należą do
, a granica
nie
Domknięcie zbioru
Niech
. Domknięciem zbioru
Istnieje ciąg
(ozn.
) nazywamy zbiór:
o wyrazach z
t. że
Przykł.
Domykanie z lewej strony odcinka
1.
2. Jeśli
3.
.
— domknięty to
. Stwierdzenia.
.
jest zbiorem domkniętym oraz
.
4. Jeśli ciąg
dąży do granicy :
i każdy jego wyraz
jest granicą ciągu
elementów zbioru , to też jest granicą ciągu elementów ze zbioru .
Dowód
Punkt
jest granicą ciągu elementów ze zbioru
; nazwijmy ten ciąg
. Mamy
a więc
Weźmy teraz
i odpowiednio do tego
tak, by zachodziło
. Zachodzi:
prawa strona dąży do zera gdy
( wiadomo, zaś
, a to znaczy, że
z założenia). Zatem również
.
CBDO
Mamy następującą charakteryzację domknięcia.
Stw.
(tzn. do domknięcia należą te punkty , że przecięcie kuli o środku w
ze zbiorem jest niepuste). (RYS.)
i dowolnie małym promieniu
Dowód
Oznaczmy prawą stronę równości przez
. To znaczy, że
, to biorąc
oraz że
Pokazaliśmy w ten sposób, że
Z drugiej strony, jeśli
. Jeżeli
znajdziemy
, czyli
.
.
, to w dowolnie małej kuli
o środku w
zawarte są prawie
wszystkie elementy ciągu
o wyrazach z i granicy . Spełniony jest więc warunek, że
przecięcie tej kuli z jest zbiorem niepustym, czyli że
. Tak więc
, czyli
.
Oba te warunki znaczą, że
.
CBDO
Zbiory otwarte
Pukt wewnętrzny i otoczenie
Def. Niech
oraz
. Mówimy, że
otoczeniem punktu ) jeśli istnieje
jest punktem wewnętrznym zbioru
takie, że
.
(lub, że
jest
Zbiór otwarty
Zbiór nazywamy zbiorem otwartym, jeśli każdy element tego zbioru jest jego punktem
wewnętrznym.
Przykł.
zbiorów otwartych:
1.
są zbiorami otwartymi.
2.
) jest zbiorem otwartym. Dow. Chcemy pokazać, że (RYS.)
(
Bierzemy
co znaczy, że
. Dla dowolnego
mamy:
.
CBDO
Stwierdzenie
Jeśli
jest punktem wewnętrznym
wyrazy ciągu
i
jest granicą ciągu
:
, to prawie wszystkie
należą do O.
I na odwrót:
Stwierdzenie
Niech
i
. Przypuśćmy, że dla dowolnego ciągu
prawie wszystkie wyrazy
Wtedy
jest punktem wewnętrznym zbioru
.
elementów
zachodzi:
Dowód
(nie wprost).
Załóżmy, że
nie jest punktem wewnętrznym zbioru
Bierzemy
. Mamy:
. Skoro
, tzn.
. Zatem istnieje taki ciąg
należy do kuli
, to odległość między
a
, że
oraz
jest mniejsza niż promie/n
kuli:.
a to znaczy, że ciąg
jest zbieżny do :
.
W ten sposób otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem (znaleźliśmy bowiem ciąg
dążący do ,
którego wyrazy nie należą do ), więc nieprawdziwe jest zaprzeczenie tezy, czyli prawdziwa jest
teza mówiąca, iż jest punktem wewnętrznym .
CBDO
Uwaga
Otwartość i domkniętość nie są pojęciami przeciwstawnymi! Np. zbiór
domknięty.
jest zarówno otwarty jak i
Uwaga
Otwartość/domkniętość zbioru zależy też od tego, podzbiorem jakiego zbioru on jest. Np. jeśli
rozpatrujemy
jako podzbiór , to kulami otwartymi w są odcinki (otwarte) i jest
otwarty. Jeśli natomiast rozpatrujemy jako podzbiór
, to kulami otwartymi w
są koła (bez
brzegu) i nie jest już otwarty, bo żadne koło o niezerowym promieniu nie mieści się w .
Twierdzenie
Niech
i
. Wtedy ma miejsce równoważność
jest otwarty
jest domknięty
Dowód
Weźmy zbieżny
.
o wyrazach należących do
:
,
. Chcemy pokazać, że
Przypuśćmy, że przeciwnie:
. Wobec tego
(bo i są rozłączne, a ich suma to całe
). Z założenia jest zbiorem otwartym, więc jest punktem wewnętrznym i (p. poprzednie Stw.)
prawie wszystkie wyrazy ciągu
Niech
należą do
. Skoro tak to
to znaczy, że
, więc
, więc nie należą do
, a więc istnieje kula
jest punktem wewnętrznym
. Otrzymaliśmy sprzeczność.
taka, że
, czyli
,a
jest otwarty.
CBDO
Wniosek
Niech
warunków:
1.
2.
,
i
. Wtedy zachodzi jeden i tylko jeden z wykluczających się
jest punktem wewnętrznym zbioru
.
.
Dowód
Trzeba pokazać, że nieprawdą jest równoważność obydwu powyższych warunków, tzn: Nieprawda,
że
Pokażemy najsampierw że z zaprzeczenia 1. wynika 2.
Zaprzeczenie zdania: " jest punktem wewnętrznym
", czyli: "
" to jest to samo, co zaprzeczenie zdania: "
". To zaś jest równoważne zdaniu: "
", a to znaczy, że
jest punktem domknięcia zbioru
, tzn.
To teraz że z zaprzeczenia 2. wynika 1.
Skoro
nie należy do domknięcia
, tzn.
, to
jest punktem wewnętrznym
CBDO
Twierdzenie
1.
i
oraz że
są zbiorami otwartymi.
.
, a to znaczy, że
2. Jeśli
( — dowolny zbiór wskaźników) jest rodziną zbiorów otwartych, to
jest zbiorem otwartym.
3. Jeżeli
są otwarte, to
jest otwarty.
też
Dow
1. Było
2. Niech
. Istnieje więc
takie, że
istnieje kula o niezerowym promieniu, zawarta w
czyli
3. Niech
Bierzemy
jest zbiorem otwartym.
, tzn.
i
. Ponieważ
— otwarty, więc
:
. Tak więc
i wtedy mamy
zatem
, czyli
jest zbiorem otwartym. Uwaga. Przez indukcję
dowodzi się, że powyższa własność zachodzi dla dowolnej sko/nczonej ilości zbiorów: Dla
dowolnego
, jeśli
są otwarte, to również
jest otwarty.
Własność ta nie jest prawdziwa dla rodzin niesko/nczonych: Weźmy np. rodzinę zbiorów
otwartych
CBDO
; mamy:
, co nie jest zbiorem otwartym.
Stwierdzenie — uwaga
Każdy zbiór otwarty
jest sumą pewnej rodziny zbiorów otwartych.
Dowód
Niech
; wobec tego
Mamy następujące zawierania:
, gdzie
jest pewną kulą o środku w punkcie , taką,że
.
. CBDO
skąd wynika, że
Niektóre dalsze własności zbiorów domkniętych.
Dopełnienie zbioru, przypomnienie własności dopełnienia
Zbiory domknięte mają własności, powiązane z powyższymi własnościami zbiorów otwartych:
1.
są zbiorami domkniętymi.
2. Jeśli
— zbiory domknięte, to
też jest zbiorem domkniętym. Z indukcji, zachodzi
to też dla dowolnej sko/nczonej sumy mnogościowej: Jeśli
są zbiorami
domkniętymi, to
też jest zbiorem domkniętym dla dowolnego .
3. Natomiast przecięcie dowolnej rodziny (sko/nczonej czy niesko/nczonej) zbiorów domkniętych
jest zbiorem domkniętym: Jeśli
,
jest rodziną zbiorów domkniętych, to również
też jest zbiorem domkniętym.
Dowód
1.
jest domknięty, bo
otwarty.
2. Jeśli
,
— domknięte, to
jest otwarty.
,
jest domknięty, bo
— otwarte; zatem (było)
jest
— otwarty, a że
, więc
— otwarty, a to znaczy że
— domknięty.
Uwaga: Własność ta nie jest słuszna dla sum niesko/nczonych: Jako przykład weźmy
. Każdy zbiór
domkniętym.
3. Jeśli
jest domknięty to
jest domknięty, a ich suma
nie jest zbiorem
jest otwarty. Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest
otwarta (własność 3. zb. otwartych), wobec tego:
Ale mamy:
dla dowolnych zbiorów
) i również:
jest otwarty.
i
,(
— dopełnienie
, tzn.
.
A mamy jeszcze dla dowolnych zbiorów
:
, zatem
.
Tak więc
jest otwarty, zatem
jest domknięty.
CBDO
Zbiory zwarte
Zbiór zwarty
Def. Niech
. Mówimy, że
jest zwarty, jeśli z dowolnego ciągu elementów zbioru
wybrać podciąg zbieżny do elementu zbioru .
można
Twierdzenie
Niech
. Wtedy:
jest zwarty
jest domknięty i ograniczony
Dowód
Na mocy twierdzenia Bolzano-Weierstrassa, z dowolnego ciągu ograniczonego można wybrać
podciąg zbieżny. Granica tego ciągu musi być w , bo
— domknięty.
Załóżmy, że
jest zwarty. Bierzemy ciąg elementów z
zbieżny do
. Granicą
dowolnego podciągu jest ten sam punkt . Zatem (z zał. i z definicji zb. zwartego)
. To
pokazuje, że
jest domknięty.
Przypuśćmy teraz, że zbiór
taki, że
może być zbieżny.
nie jest ograniczony. Wtedy istnieje ciąg
. Tak też jest dla dowolnego podciągu ciągu
elementów zbioru
. Ale taki podciąg nie
CBDO