youtub fx video

Od równania falowego
do równania Schrödingera
Włodzimierz Salejda
Plan
1. Ciekawe doświadczenie
2. Dualizm korpuskularno-falowy
3. Hipoteza de Broglie’a
4. Doświadczenie dra A. Tonomury i dra Quantum
5. Równanie falowe
6. Równanie Schrödingera
7. Ciekawe doświadczenie i standardowy wykład
1
Ciekawe zjawisko
http://www.videosift.pl/story.php?id=8563
Klasyczne doświadczenie Younga
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/interference/doubleslit/
Dualizm korpuskularno-falowy
Energia i pęd fotonu
Efotonu = h ⋅ νfotonu = pfotonu ⋅ c
pfotonu = h ⋅ νfotonu /c =
h/(c/ν
νfotonu ) = h/λ
λfotonu
λfotonu = h/pfotonu
Dualizm korpuskularno-falowy
Postulat (sugestia) L. de Broglie’a
pcząstki = h/λ
λfali stowarzyszonej
λfali stowarzyszonej = h/p
cząstki
Animacja komputerowa
doświadczenia Younga
E:\XLO\Young\Doppelspaltversuch.exe
Animacja komputerowa
interferencji światła
E:\XLO\Young\Interferometer.exe
Doświadczenie z dwoma szczelinami (double-slit experiment) i elektronami
Dr Akira TONOMURA
Autor dyfrakcyjnego
doświadczenia z elektronami
http://www.hqrd.hitachi.co.jp/global/fellow_tonomura.cfm
http://www.hqrd.hitachi.co.jp/global/doubleslit.cfm
Double-slit experiment – doświadczenie z dwoma i elektronami
Być może znasz doświadczenie z dwoma szczelinami, które omawiane jest na wstępie
kursu/podręczników mechaniki kwantowej. Układ doświadczalny przedstawia
rysunek. Elektrony są emitowane jeden za/po drugim z mikroskopu elektronowego.
Przelatują przez urządzenie zwane elektronowym bipryzmatem, który składa się z
dwóch równoległych płytek, pośrodku których umieszczony jest cieniutki
drucik/cieniutkie włókno. Średnica włókna jest mniejsza od 1 mikrona (1/1000 mm).
Detekcji pojedynczych elektronów, tj. jeden po drugim, przechodzących po jednej ze
stron włókna, dokonujemy za pomocą wykrywacza elektronów (detektora), którym
jest specjalne urządzenie firmy Hamamatsu Photonics (PIAS). Pierwotnie stosowano
to urządzenie do detekcji fotonów. Zaskakujące jest to, że detektor ten wykrywa
elektrony w 100%.
Double-slit experiment – doświadczenie z dwoma szczelinami i elektronami
You may be familiar with an experiment known as the " double-slit experiment," as it is
often introduced at the beginning of quantum-mechanics textbooks. The experimental
arrangement can be seen in figure. Electrons are emitted one by one from the source in the
electron microscope. They pass through a device called the "electron biprism", which
consists of two parallel plates and a fine filament at the center. The filament is thinner than
1 micron (1/1000 mm) in diameter. Electrons having passed through on both sides of the
filament are detected one by one as particles at the detector. This detector was specially
modified for electrons from the photon detector produced by Hamamatsu Photonics (PIAS).
To our surprise, it could detect even a single electron with almost 100% detection efficiency.
http://www.chiraltem.physics.at/DRESDEN_Davos-Poster1_A3_150dpi_compressed.pdf
Double-slit experiment – doświadczenie z dwoma szczelinami i elektronami
http://www.chiraltem.physics.at/DRESDEN_Davos-Poster1_A3_150dpi_compressed.pdf
http://www.chiraltem.physics.at/Workshop2_Formanek.pdf
Dr. TONOMURA Akira
http://www.hqrd.hitachi.co.jp/global/fellow_tonomura.cfm
http://www.hqrd.hitachi.co.jp/global/doubleslit.cfm
Fig. 1. Experimental setup - układ doświadczalny
Double-slit experiment with electrons
Let's start the experiment and look at the monitor (video clip)
Rozpoczynamy
eksperyment
patrząc na
ekran monitora
(uruchamiamy
wideo clip). Z
pojedynczych
zderzeń
elektronów na
ekranie
powstaje obraz
interferencyjny,
podobny do
obrazu
prąŜków w
doświadczeniu
Younga z
dwoma
szczelinami.
Fig. 2 Single electron events build up to form an interference pattern in the double-slit experiments.
Dr. TONOMURA Akira
http://www.hqrd.hitachi.co.jp/global/fellow_tonomura.cfm
http://www.hqrd.hitachi.co.jp/global/doubleslit.cfm
Dualizm korpuskularno-falowy. Doświadczenie A. Tonomury
16
Double-slit experiment with electrons
Na początku eksperymentu obserwujemy jasne plamki, które pojawiają się tu i tam na ekranie
monitora; patrz dalej Rys. 2 (a) i (b). To są elektrony, które są wykrywane (rejestrowane) jako
cząstki. Na tyle na ile rysunki te pokazują możesz mieć pewność, że elektrony są cząsteczkami.
Elektrony były przyspieszane napięciem 50 kV, a ich prędkość wynosiła około 40 % prędkości
światła, co daje wartość 120 000 km/s. Takie elektrony są w stanie okrążyć Ziemię trzykrotnie
w ciągu jednej sekundy. Przebywają one odległość jednego metra w czasie 1/100 000 000
sekundy. Można więc uważać, że są wykrywane natychmiast po wyemitowaniu.
Prążki interferencyjne powstają tylko wtedy, gdy dwa elektrony przechodzą po dwóch stronach
bipryzmatu jednocześnie. Gdyby w mikroskopie elektronowym były w tym samym czasie dwa
elektrony, to prążki interferencyjne mogłyby się pojawić. Ale to nie zdarza się, ponieważ nie
więcej niż jeden elektron znajduje się w mikroskopie w tej samej chwili czasu, gdyż tylko 10
elektronów jest emitowanych w czasie jednej sekundy. Ponadto na monitorze nie
obserwujemy jednoczesnych błyśnięć!
Double-slit experiment with electrons
At the beginning of the experiment, we can see that bright spots begin to appear
here and there at random positions (Fig. 2 (a) and (b)). These are electrons. Electrons are
detected one by one as particles. As far as these micrographs show, you can be confident that
electrons are particles. These electrons were accelerated to 50 000 V, and therefore the speed
is about 40% of the speed of the light, i.e., it is 120 000 km/second. These electrons can go
around the earth three times in a second. So, they pass through a one-meter-long electron
microscope in 1/100 000 000 of a second. It is all right to think that each electron is detected
in an instant after it is emitted.
Interference fringes are produced only when two electrons pass through both sides
of the electron biprism simultaneously. If there were two electrons in the microscope at the
same time, such interference might happen. But this cannot occur, because there is no more
than one electron in the microscope at one time, since only 10 electrons are emitted per
second.
Double-slit experiment with electrons
Proszę obserwować monitor przez dłuższy okres czasu. Po wyemitowaniu i
zarejestrowaniu bardzo wielu elektronów, można zaobserwować coś w
rodzaju regularnych pionowych prążków, jak to widać na Rys. 2(c). Wyraźnie
widać interferencyjne prążki po upływie 20 minutach Rys. 2(d). Odnotujmy,
że prążki interferencyjne składają się z jasnych plamek, z których każda jest
zapisem detekcji elektronu na powierzchni ekranu monitora.
Doszliśmy do mistycznej konkluzji. Mimo, że elektrony były wysyłane
pojedynczo, jeden po drugim, to prążki interferencyjne są obserwowane.
Prążki te powstają tylko wówczas, gdy fale elektronowe omijają bipryzmat z
obu stron jednocześnie i w żadnym innym przypadku. Obojętnie kiedy
obserwujemy elektrony, to zawsze widzimy je jako pojedyncze cząstki.
Jednakże, gdy tylko zaczną się gromadzić, to prążki interferencyjne
pojawiają się. Przypominamy, że w danej chwili w mikroskopie był obecny
tylko jeden elektron. Doszliśmy do wniosku, który jest daleko od tego co
podpowiada nam zdrowy rozsądek.
Double-slit experiment
Please keep watching the experiment a little longer. When a large number
of electrons is accumulated, something like regular fringes begin to appear
in the perpendicular direction as Fig. 2(c) shows. Clear interference fringes
can be seen in the last scene of the experiment after 20 minutes (Fig. 2(d)).
It should also be noted that the fringes are made up of bright spots, each of
which records the detection of an electron.
We have reached a mysterious conclusion. Although electrons were sent
one by one, interference fringes could be observed. These interference
fringes are formed only when electron waves pass through on both sides of
the electron biprism at the same time but nothing other than this.
Whenever electrons are observed, they are always detected as individual
particles. When accumulated, however, interference fringes are formed.
Please recall that at any one instant there was at most one electron in the
microscope. We have reached a conclusion which is far from what our
common sense tells us.
Dualizm korpuskularno-falowy. Doświadczenia dra Quantum
http://pl.youtube.com/watch?v=DfPeprQ7oGc&mode=related&search
21
Richard P. Feynman (1918-1988) Charakter praw fizycznych
(...) Gdy Heisenberg odkrył prawa mechaniki kwantowej, zauważył, że ich wewnętrzna spójność wymaga,
aby istniało pewne podstawowe ograniczenie dokładności możliwych pomiarów, z którego wcześniej
fizycy nie zdawali sobie sprawy. Innymi słowy,
nie można przeprowadzić eksperymentu
z taką dokładnością, jaką sobie wymarzymy.
Heisenberg sformułował zasadę nieoznaczoności, która w wersji zaadaptowanej do naszego
doświadczenia wygląda następująco: (Heisenberg podał inne, w pełni równoważne sformułowanie)
„Jest rzeczą niemożliwą skonstruować aparat pozwalający określić, przez
którą szczelinę przeleciał elektron, nie zaburzając przy tym jego ruchu na tyle,
że spowodowałoby to zniszczenie obrazu interferencyjnego”
Nikomu jeszcze nie udało się ominąć takiego ograniczenia. Jestem pewny, że wszyscy macie już
w
głowach pomysły, jak stwierdzić, przez którą szczelinę przeleciał elektron, ale jeśli uważnie je
przeanalizujecie, przekonacie się, iż są błędne. Możecie sobie wyobrażać, że da się to zrobić bez zaburzania
ruchu elektronu, ale zawsze się okaże, że była jakaś trudność i że można wyjaśnić zmianę rozkładu
elektronów jako konsekwencję zaburzeń spowodowanych przez instrumenty użyte do określenia, przez
którą szczelinę przeleciał elektron. (...)
Richard P. Feynman (1918-1988) Charakter praw fizycznych
(...) mogę bezpiecznie stwierdzić, iż nikt nie rozumie
mechaniki kwantowej. Proszę zatem nie traktować tego
wykładu zbyt poważnie i nie próbować zrozumieć tego,
co będę mówił, przez odwołanie się do pewnego
modelu. Zamierzam powiedzieć, jak zachowuje się
natura. Jeśli jesteście gotowi po prostu przyjąć, że może
właśnie tak się ona zachowuje, to przekonacie się, że
natura jest czarująca i zachwycająca. Nie powtarzajcie
sobie, o ile tylko potraficie „ale jak to możliwe?”,
ponieważ wpadniecie w przepaść, w ślepą uliczkę, z
której nikomu jeszcze nie udało się uciec.
Nikt nie wie, jak to jest możliwe.
Równanie falowe
∂ f
1 ∂ f
=
2
2
2
∂x
c ∂t
2
2
Rozwiązaniem jest każda funkcja postaci
f ( x ± ct )
24
Równanie falowe; sens operacji
∂  ∂f  1 ∂  ∂f 
=
 
 
2
∂x  ∂x  c ∂t  ∂t 
25
Poszukajmy rozwiązania
równania falowego o postaci
f ( x,t ) = e Ψ ( x )
iωt
∂ f
iωt ∂ Ψ ( x )
=
e
;
2
2
∂x
∂x
2
∂ f
2 iωt
= ( iω ) e Ψ ( x )
2
∂t
2
2
26
Poszukajmy rozwiązania równania falowego; przekształcenia
f ( x,t ) = eiωtΨ ( x )
∂ 2Ψ ( x )
∂ f
i ωt
=
e
;
2
2
∂x
∂x
∂2 f
2 i ωt
= ( iω ) e Ψ ( x )
2
∂t
2
e
iωt
∂ Ψ ( x)
2
∂x 2
∂ f
1 ∂ f
=
2
2
2
∂x
c ∂t
2
2
2

ω  iωt
1
2 iωt
= 2 ( iω ) e Ψ ( x ) = −  2  e Ψ ( x )
c
c 
27
Równanie falowe
2
d Ψ ( x)  ω2 
+  2 Ψ ( x ) = 0
2
dx
c 
2π
2π
2π
ω T
λ
ω=
;k =
→c=
=
T
k 2π T
λ
ω = kc → k =
ω
c
λ
28
Równanie falowe
d Ψ ( x)  ω2 
+  2 Ψ ( x ) = 0
2
dx
c 
2
2π
2π
2π
ω T
λ
ω=
;k =
→c=
=
T
k 2π T
λ
ω = kc → k =
λ
d 2Ψ ( x )
dx
2
ω
c
+ k 2Ψ ( x ) = 0
29
Równanie falowe
d 2Ψ ( x )
dx
2
+ k Ψ ( x) = 0
2
Hipoteza de Broglie’a
Wielkość
korpuskularna
 h

h  2π
p= =
λ  λ
Wielkość

falowa
 2π


 = ℏ  2π  = ℏk



 λ 


30
Jakie równanie spełnia
funkcja stowarzyszona
z cząstka kwantową?
31
Równanie falowe jednowymiarowe
2
d Ψ ( x)
2
+ k Ψ ( x) = 0
2
dx
Ruch cząstki w polu siły potencjalnej
2
 p
2
 
v)
(
m

p = mv,E = m
+U (r ) = m
+U ( x) ⇒
2
2
p)
(
E=
2
+U ( x)
ℏk )
(
=
2m
2m
2m
2
k = 2 ( E − U ( x )) .
ℏ
2
+U ( x) ;
32
Równanie falowe jednowymiarowe
Ruch cząstki w polu siły potencjalnej
d Ψ ( x)
2
dx
2
2m
+ k Ψ ( x ) = 0 k = 2  E − U ( x )  .
ℏ
2
2
Równanie Schrödingera
d 2Ψ ( x )
dx 2
2m
+ 2  E − U ( x ) Ψ ( x ) = 0 ⇒
ℏ
2
d
Ψ ( x)
ℏ
−
+ U ( x ) = EΨ ( x )
2m dx 2
2
33
Równanie falowe jednowymiarowe
2
∂ Ψ ( x)
2
+ k Ψ ( x) = 0
2
∂x
⇓
Równanie Schrödingera
jednowymiarowe
ℏ ∂ Ψ ( x)
−
+ U ( x ) = EΨ ( x )
2m ∂x 2
2
2
34
Równanie falowe 3-wymiarowe
2
2
2
∂ Ψ (r ) ∂ Ψ (r ) ∂ Ψ (r )
2
+
+
+ k Ψ ( x) = 0
2
2
2
∂x
∂y
∂z
Równanie Schrödingera
∂ 2Ψ ( r )
∂x
2
+
∂ 2Ψ ( r )
∂y
2
+
∂ 2Ψ ( r )
∂z 2
2m
+ 2  E − U ( r ) Ψ ( r ) = 0 ⇒
ℏ
2
2
2

∂
Ψ
r
∂
Ψ
r
∂
Ψ (r ) 
(
)
(
)
ℏ
−
+
+

 + U ( r ) = EΨ ( r )
2
2
2
2m  ∂x
∂y
∂z

2
2m
k = 2  E − U ( x )  .
ℏ
2
35
Interpretacja funkcji falowej
36
Interpretacja funkcji falowej
∂Ψ ( r ,t ) ˆ
iℏ
= HΨ ( r ,t )
∂t
37
38
39