Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Wydział Matematyki i Informatyki
http://www.mat.umk.pl/rkm/
Lista rozwiązań zadań nr 5, grupa zaawansowana (7.11.2009)
Gry matematyczne
1. Na polu A1 szachownicy 8 × 8 stoi król. W każdym ruchu można przesunąć
króla o jedno pole do góry, o jedno pole w prawo, lub o jedno pole po przekątnej – w prawo i do góry. Wygrywa ten z graczy, który doprowadzi króla
na pozycję H8. Dla którego z graczy (rozpoczynającego, czy jego przeciwnika)
istnieje strategia wygrywająca i jaka to strategia?
Rozwiązanie. Będziemy zaznaczać na szachownicy kolejne pola:
• jeżeli prowadzą do wygranej - znakiem +,
• jeżeli prowadzą do przegranej - znakiem -.
Na początek postawmy + na miejscu H8, gdyż postawienie króla na tym polu
oznacza naszą wygraną.
Oczywiście stawiając króla na jednym z pól: H7, G8, G7 przegrywamy, gdyż z
istnieje z nich ruch na wygrywające pole H8. Oznaczamy więc te pola znakami
-.
8
7
6
5
4
3
2
1
.
-
+
-
A B C D E F G H
Z pola F 8 można iść tylko na pole G8, które ma znak -. Zatem jeżeli postawiliśmy króla na F 8, to mamy wygraną. Postawmy więc na tym polu znak +. To
1
samo możemy zrobić dla
8
+ 7
6
5
4
3
2
1
. A B C D E F G
pola H6, więc na nim też stawiamy +.
+
+
H
Wszystkie pola, z których można dojść na pole ze znakiem + prowadzą do
przegranej. Takimi polami są E8, E7, F 7, G6, G5, H5. Stawiamy na nich znaki
-.
8
7
6
5
4
3
2
1
.
-
+ - -
+
+
-
A B C D E F G H
Z pól D8, F 6, H4 możemy przejść do pól ze znakiem -. Jeżeli więc staniemy
na tych polach, to jesteśmy w stanie wygrać. Stawiamy na tych polach znaki +.
8
7
6
5
4
3
2
1
.
+ -
+ - + -
+
+
+
A B C D E F G H
Jak poprzednio stwierdzamy, że wszystkie pola, z których można dojść do pól
ze znakiem +, prowadzą do przegranej. Zaznaczamy więc znaki - na polach
C8, C7, D7, E6, E5, F 5, G4, G3, H3.
2
8
7
6
5
4
3
2
1
.
-
+ - -
+
+
-
-
+
+
+
-
A B C D E F G H
Wynika z tego, że na polach B8, D6, F 4, H2 możemy postawić znak +.
8
7
6
5
4
3
2
1
.
+ -
+ - + -
+
+
+
-
+
+
+
+
A B C D E F G H
Zatem na polach A8, A7, C6, C5, D5, E4, E3, F 3, G2, G1, H1 stawiamy znaki -.
8 7 6
5
4
3
2
1
.
+ - -
+
+
-
-
+
+
+
-
A B C D E F
+
+
+
+
G H
Czyli na polach B6, D4, F 2 możemy postawić +.
8 7 6
5
4
3
2
1
.
+ - + -
+
+
+
-
+
+
+
+
A B C D E F
+
+
+
+
G H
3
I analogicznie jak poprzednio, na polach A6, A5, B5, C4, C3, D4, E2, E1, F 1 stawiamy znaki -.
8
7
6
5
4
3
2
1
-
.
+
+
-
-
+
+
+
-
A B C D
+
+
+
+
E
F
+
+
+
+
G H
Stawiamy teraz znaki + na polach B4, D2, zaś znaki - na polach A4, A3, B3, C2, C1, D1.
8
7
6
5
4
3
2
1
-
.
+
+
+
-
- +
- - +
- - +
- - +
- A B C
D
+
+
+
+
E
F
+
+
+
+
G H
Pozostaje nam jeszcze postawić znak + na polu B2 i znaki - na polach A2, A1, B1.
Mamy więc opisaną całą szachownicę.
8
7
6
5
4
3
2
1
.
-
+
+
+
+
A
- +
- - +
- - +
- - +
- B C
D
+
+
+
+
E
F
+
+
+
+
G H
Ponieważ na polu A1 stoi znak -, to dla gracza rozpoczynającego istnieje strategia wygrywająca. Wystarczy, aby w swoim pierwszym ruchu przesunął on
króla na pole B2. Wtedy przeciwnik musi wybrać jakieś pole ze znakiem -, a
strategia wygrywająca dla gracza rozpoczynającego polega na przesuwaniu w
każdym ruchu króla na pole ze znakiem +.
2. Do pudełka włożono 105 żetonów. W każdym ruchu gracz może wziąć z niego
√
nie więcej niż n żetonów, gdzie n jest liczbą żetonów, które są w tym momencie w pudełku, ale musi jednak wziąć co najmniej 1 żeton. Wygrywa ten,
4
który opróżni pudełko. Dla którego z graczy istnieje strategia wygrywająca i
jaka to strategia?
Rozwiązanie. Łatwo zauważyć, że jeżeli zostanie tylko jeden żeton, to gracz,
który wykonuje następny ruch wygrywa. Jeśli zatem zostaną dokładnie dwa
żetony, to ponieważ można zabrać tylko jeden z nich, trzeba doprowadzić do
sytuacji, gdzie zostaje 1. Wobec tego, jeżeli zostaną 2, gracz przegrywa. Jeśli
zostaną 3 żetony, to biorąc jeden doprowadzamy do sytuacji, kiedy zostają 2.
Jest to zatem sytuacja wygrywająca. Jeżeli zostaną 4, to możemy wziąć dwa
z nich, doprowadzając do sytuacji przegrywającej z dwoma żetonami. Wobec
tego to również jest sytuacja wygrywająca. Oznaczmy indeksami W liczby wygrywające, a indeksami P liczby przegrywające. Mamy więc:
1W , 2P , 3W , 4W .
Postępując dalej w ten sposób widzimy, że przy pięciu żetonach mamy sytuację
przegrywającą, bo można wziąć z nich 1 lub 2 żetony, a więc doprowadzimy
do jednej z sytuacji wygrywających - 3W lub 4W . Stąd przy sześciu lub siedmiu
żetonach mamy sytuację wygrywającą, jest więc:
5P , 6W , 7W .
Analizując dalej zadanie w opisany powyżej sposób otrzymujemy następujący
ciąg:
8P , 9W , 10W , 11W , 12P , 13W , 14W , 15W , 16W , 17P , 18W , 19W , 20W , 21W . . .
Łatwo teraz wykryć prawidłowość z jaką pojawiają się liczby przegrywające.
Mianowicie, kolejnymi liczbami przegrywającymi będą:
22, 28, 34, 41, 48, 56, 65, 74, 84, 94, 105, . . .
Ponieważ 105 jest liczbą przegrywającą, widzimy, że strategia wygrywająca istnieje dla drugiego gracza. Mianowicie, po każdym kolejnym ruchu pierwszego
gracza musi on sprowadzić liczbę pozostałych żetonów do kolejnej liczby przegrywającej - 94, 84, itd. aż doprowadzi do liczby 2. Wtedy w ostatnim ruchu
rozpoczynający bierze jeden żeton, a drugi gracz ostatni pozostały żeton, kończąc grę i wygrywając.
3. Na stole leży 25 patyczków. Dwie osoby, na przemian, biorą 1, 2 lub 3 patyczki,
tak długo, aż wszystkie zostaną zabrane ze stołu. Dla którego z graczy istnieje
strategia wygrywająca i jaka to strategia?
Rozwiązanie. Strategię wygrywającą ma ten gracz, który w przedostatnim
ruchu może zostawić 4 patyczki. Przeciwnik zostawia wówczas co najmniej 1,
ale co najwyżej 3 patyczki, więc nasz gracz bierze wszystkie patyczki i wygrywa.
Aby zapewnić sobie możliwość pozostawienia 4 patyczków, w poprzednim ruchu powinien zostawić 8 i postąpić tak: jeśli przeciwnik zabierze k patyczków,
to on zabiera 4 − k. Liczbami pozostawionymi we wcześniejszych ruchach powinny być kolejno: 12, 16, 20, 24. Widzimy, że pierwszy gracz ma strategię
wygrywającą i w pierwszym ruchu powinien zabrać jeden patyczek, a dalej
postępować w opisany sposób.
5
4. Na stole leżą trzy stosiki zapałek, w jednym 13, w drugim 15, a w trzecim
17 zapałek. W każdym ruchu gracz wybiera jeden stosik i dzieli go na dwa
mniejsze. Przegrywa ten, kto już nie jest w stanie wykonać żadnego ruchu.
Dla którego z graczy istnieje strategia zapewniająca wygraną?
Rozwiązanie. Zauważmy, że po każdym ruchu liczba stosików zwiększa się o
jeden. Na początku gry mamy 3 stosiki, na końcu 45. Niezależnie od sposobu
gry i strategii grających, gra skończy się dokładnie po 42 ruchach. Łatwo
policzyć, że ostatni, wygrywający ruch, wykona gracz który grał jako drugi.
Zatem niezależnie od sposobu gry, rozpoczynający przegra!
6