1 Funkcja odwrotna. Funkcje cyklometryczne.

1
Funkcja odwrotna. Funkcje cyklometryczne.
Przygotowala Izabela Wardach
1
Funkcja odwrotna
Definicja odwzorowania X NA Y
NA
Mówimy, że funkcja f : X → Y odwzorowuje zbiór X NA Y , co zapisujemy f : X → Y ,
jeżeli:
V
W
y∈Y
x∈X f (x) = y
Definicja funkcji różnowartościowej
Mówimy, że funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze X, jeżeli:
V
x1 ,x2 ∈X [x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )]
Definicja funkcji odwrotnej
NA
NA
Niech funkcja f : X → Y bȩdzie różnowartościowa. Funkcjȩ f −1 : X → Y spelniaja̧ca̧
warunek:
−1
V
V
f
(y)
=
x
⇔
f
(x)
=
y
x∈X
y∈Y
nazywamy funkcja̧ odwrotna̧.
Wnioski:
f −1 (f (x)) = x
V
−1 (y) = y
f
f
y∈Y
f −1 f −1 = f
V
x∈X
Uwaga: Funkcja odwrotna x → y = f −1 (x) do funkcji f ma wykres symetryczny wzgȩdem
prostej y = x do wykresu funkcji f .
Twierdzenie: Niech funkcja nieparzysta ma funkcjȩ odwrotna̧ to funkcja odwrotna jest
także funkca̧ nieparzysta̧.
Twierdzenie: Jeżeli funkcja f jest cia̧gla i rosna̧ca na przedziale ha, bi, to funkcja odwrotna
f −1 jest cia̧gla i rosna̧ca na przedziale hf (a), f (b)i.
Twierdzenie: Jeżeli funkcja f jest cia̧gla i maleja̧ca na przedziale ha, bi, to funkcja odwrotna
f −1 jest cia̧gla i maleja̧ca na przedziale hf (b), f (a)i.
FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE:
1. ARCUS SINUS:
Rozważmy funkcjȩ
1
na podstawie:
1. W.Leksiński, B.Macukow, W. Żakowski Matematyka dla maturzystów - definicje, twierdzenia, wzory,
przyklady, WNT, Warszawa 1994.
2. W.Żakowski Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie - algebra i analiza matematyczna, WNT,
Warszawa 1994.
1
x ∈ − π2 , π2 ,
y = sinx,
y ∈ h−1, 1i
jest ona nieparzysta, cia̧gla i rosna̧ca zatem posiada funkcjȩ odwrotna̧ - także nieparzystca,
cia̧gla̧ i rosna̧ca̧. Nazywamy ja̧ arcus sinus i zapisujemy:
y = arcsinx, x ∈ h−1, 1i, y ∈ − π2 , π2
Z definicji funkcji odwrotnej mamy:
V
V
x∈h−1,1i
y∈h− π2 , π2 i [y
V
= arcsin(x) ⇔ sin(y) = x]
y∈h− π2 , π2 i arcsin(siny)
V
x∈h−1,1i sin(arcsinx)
=y
=x
2. ARCUS COSINUS:
Rozważmy funkcjȩ
y = cosx,
x ∈ h0, πi,
y ∈ h−1, 1i
jest ona cia̧gla i maleja̧ca zatem posiada funkcjȩ odwrotna̧ - także cia̧gla̧ i maleja̧ca̧. Nazywamy ja̧ arcus cosinus i zapisujemy:
y = arccosx, x ∈ h−1, 1i,
Z definicji funkcji odwrotnej mamy:
V
V
x∈h−1,1i
y∈h0,πi [y
V
V
y ∈ h0, πi
= arccos(x) ⇔ cos(y) = x]
y∈h0,πi arccos(cosy)
=y
x∈h−1,1i cos(arccos)
=x
3. ARCUS TANGENS:
Rozważmy funkcjȩ
y = tgx,
x ∈ − π2 , π2 ,
y∈R
jest ona nieparzysta, cia̧gla i rosna̧ca zatem posiada funkcjȩ odwrotna̧ - także nieparzystca,
cia̧gla̧ i rosna̧ca̧. Nazywamy ja̧ arcus tangens i zapisujemy:
y = arctgx, x ∈ R, y ∈ − π2 , π2
Z definicji funkcji odwrotnej mamy:
V
V
x∈R y∈(− π2 , π2 ) [y = arctg(x) ⇔ tg(y) = x]
V
y∈(− π2 , π2 ) arctg(tgy) = y
V
x∈R tg(arctg) = x
4. ARCUS COTANGENS:
Rozważmy funkcjȩ
y = ctgx,
x ∈ (0, πi,
2
y∈R
jest cia̧gla i rosna̧ca zatem posiada funkcjȩ odwrotna̧ - także cia̧gla̧ i rosna̧ca̧. Nazywamy ja̧
arcus cotangens i zapisujemy:
y = arcctgx, x ∈ R,
Z definicji funkcji odwrotnej mamy:
V
V
x∈R
y∈(0,π) [y
V
y ∈ (0, π)
= arcctg(x) ⇔ ctg(y) = x]
y∈(0,π) arcctg(ctgy)
V
x∈R ctg(arcctg)
=y
=x
Zachodza̧ tożsamości:
V
x∈h−1,1i arcsinx
V
x∈R arctgx
+ arccosx =
+ arcctgx =
3
π
2
π
2