Wykład 9 Definicja 1. Przestrzeń metryczna ( X, d) jest (ciągowo

Wykład 9
Definicja 1. Przestrzeń metryczna (X, d) jest (ciągowo) zwarta, gdy każdy ciąg (xn ) elementów X ma podciąg zbieżny.
Przykłady
1. Każda przestrzeń skończona jest zwarta.
2. Odcinek [0, 1] jest zwarty (lemat Bolzano-Weierstrassa) i ogólniej każdy odcinek na
R jest zwarty.
3. R nie jest zwarta
4. N nie jest zwarta w naturalnej metryce
Definicja 2. Zbiór K ⊂ X jest zwarty, gdy (K, d) jest przestrzenią zwartą.
Równoważnie, K jest zwarty, gdy każdy ciąg (xn ) elementów K ma podciąg zbieżny do
elementu K.
Stwierdzenie 1. Zwarty podzbiór dowolnej przestrzeni metrycznej jest domknięty.
Dowód. Niech (xn ) będzie ciągiem elementów zwartego zbioru K zbieżnym do pewnego
x ∈ X. Ten ciąg ma podciąg zbieżny w K, ale z jedyności granicy musi on być zbieżny do
x, czyli x ∈ K.
Stwierdzenie 2. Domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.
Dowód. Jeśli (xn ) jest ciągiem w K, to ma podciąg zbieżny w X. Ale z domkniętości K
jego granica należy do K.
Stwierdzenie 3. Każdy zbiór zwarty jest ograniczony.
Dowód. Przypuśćmy, że A nie jest ograniczony. Skonstruujemy ciąg (xn ) elementów A,
który nie ma podciągu zbieżnego.
Wybierzmy dowolny x1 ∈ A. Kula K(x1 , 1) nie zawiera całego A, więc istnieje x2 ∈
A \ K(x1 , 1). Suma K(x1 , 1) ∪ K(x2 , 1) nie zawiera całego A, bo mielibyśmy diam(A) ¬
d(x1 , x2 ) + 2. Zatem znajdujemy x3 ∈ A \ (K(x1 , 1) ∪ K(x2 , 1)). Mamy d(xi , xj ) ­ 1
dla i, j = 1, 2, 3, i 6= j. Indukcyjnie mając x1 , x2 , ..., xn rozmieszczone w odległościach
S
przynajmniej 1, znajdujemy xn+1 ∈ A \ ni=1 K(xi , 1). W ten sposób znajdujemy ciąg taki,
że d(xi , xj ) ­ 1 dla i, j ∈ N, i 6= j. Ten ciąg nie ma podciągu zbieżnego, bo żaden podciąg
nie spełnia warunku Cauchy’ego.
Stwierdzenie 4. Produkt dwóch zbiorów/przestrzeni zwartych jest zwarty.
Dowód. Standardowe metryki dają równoważność: (xn , yn ) jest zbieżny do (x, y) wtedy i
tylko wtedy, gdy xn → x i yn → y. Zatem jeśli (xn ) ma podciąg zbieżny xnk i (ynk ) ma
podciąg zbieżny (ynkl ), to (xnkl ynkl ) jest podciągiem zbieżnym ciągu (xn , yn ).
Wniosek 1. Produkt skończenie wielu zbiorów/przestrzeni zwartych jest zwarty.
Wniosek 2. [a1 , b1 ] × ... × [an , bn ] jest zwarty w Rn .
1
Twierdzenie 1. Zbiór K ⊂ Rn jest zwarty w metryce euklidesowej wtedy i tylko wtedy,
gdy jest domknięty i ograniczony.
Dowód. Wiemy już, że zbiór zwarty jest zawsze domknięty o ograniczony.
Niech K ⊂ Rn będzie ograniczony. Wtedy K zawiera się w pewnej kuli K(0, r) ⊂
[−r, r]×...×[−r, r]. Ponieważ ten produkt jest zwarty, a domknięty podzbiór zbioru zwartego
jest zwarty, mamy tezę.
Uwaga. Domkniętość i ograniczoność nie gwarantuje zwartości w dowolnych przestrzeniach! Przykład: X = (0, 1) jest ograniczona i domknięta w sobie, ale nie jest zwarta, bo
1
n nie ma podciągu zbieznego.
Twierdzenie 2. Każda przestrzeń zwarta jest zupełna.
(Ale nie na odwrót, np.R)
Dowód. Niech (xn ) będzie ciągiem Cauchy’ego. Ze zwartości, (xn ) ma podciąg zbieżny. Ale
ciąg Cauchy’ego mający podciąg zbieżny sam jest zbieżny.
Definicja 3.
1. Przestrzeń X jest całkowicie ograniczona, gdy dla każdego > 0 istnieje
S
skończona rodzina kul {K(xi , ) : i = 1, ..., n} taka, że X ⊂ ni=1 K(xi , ).
2. Zbiór F ⊂ X nazywamy -siecią, gdy dla każdego x ∈ X istnieje y ∈ F taki, że
d(x, y) < .
Stwierdzenie 5. Przestrzeń metryczna X jest całkowicie ograniczona wtedy i tylko wtedy,
gdy zawiera skończoną -sieć.
Dowód. (⇐) Prosty rachunek
(⇒) Środki kul tworzą skończoną -sieć.
Uwaga. Przestrzeń całkowicie ograniczona jest ograniczona, bo jej średnica jest mniejsza
S
niż n, gdy X ⊂ ni=1 K(xi , ). Ale odwrotnej implikacji nie ma, bo np. odcinek [0, 1] z
metryką dyskretną jest ograniczony, ale nie całkowicie ograniczony.
Stwierdzenie 6. Przestrzeń całkowicie ograniczona jest ośrodkowa.
Dowód. Dla każdego n znajdujemy
1
n -sieć
Fn . Zbiór
S∞
n=1 Fn
jest ośrodkiem.
Twierdzenie 3. Każda przestrzeń zwarta jest całkowicie ograniczona, więc ośrodkowa.
Dowód. Przypuśćmy, że X nie jest całkowicie ograniczona. Tzn. istnieje > 0 taki, że
każda -sieć jest nieskończona. Wybieramy x1 . {x1 } nie jest -siecią, więc istnieje punkt x2
taki, że d(x1 , x2 ) ­ . Niech {x1 , ..., xn } będzie zbiorem punktów, w którym każda para
różnych punktów spełnia d(xi , xj ) ­ . To nie jest -sieć więc możemy wybrać xn+1 odległy
od każdego elementu o przynajmniej . Znów wybieramy indukcyjnie ciąg, który nie ma
podciągu zbieżnego.
Uwaga. Odwrotna implikacja nie zachodzi. (0, 1) jest całkowicie ograniczony, ale nie jest
zwarty.
Twierdzenie 4. Przestrzeń metryczna X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupełna
i całkowicie ograniczona.
2
Dowód. Wiemy już, że zwartość implikuje dwie pozostałe własności.
Na odwrót, weźmy dowolny ciąg (xn ). Wybieram podciąg Cauchy’ego w następujący
sposób:
1. w skończonym pokryciu kulami o promieniu 1 wybieramy kulę E1 , w której jest nieskończenie wiele elementów xn i wybieramy xn1
2. w skończonym pokryciu kulami o promieniu 12 wybieramy E2 taką, że E2 ∩ E1 zawiera
nieskończenie wiele elementów xn i wybieramy xn2 ∈ E1 ∩ E2
3. w skończonym pokryciu kulami o promieniu 31 wybieramy E3 taką, że E3 ∩ E2 ∩ E1
zawiera nieskończenie wiele elementów xn itd
Ciąg (xnk ) jest Cauchyego, bo ogon xnk należy do kuli Ek o promieniu
przestrzeni, ten podciąg jest zbieżny.
3
1
k.
Z zupełności