docs - Politechnika Wrocławska
download 
Reklamacja Transkrypt
s - Politechnika Wrocławska
Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Nr 64 Politechniki Wrocławskiej Nr 64 Studia i Materiały Nr 30 2010 silnik indukcyjny, sterowanie wektorowe, estymacja prędkości, obserwator ślizgowy, estymator typu MRAS Teresa ORŁOWSKA-KOWALSKA*, Mateusz DYBKOWSKI*, Grzegorz TARCHAŁA* ANALIZA WYBRANYCH STRUKTUR ESTYMACJI PRĘDKOŚCI KĄTOWEJ W NAPĘDACH Z SILNIKAMI INDUKCYJNYMI – CZĘŚĆ I – MODELE MATEMATYCZNE W artykule przedstawiono modele matematyczne wybranych struktur estymacji prędkości kątowej w bezczujnikowych układach napędowych z silnikami indukcyjnymi. Opisane zostały układy wykorzystujące technikę ruchu ślizgowego (ang. Sliding Mode Theory), układy typu MRAS (ang. Model Reference Adaptive System) oraz wybrane układy wykorzystujące pośrednie wyznaczanie prędkości wirnika na podstawie pulsacji poślizgu. 1. WSTĘP W nowoczesnych układach napędowych coraz częściej wykorzystywane są estymatory zmiennych stanu [5]. Dzięki ich zastosowaniu zwiększa się niezawodność napędów oraz dzięki rozwojowi układów mikroprocesorowych, zmniejsza się ich cena [5], przy jednoczesnym zachowaniu doskonałych właściwości dynamicznych. W automatyce napędu powszechnie wykorzystuje się estymatory strumienia wirnika i/lub stojana, parametrów silnika oraz coraz częściej prędkości kątowej [3, 5, 8]. Napędy, w których pomiar prędkości kątowej został zastąpiony przez estymatory, nazywane są układami bezczujnikowymi (ang. sensorless drives). W niniejszej pracy przedstawione zostaną teoretyczne podstawy różnych metod estymacji prędkości kątowej, spotykane ostatnio w literaturze, w tym oparte o techniki wykorzystujące model odniesienia MRAS [3, 6] (ang. Model Reference Adaptive System) i ruch ślizgowy SMO [7] (ang. Sliding Mode Observer). Przedstawione zostaną także metody wykorzystujące bezpośrednio zależność na pulsację poślizgu do _________ * Politechnika Wrocławska, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych, ul Smoluchowskiego 19, 50-372 Wrocław, [email protected], [email protected], [email protected] 152 wyznaczania prędkości kątowej napędu [1, 2, 5]. Opisane teoretyczne rozwiązania są podstawą do przeprowadzenia szczegółowej analizy symulacyjnej i eksperymentalnej wybranych algorytmów, której wyniki zostały przedstawione w drugiej części niniejszego artykułu [4]. 2. METODY ESTYMACJI PRĘDKOŚCI KĄTOWEJ W UKŁADACH NAPĘDOWYCH Z SILNIKAMI INDUKCYJNYMI Istnieje wiele różnych technik pozyskiwania informacji na temat strumienia i prędkości kątowej w napędach elektrycznych z silnikami indukcyjnymi. Ich dokładny podział został przedstawiony na rys. 1 [6]. Wszystkie opisywane rozwiązania (podkreślone na schemacie szarym kolorem tła) należą do grupy metod algorytmicznych, tj. wymagających znajomości modelu matematycznego silnika indukcyjnego. METODY ODTWARZANIA ZMIENNYCH STANU SILNIKA INDUKCYJNEGO METODY FIZYKALNE MODEL STOJANA METODY NEURONOWE OBSERWATORY ZMIENNYCH STANU SYMULATORY ZMIENNYCH STANU FILTR KALMANA MODEL WIRNIKA METODY ALGORYTMICZNE SFSO ESTYMATOR LORENZA UKŁADY TYPU MRAS OBSERWATOR NIELINIOWY OBSERWATOR LINIOWY F MRAS MRAS EMF MRASCC MRAS wykorzystujący błąd odtworzenia prądu stojana MRASCV OBSERWATOR ROZSZERZONY OBSERWATORY ŚLIZGOWE SMO NFOA Dual-mode Rys. 1. Podział metod odtwarzania zmiennych stanu SI Fig. 1. Classification of the induction motor state variables estimation methods Wśród metod, które znajdują szerokie zastosowanie w układach bezczujnikowych są metody wykorzystujące technikę MRAS [3] oraz ruch ślizgowy [7]. Układy symulatorów opartych bezpośrednio na modelu matematycznym obwodu uzwojenia wirnika i stojana, jak również estymator Lorenza [5], ze względu na dużą wrażliwość na zmia- 153 ny parametrów silnika oraz zmianę właściwości w zależności od wartości prędkości kątowej wirnika stosowane są tylko w układach napędowych o niewielkich wymaganiach odnośnie właściwości dynamicznych. Filtry Kalmana, ze względu na skomplikowaną postać modelu matematycznego i problemy ze strojeniem, są niezbyt często stosowane w napędach powszechnego użytku. Do analizy wybrano układy odtwarzające prędkość kątową silnika indukcyjnego, które są stosunkowo proste w realizacji praktycznej i nie stwarzają kłopotów na etapie projektowania. Przedstawiono ich modele matematyczne i wskazano na cechy, które mogą powodować pewne kłopoty w realizacji praktycznej. 3. OPIS WYBRANYCH ESTYMATORÓW PRĘDKOŚCI KĄTOWEJ 3.1. OGÓLNA POSTAĆ ESTYMATORÓW PRĘDKOŚCI W niniejszej pracy przeprowadzono analizę następujących estymatorów prędkości silnika indukcyjnego: układ oparty na modelu obwodu stojana – SFSO (ang. Stator Flux-based Speed Observer) zaproponowany w [1], dwa układy wykorzystujące do estymacji prędkości ruch ślizgowy, tj. SMO, zaproponowany przez V. Utkina w [7], oraz tzw. układ DM (ang. Dual-Mode) zaproponowany przez I. Boldeę [2]. Analizie poddany zostanie także estymator wykorzystujący technikę układów adaptacyjnych z modelem odniesienia, oparty na modelu prądowym obwodu stojana i wirnika silnika indukcyjnego – MRASCC [6]. Wszystkie analizowane układy wykorzystują bezpośrednio równania różniczkowe obwodów elektromagnetycznych silnika indukcyjnego, określane powszechnie jako napięciowy i prądowy model strumienia wirnika [5]. Układy wykorzystujące bezpośrednio wspomniane równania do estymacji zmiennych stanu nazywane są symulatorami zmiennych stanu. Model napięciowy strumienia wirnika można opisać za pomocą następującego równania, wyrażonego w wielkościach względnych (ang. per unit [p.u.]), w układzie współrzędnych zorientowanym względem stojana (α−β): TN d u xr ⎛ di ⎞ ψ̂ r = ⎜ u s − rs i s − xs σ s ⎟ dt xm ⎝ dt ⎠ (1) Model prądowy strumienia wirnika opisuje następujące równanie: TN ⎤ d i ⎡ rr ˆ r = ⎢ (xm i s − ψ ˆ ri ) + jωm ψ ˆ ri ⎥ ψ dt ⎦ ⎣ xr Natomiast model napięciowy strumienia stojana opisany jest równaniem: (2) 154 TN d ψˆ s = u s − rs i s dt (3) gdzie: ψ r = ψ rα + jψ rβ , ψ s = ψ sα + jψ sβ , u s = u sα + ju sβ , i s = isα + jisβ – wektory przestrzenne, odpowiednio strumienia wirnika i stojana oraz napięcia i prądu stojana, rs , xs , rr , xr , xm – parametry schematu zastępczego silnika indukcyjnego, odpowiednio rezystancje i reaktancje uzwojeń stojana i wirnika oraz reaktancja magnesująca, ωm – prędkość kątowa silnika, TN = 1 (2πf sN ), f sN = 50 Hz , σ = 1 − xm2 xs xr . Schematy blokowe obu modeli strumienia wirnika przedstawiono na rysunku 2. a) b) TN i sα σ xs 1/TN isα xr xm rs usα u sβ 1/TN isβ xr xm rs TN ψˆ ruα xm 1/TN rr xr ψˆ ri α ωm ψˆ ruβ isβ xm σ xs 1/TN rr xr ψˆ riβ Rys. 2. Schematy blokowe modeli strumienia wirnika: napięciowego (a) i prądowego (b) Fig. 2. Block diagrams of the rotor flux models: voltage model (a) and current model (b) Przedstawione modele matematyczne współtworzą wszystkie opisywane dalej estymatory prędkości, w sposób pokazany na rys. 3. ωm is us Estymacja prądu Sliding-mode ψ̂ r Symulator prądowy / napięciowy MRAS î s SFSO Mechanizm adaptacji − is Dual-mode Rys. 3. Schemat ideowy analizowanych estymatorów prędkości Fig. 3. Schematic diagram of the analysed speed estimators 155 Poszczególne rozwiązania różnią się wyborem symulatora do estymacji strumienia, sposobem estymacji prądu oraz przede wszystkim mechanizmem adaptacji w modelu odniesienia, którym w tym przypadku jest silnik indukcyjny (a dokładnie – mierzony prąd is płynący w uzwojeniach stojana). Niezbędna w układzie bezczujnikowym informacja o prędkości kątowej wyznaczana jest w przypadku opisywanych układów na trzy sposoby; 1. w układzie z estymatorami SFSO oraz DM – bezpośrednio ze wzoru na pulsację wirnika ωr [5]: ωˆ m = ωˆ s − ωˆ r ωˆ s = TN ⎛ d d ⎞ ψˆ ψˆ rβ −ψˆ rβ ψˆ rα ⎟ 2 ⎜ rα dt dt ˆ ⎠ ψr ⎝ ωˆ r = (4) xm rr (ψˆ rα isβ −ψˆ rβ isα ) 2 xr ψˆ r Metoda ta jest bardzo wrażliwa na zmiany lub błędną identyfikację parametrów schematu zastępczego silnika indukcyjnego [8]. Ponadto istnieje konieczność filtrowania estymowanej prędkości kątowej (wskutek wzmacniania szumów poprzez obliczanie pochodnych (4)), co wprowadza znaczne opóźnienia w bezczujnikowych układach sterowania. 2. w strukturze SMO – poprzez filtrację sygnału podlegającego tzw. chatteringowi (sygnał wysokoczęstotliwościowy), przestrajającego układ symulatora prądowego oraz układ estymacji prądu stojana. 3. w estymatorze MRASCC – przy wykorzystaniu sygnału ciągłego będącego wyjściem mechanizmu adaptacji (rys. 3) stanowi sygnał estymowanej predkości silnika. W tym przypadku nie jest konieczna filtracja. 3.2. ESTYMATOR SFSO Układ zaproponowany w [1], w niniejszej pracy nazywany SFSO, wykorzystuje bezpośrednio równanie symulatora strumienia stojana (3), wprowadzono do niego dodatkowy człon (ostatni składnik równania (5)) zapewniający zmniejszenie błędu estymacji prądu: TN ( d ψˆ s = u s − rs i s − k AB i s − ˆi s dt ) (5) gdzie wartość prądu stojana wynika ze związku algebraicznego pomiędzy strumieniami stojana i wirnika: is = ⎞ x 1 ⎛ ˆs− m ψ ˆ r ⎟⎟ ⎜⎜ ψ x sσ ⎝ xr ⎠ (6) 156 Po wprowadzeniu tej zależności do równania (5) w miejsce is uzyskuje się: TN r d ψˆ s = s dt x sσ ( ⎛ ⎞ x ⎜⎜ − ψˆ s + m ψˆ r ⎟⎟ + u s − k AB i s − ˆi s xr ⎝ ⎠ ) (7) Autor wprowadza tzw. wirtualny strumień wirnika, przedstawiony w sposób następujący [1]: TN a1 d (I) ψˆ r = a2 (u s − rs i s ) dt (8) gdzie związek pomiędzy strumieniem wirnika ψ̂ r , a tzw. wirtualnym strumieniem wirnika ψ̂ (I) r wynika bezpośrednio z równania (6) ψˆ r = ψˆ (I) r − is a1 (9) gdzie: a1 = xm x ; a2 = r ; wσ = σxs xr wσ wσ (10) Estymowana wartość prądu stojana w równaniu (5) uzyskiwana jest z zależności (6). Podstawową wadą tego układu są wzajemne bezpośrednie korelacje pomiędzy estymowanymi składowymi strumienia stojana i wirnika prowadzące do występowania pętli algebraicznych, które w skrajnym przypadku doprowadzić mogą do utraty numerycznej stabilności algorytmu. Ponadto, łatwo wykazać, że równania (8) i (3) są tożsame. Schemat ideowy tego estymatora, uwzględniający powyższe wzajemnie powiązane zależności pomiędzy strumieniami stojana, wirnika i prądem stojana, przedstawiony został na rys. 4. Prędkość silnika estymowana jest za pomocą wzorów (4) [1]. is us Napięciowy (8) Filtr kAB Symulator Napięciowy (7) ψ̂s − ˆi = s ˆs, ψ ˆ r) f (ψ Estymacja prędkości ψ̂r ˆr = ψ ˆ s , is ) f (ψ Symulator îs − ωˆ m = ωˆ s − ωˆ r ωˆm, f (s) ωˆm (s) is Rys. 4. Schemat estymatora prędkości SFSO [1] Fig. 4. Schematic diagram of the SFSO speed estimator [1] = 1 Tf s + 1 ω̂m, f 157 W przypadku, gdy w strukturze sterowania (np. DFOC) wymaga się informacji o aktualnym położeniu strumienia wirnika, układ ten stanowi zwykły symulator napięciowy (1), wraz ze wszystkimi jego wadami [5, 8]. 3.3. ESTYMATOR SMO Obserwator ślizgowy SMO [7] bazuje bezpośrednio na modelu matematycznym silnika indukcyjnego [5]. Dodatkowo w obserwatorze wprowadzone są sprzężenia zwrotne, poprawiające właściwości układu. Wartości składowych wektora strumienia wirnika estymowane są za pomocą modelu prądowego, ze wspomnianym dodatkowym sprzężeniem zwrotnym: TN ˆr x r dψ r ˆ r + m r i s + jωˆ m ψ ˆ r − Cμ ψ ˆr =− r ψ dt xr xr (11) Natomiast składowe wektora prądu stojana są wyznaczane z modelu prądu stojana otrzymanego po przekształceniu równań (1)–(2): TN ⎞ r x2 x r x x d ˆi s 1 ⎛ ⎜ u s − rs ˆi s − r 2m ˆi s + m2 r ψ ˆ r − j m ωˆ m ψ ˆr − m μψ ˆr⎟ = ⎜ ⎟ xr xr dt xsσ ⎝ xr xr ⎠ (12) W układzie tym prędkość obliczana jest przy wykorzystaniu równania: ωˆ m = ω0 sign sω (13) gdzie funkcja przełączająca sω opisana jest zależnością: ( ) ( ) sω = iˆsβ − isβ ψˆ rα − iˆsα − isα ψˆ rβ (14) Dodatkowa zmienna μ wyliczana jest z zależności: μ = μ 0 sign sμ (15) dla której funkcja przełączająca opisana jest następującym równaniem: ( ) ( ) s μ = iˆsα − i sα ψˆ rα + iˆsβ − i sβ ψˆ rβ gdzie: μ0, ω0, C – dodatnie stałe. Schemat ideowy tego estymatora przedstawiono na rys. 5. (16) 158 is us Estymacja prądu Estymacja prędkości ψ̂ r Symulator prądowy Kω , Kμ î s Filtr ω̂m, f sω , s μ − is ψ̂ r ωˆm, f (s) ωˆ m , μˆ ωˆm (s) = 1 T f s +1 Rys. 5. Schemat estymatora prędkości SMO [7] Fig. 5. Schematic diagram of the SMO speed [7] Wadą tego rozwiązania jest konieczność filtrowania wartości estymowanej prędkości, która wykorzystywana jest w strukturze sterowania. Estymatory prądu i strumienia są z kolei przestrajane wartością niefiltrowaną, podlegającą chatteringowi (rys. 5). Ponadto istnieje konieczność doboru współczynników C, μ0 i ω0. 3.4. ESTYMATOR DUAL-MODE Zaproponowany przez I. Boldeę układ Dual-mode (DM) [2] wykorzystuje transformację pomiędzy układami współrzędnych związanymi ze stojanem oraz wirnikiem, w celu uniezależnienia modelu prądowego strumienia wirnika od prędkości kątowej wirnika. Niezależność od estymowanej wartości prędkości silnika zapewnia brak opóźnienia czasowego w estymacji składowych strumienia. Estymator ten wykorzystuje jednocześnie technikę ruchu ślizgowego oraz bezpośrednią metodę estymacji prędkości kątowej za pomocą wzoru na pulsację poślizgu wirnika (4). W estymatorze tym wektory strumienia stojana i wirnika oraz prądu stojana można wyznaczyć korzystając z modeli zapisanych w układzie stacjonarnym (α−β): TN d ˆ s = u s − rs i s + K1 ν ψ dt (17) xr (ψˆ s − xsσ i s ) xm (18) ˆi = 1 ⎛⎜ ψˆ − x m ψˆ ⎞⎟ s s r⎟ x sσ ⎜⎝ xr ⎠ (19) ψˆ sr = W układzie nieruchomym względem pola wirnika (x–y) można wyznaczyć strumień wirnika korzystając z modelu prądowego strumienia wirnika: 159 TN d r x r r ψˆ rx = m r ψˆ sxr − r ψˆ rxr + K 2 ν xr dt x s x rσ x rσ (20) gdzie: ( ) ⎛ 1⎞ ν = sign ( s ) , s = i s − ˆi s ⎜⎜ k p + k I ⎟⎟ p⎠ ⎝ (21) gdzie: K1, K2, kp, kI – dodatnie stałe, p – operator Laplace’a oraz ψˆ ryr = 0 . Kąt niezbędny do transformacji współrzędnych wyliczany jest z zależności: γ sψ = ar ctg(ψ rsβ ψ rsα ) (22) Schemat opisywanego estymatora przedstawiono na rys. 6. W estymatorze tym, podobnie jak w estymatorze SFSO prędkość kątowa wyliczana jest z zależności na pulsację poślizgu (4). is us Symulator napięciowy (17) ψ̂ s ˆ r = f (ψ ˆ s , ˆi s ) ψ α −β x− y ψ̂sr (ψ Równanie wirnika x-y (20) k p , kI ˆi = f (ψ ˆ s ,ψ ˆ r) s tg −1 s rβ ψ s rα Estymacja prędkości ) ψ̂ r x− y Filtr α −β K1, K 2 ωˆ m = ωˆ s − ωˆ r ωˆm, f (s) ωˆ m (s) î s = ω̂m, f 1 T f s +1 − is Rys. 6. Schemat estymatora prędkości DM [2] Fig. 6. Schematic diagram of the Dual-mode (DM) speed estimator [2] Zasadniczą wadą opisywanego rozwiązania jest złożoność schematu zastępczego (rys. 6). Wpływa na nią konieczność podwójnej transformacji układów współrzędnych oraz doboru czterech parametrów K1, K2, kp, kI. 3.5. ESTYMATOR MRASCC Model matematyczny estymatora MRASCC został opisany szczegółowo w pracach [3, 6]. Wartości składowych wektora strumienia wirnika obliczane są na podstawie modelu prądowego (2) (stąd oznaczenie C – ang. current), natomiast równanie estymatora prądu stojana wynika z przekształcenia równań (1)–(2): 160 TN d ˆi s 1 = dt xsσ ⎛ ⎞ r x2 x r x ⎜ u s − rs ˆi s − r 2m ˆi s + m2 r ψˆ r − j m ψˆ rωˆ m ⎟ ⎜ ⎟ xr xr xr ⎝ ⎠ (23) W estymatorze MRASCC prędkość kątowa otrzymywana jest na wyjściu regulatora PI, który w tym przypadku spełnia zadanie mechanizmu adaptacji. Wielkością wejściową regulatora jest sygnał zależny od aktualnej wartości strumienia wirnika i błędu estymacji składowych wektora prądu stojana. Mechanizm ten jest opisany zależnością: ωˆ m = k p (eisαψˆ rβ − eisβψˆ rα ) + k I ∫ (eisαψˆ rβ − eisβψˆ rα )dt (24) gdzie: eisα ,β = isα ,β − iˆsα ,β – błąd między mierzoną i estymowaną składową prądu stojana. isβ isα i sβ usα usβ Symulator prądowy ψˆrα ψˆrβ iˆs β Estymacja prądu iˆs β iˆs α Estymacja prędkości ψˆrα iˆs α kp,kI ω̂ m isα ψˆrβ Rys. 8. Schemat ideowy estymatora MRASCC [3, 6] Fig. 8. Schematic diagram of the MRASCC speed estimator [3, 6] Otrzymywana w ten sposób prędkość kątowa wykorzystywana jest do przestrajania zarówno modelu prądowego jak i estymatora prądu stojana. Prędkość ta, bez dodatkowej filtracji może być używana w układzie sterowania. Schemat ideowy opisywanego układu przedstawiono na rys.8. Układ ten nie wymaga żadnej transformacji współrzędnych, a strojenie regulatora PI w pętli adaptacji prędkości jest bardzo proste [6]. 4. PODSUMOWANIE W artykule przedstawiono modele matematyczne wybranych estymatorów prędkości kątowej wykorzystywanych w napędach elektrycznych, spotykane w literaturze technicznej. Różnią się one zarówno budową, sposobem strojenia, jak i mechanizmem wyznaczania prędkości kątowej. Omówiono układy wykorzystujące technikę ruchu ślizgowego: SMO i DM, estymator SFSO oraz MRASCC. W przypadku każdego z wymienionych es- 161 tymatorów omówiono ideę i podstawy teoretyczne, zaprezentowano szczegółowy opis matematyczny oraz odpowiednie schematy blokowe. W drugiej części tego artykułu [4] przedstawiono wyniki badań symulacyjnych oraz eksperymentalnych dla analizowanych estymatorów pracujących zarówno w otwartej jak i zamkniętej pętli regulacji prędkości napędu ze sterowaniem polowo zorientowanym. Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w latach 2009–2011 jako projekt badawczy N510 334637. LITERATURA [1] ABU-RUB H.; OIKONOMOU N., Sensorless Observer System for Induction Motor Control, Proc. of the IEEE Power Electronics Specialists Conference, PESC ’2008, Rodos, Greece, 30–36. [2] BOLDEA I., LASCU C., BLAABJERG F., A Class of Speed-Sensorless Sliding-Mode Observers for High-Performance Induction Motor Drives, IEEE Trans. Industrial Electronics, Vol. 56, No. 9, September 2009, 3394–3403. [3] DYBKOWSKI M., Analiza układu wektorowego sterowania silnikiem indukcyjnym z adaptacyjnymi estymatorami prędkości kątowej, Rozprawa doktorska, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych, Politechnika Wrocławska, Wrocław 2008. [4] DYBKOWSKI M., TARCHAŁA G., ORŁOWSKA-KOWALSKA T., Analiza wybranych struktur estymacji prędkości kątowej w napędach z silnikami indukcyjnymi – część II – badania, Prace Naukowe Inst. Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych PWr. Nr 64, seria Studia i Materiały Nr 30, Wrocław 2010. [5] ORŁOWSKA-KOWALSKA T., Bezczujnikowe układy napędowe z silnikami indukcyjnymi, ser. KEPAN Postępy Napędu Elektrycznego i Energoelektroniki, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2003. [6] ORLOWSKA-KOWALSKA T, DYBKOWSKI M., Stator Current-based MRAS Estimator for Wide Range Speed-Sensorless Induction Motor Drive, IEEE Trans. Industrial Electronics, Vol. 57, No. 4, April 2010, 1296–1308. [7] UTKIN V., YAN Z., Sliding Mode Observers for Electric Machines – An Overview, Proc. of the 28th Annual Conf. of the Industrial Electronics Society IECON ’2002, Seville, Spain, Vol. 3, No. 2, 1842-1847. [8] WOJSZNIS P., Analiza estymatorów strumienia wirnika w bezczujnikowym układzie wektorowego sterowania silnika indukcyjnego, Rozprawa doktorska, Wydz. Elektryczny, Polit. Wrocławska, Wrocław 2001. ANALYSIS OF THE CHOSEN ESTIMATION METHODS IN THE INDUCTION MOTOR DRIVES – PART I – MATHEMATICAL MODELS In the paper mathematical models of the chosen speed estimation methods for induction motor drives are presented. Speed estimators based on the sliding mode theory (SMO), model reference adaptive systems (MRAS) technique and chosen concepts which use directly the rotor slip frequency calculation method are discussed.
