Wykład 06

Obraz Ziemi widzianej z Księżyca
Grawitacja
Prawo powszechnego ciążenia
Dwa punkty materialne o masach m1 i m2
przyciągają się wzajemnie siłą proporcjonalną do
iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do
kwadratu ich odległości r :
r
m 1m
F 21 = − G
r123
2
r
⋅ r12
Doświadczenie Cavendisha
F
1
r
F
2
G - stała grawitacyjna ;
G = 6.673 x 10-11 Nm2/kg2
α ∼ Μ = 2r Fg = 2Gm1m2/r
F=
GMm/R2 =
mg
Henry Cavendish
1731-1810
1
Grawitacja w pobliżu
powierzchni Ziemi
F=mg
g=
GM
r2
Przyczyny rozbieżności:
•Ziemia nie jest jednorodna
•Ziemia nie jest kulista
•Ziemia obraca się
Przypływy i odpływy
jądro
wewn.
Jądro
zawnętrzne
Płaszcz Ziemi
Przekrój zapory hydroelektrowni
pływowej w Rance
2
Natężenie pola grawitacyjnego
W każdym punkcie pola grawitacyjnego można
zdefiniować wielkość wektorową, oznaczająca siłę
grawitacji działającą w danym punkcie na jednostkę
masy. Wielkość ta nazywa się natężeniem pola
grawitacyjnego:
r
F
γ = 21
m
r
Energia potencjalna w polu grawitacyjnym
UG =
F
M
dr
m
r
Gdzie ma być
odniesienie?
r
r
Mm
− ∫ (−G 2 )rodr =
r
droga
Jako stosunek siły do masy natężenie pola jest równe
przyspieszeniu, z jakim porusza się masa próbna w
danym polu grawitacyjnym.
r0
Mm
r2
) dr =
1 1
Mm R − r
= −GMm −  = −G
GMm
≈
r rR
 r ∞R
≈ m⋅
GM
γ= 2
r
− ∫ ( −G
GM
⋅ h = mgh
2
Energia potencjalna w poluRgrawitacyjnym
cząstki o masie m, położonej w odległości
r od
A jeśli
odniesienie jest
cząstki o masie M:
r
Mm
U G (r ) = −G
r
na powierzchni?
Potencjał grawitacyjny
Stosunek energii potencjalnej w odległości r
od źródła pola graw. do jednostkowej masy m
nazywa się potencjałem pola grawitacyjnego:
φ (r ) =
U G (r )
GM
=−
m
r
3
Składanie natężeń i potencjałów
pól grawitacyjnych
Mikołaj Kopernik
1473-1543
Jeżeli pole jest wytwarzane przez kilka mas M1, M2, ...,Mn,
to natężenie pola w danym punkcie
oblicza się jako sumę wektorową natężeń pól γ
wytwarzanych przez te masy, a potencjał tego pola
jest sumą algebraiczną potencjałów pól składowych.
Johannes Kepler
1571-1630
Galileo Gallilei
1564-1642
T12
R13
F=G
Mm
R2
=
T22
R23
Sir Isaac Newton
1642 - 1727
Ruch ciał ze zmienną masą
Ruch rakiety o napędzie odrzutowym
v
v-u
m
v+dv
mv = (v – u)dms+ (m – dms)(v + dv)
mdv = u dms ale dm = -dms więc
mdv = -udm
Po podzieleniu przez dt:
mdv = -udm/dt
v = u ln ( m )
Jeśli działa Fzewnto
mo
Równanie Ciołkowskiego
Prędkości kosmiczne
m-dms
m
m
dm
dv
= −u
dt
dt
dv
dm
=u
+ Fzewn
dt
dt
4
Pierwsza prędkość kosmiczna
Jest to najmniejsza możliwa prędkość,
jaką musi mieć punkt materialny krążący
po orbicie wokół Ziemi.
Fod
V
FG
Druga prędkość kosmiczna
Jest to najmniejsza możliwa prędkość,
jaką musi mieć punkt materialny przy
powierzchni Ziemi, aby mógł się oddalić
od niej w nieskończoność
Prędkość ucieczki
Pierwsze prawo Keplera
Prawa ruchu planet
Każda planeta krąży po orbicie eliptycznej,
ze Słońcem w jednym z ognisk tej elipsy.
5
Drugie prawo Keplera
Drugie prawo Keplera c.d
Prawo równych pól
v
L
Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla
równe pola w równych odstępach czasu.
Vp
m
dA
v
r
V
v
dr
r r
dA 1 r × dr
1 r
r
L
=
=
r × m v = L = const.
dt
2 dt
2m
2m
Trzecie prawo Keplera
Sześciany półosi wielkich orbit jakichkolwiek
dwóch planet mają się tak do siebie jak kwadraty
ich okresów obiegu. Dla orbit kołowych:
R13 T12
=
R23 T22
6
Nieważkość
7