Funkcja zlozona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne.

Transkrypt

Matematyka ETId I.Gorgol
Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne.
Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje
cyklometryczne.
Definicja funkcji
I
DEFINICJA Niech dane bed
˛ a˛ dwa zbiory D i P. Funkcja˛
f : D → P nazywamy przyporzadkowanie,
˛
które każdemu
elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje
˛
dokładnie jeden
element ze zbioru P.
Definicja funkcji
I
˛
które każdemu
˛
dokładnie jeden
I
D - dziedzina, zbiór argumentów funkcji f
Definicja funkcji
I
˛
które każdemu
˛
dokładnie jeden
I
I
P - przeciwdziedzina, zbiór wartości funkcji f
Definicja funkcji
I
˛
które każdemu
˛
dokładnie jeden
I
I
P - przeciwdziedzina, zbiór wartości funkcji f
Jeżeli D ⊂ R i P ⊂ R, to wykresem funkcji f nazywamy zbiór
W = {(x , f (x )) : x ∈ D }.
Złożenie funkcji
DEFINICJA Jeżeli f : Df → Y oraz g : Dg → Z , gdzie Y ⊂ Dg , to
złożeniem funkcji
f i g nazywamy funkcje˛ h : Df → Z taka,˛ że
h(x ) = g f (x ) dla każdego x spełniajacego
˛
warunki x ∈ Df
oraz f (x ) ∈ Dg . Złożenie funkcji f i g oznaczamy symbolem
g ◦f.
Złożenie funkcji
DEFINICJA Jeżeli f : Df → Y oraz g : Dg → Z , gdzie Y ⊂ Dg , to
złożeniem funkcji
f i g nazywamy funkcje˛ h : Df → Z taka,˛ że
h(x ) = g f (x ) dla każdego x spełniajacego
˛
warunki x ∈ Df
oraz f (x ) ∈ Dg . Złożenie funkcji f i g oznaczamy symbolem
g ◦f.
Funkcja odwrotna
DEFINICJA Funkcje˛ f nazywamy różnowartościowa˛ wtedy
i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
^ ^
x1 ∈Df x2 ∈Df
x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) .
Funkcja odwrotna
^ ^
x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) .
x1 ∈Df x2 ∈Df
DEFINICJA Jeżeli funkcja f : X → Y jest różnowartościowa, to
funkcje˛ g : Y → X nazywamy funkcja˛ odwrotna˛ do funkcji f ,
jeżeli
^
x ∈Df
g ◦ f (x ) = x
oraz
^
f ◦ g (y ) = y .
y ∈Dg
Funkcje˛ g oznaczamy wówczas przez f −1 .
Funkcja odwrotna
^ ^
x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) .
x1 ∈Df x2 ∈Df
DEFINICJA Jeżeli funkcja f : X → Y jest różnowartościowa, to
funkcje˛ g : Y → X nazywamy funkcja˛ odwrotna˛ do funkcji f ,
jeżeli
^
x ∈Df
g ◦ f (x ) = x
oraz
^
f ◦ g (y ) = y .
y ∈Dg
Funkcje˛ g oznaczamy wówczas przez f −1 .
UWAGA: Jeżeli funkcja f : R → R, to wykres funkcji i funkcji
odwrotnej sa˛ symetryczne wzgledem
˛
prostej y = x.
Funkcje cyklometryczne
DEFINICJA Funkcje cyklometryczne sa˛ to funkcje odwrotne do
funkcji trygonometrycznych na pewnych przedziałach, na
których funkcje te sa˛ różnowartościowe.
DEFINICJA Funkcja arcsin (arcus sinus) jest to funkcja
odwrotna do funkcji sinus na przedziale h− π2 , π2 i.
sin : h− π2 , π2 i → h−1, 1i
arcsin : h−1, 1i → h− π2 , π2 i
sin : h− π2 , π2 i → h−1, 1i
arcsin : h−1, 1i → h− π2 , π2 i
DEFINICJA Funkcja arccos (arcus cosinus) jest to funkcja
odwrotna do funkcji cosinus na przedziale h0, πi.
sin : h− π2 , π2 i → h−1, 1i
arcsin : h−1, 1i → h− π2 , π2 i
DEFINICJA Funkcja arccos (arcus cosinus) jest to funkcja
odwrotna do funkcji cosinus na przedziale h0, πi.
cos : h0, πi → h−1, 1i
arccos : h−1, 1i → h0, πi
Funkcje cyklometryczne – cd.
DEFINICJA Funkcja arctg (arcus tangens) jest to funkcja
odwrotna do funkcji tangens na przedziale (− π2 , π2 ).
tg : (− π2 , π2 ) → R
arctg : R → (− π2 , π2 )
tg : (− π2 , π2 ) → R
arctg : R → (− π2 , π2 )
DEFINICJA Funkcja arcctg (arcus cotangens) jest to funkcja
odwrotna do funkcji cotangens na przedziale (0, π).
tg : (− π2 , π2 ) → R
arctg : R → (− π2 , π2 )
DEFINICJA Funkcja arcctg (arcus cotangens) jest to funkcja
odwrotna do funkcji cotangens na przedziale (0, π).
ctg : (0, π) → R
arcctg : R → (0, π)

Funkcja zlozona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne.

Transkrypt

Podobne dokumenty

Funkcja odwrotna. Ciągi liczbowe. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

Zadanie: ant t/ Antysymetria

Projekt tekstu promocyjnego na czwartą stronę okładki.

Wykresy i własności funkcji elementarnych

ARTYKUŁ JEST W WERSJI OSTATECZNEJ PO RECENZJI I

Technologia Programowania 2016/2017 Lista 5 (cwiczenia)

W jakim sensie jesteśmy dziećmi Oświecenia.

1 Funkcja odwrotna. Funkcje cyklometryczne.