Przykłady grup przemiennych

Przykłady grup przemiennych
1
Grupa Z i jej podgrupy
Zadanie 1 Czy następujące zbiory są podgrupami grupy Z:
2Z, 2Z + 1, 10Z, 9Z + 22Z, Z \ {0}, N0 ?
Zadanie 2 Jakie inkluzje zachodzą między następującymi podgrupami grupy Z:
0, Z, 2Z, 3Z, 4Z, 5Z, 6Z, 7Z, 8Z, 9Z, 10Z, 12Z, 15Z, 18Z, 24Z?
Zadanie 3 Kiedy zachodzi inkluzja mZ ⊂ nZ?
Zadanie 4 Czemu jest równe:
a) 2Z + 3Z,
b) 2Z + 3Z + 5Z,
c) 12Z + 18Z,
d) 9Z + 22Z,
e) mZ + nZ,
f ) n1 Z + n2 Z + . . . + nk Z?
Zadanie 5 Czemu jest równe:
a) 2Z ∩ 3Z,
b) 12Z ∩ 18Z,
c) 4Z ∩ 9Z ∩ 25Z,
d) 15Z ∩ 21Z ∩ 35Z,
e) mZ ∩ nZ,
f ) n1 Z ∩ n2 Z ∩ . . . ∩ nk Z?
Zadanie 6 Opisz wszystkie podgrupy grupy Z.
2
Grupy reszt modulo n
Zadanie 7 Znajdź rzędy elementów 1̄, 2̄, 3̄, 4̄, 5̄ w grupie Z10 .
Zadanie 8 Znajdź rząd elementu 6̄ w grupie:
a) Z13 , b) Z15 , c) Z18 , d) Z20 .
Zadanie 9 Znajdź rząd elementu k̄ w grupie Zn .
Zadanie 10 Wyznacz podgrupę generowaną przez elementy:
a) 4̄ i 6̄ w Z12 ,
b) 2̄ i 5̄ w Z10 ,
c) 12, 18 i 24 w Z27 ,
d) 2002 i 2003 w Z5000 .
Zadanie 11 Wyznacz wszystkie podgrupy grupy:
a) Z6 , b) Z8 , c) Z10 , d) Z12 , e) Z27 , f ) Z30 , g) Z31 .
Zadanie 12 Opisz wszystkie podgrupy grupy Zn .
1
3
Grupy cykliczne
Zadanie 13 Znajdź rzędy elementów e, g, g 4 , g 5 , g 6 w grupie hgi15 .
Zadanie 14 Znajdź rząd elementu g 4 w grupie:
a) hgi2002 , b) hgi2003 , c) hgi2004 .
Zadanie 15 W grupie hgi12 wyznacz:
a) wszystkie elementy spełniające warunek h3 = e,
b) wszystkie elementy spełniające warunek h5 = e,
c) wszystkie elementy rzędu 4,
d) wszystkie elementy rzędu 5.
Zadanie 16 Dane są liczby naturalne n i k. W grupie hgin wyznacz:
a) wszystkie elementy spełniające warunek hk = e,
b) wszystkie elementy rzędu k.
Zadanie 17 Załóżmy, że g jest elementem skończonego rzędu n (w pewnej grupie). Udowodnij,
że dla dowolnych liczb całkowitych k i l:
a) g k = e ⇔ n | k,
b) g k = g l ⇔ n | k − l.
Zadanie 18 Znajdź rzędy następujących elementów grupy C∗ :
√
√
√
3
1
3
22 3 4
1−i 1
i, − +
i, 1 + i, 2, 10 − i, + i.
1, −1, i, −i, √ , +
2
2
2
7
5 5
2 2
Zadanie 19 Znajdź liczbę elementów grupy C∗ , których rząd wynosi:
a) 1, b) 2, c) 3, d) 4, e) 5, f ) 6.
Rozwiązania, wskazówki, odpowiedzi
3 Odpowiedź. Inkluzja mZ ⊂ nZ zachodzi dokładnie wtedy, gdy n | m.
Wskazówka. Zauważ, że mZ ⊂ nZ ⇔ m ∈ nZ.
4 Odpowiedź: a) Z, b) Z, c) 6Z, d) Z, e) dZ, gdzie d = NWD(m, n), f ) dZ, gdzie d =
NWD(n1 , n2 , . . . , nk ).
e) Rozwiązanie. Niech d = NWD(m, n). Skoro d | m i d | n, to istnieją takie k, l ∈ Z, że
m = kd i n = ld, czyli m ∈ dZ i n ∈ dZ. Zatem mZ = hmi ⊂ dZ i nZ = hni ⊂ dZ, skąd
mZ + nZ ⊂ dZ.
Z drugiej strony, wiadomo, że d można przedstawić w postaci d = rm + sn dla pewnych
r, s ∈ Z. To oznacza, że d ∈ mZ + nZ, więc dZ ⊂ mZ + nZ.
5 Odpowiedź: a) 6Z, b) 36Z, c) 900Z, d) 105Z, e) wZ, gdzie w = NWW(m, n), f ) wZ,
gdzie w = NWW(n1 , n2 , . . . , nk ).
e) Wskazówka. Trzeba pokazać, że: 1) dla każdego k ∈ Z, jeśli k ∈ mZ i k ∈ nZ, to k ∈ wZ,
2) w ∈ mZ i w ∈ nZ.
2
6 Rozwiązanie. Łatwo sprawdzić, że nZ jest podgrupą grupy Z dla każdego n ∈ N0 i jeśli
m, n ∈ N0 , m 6= n, to nZ 6= nZ. Udowodnimy, że każda podgrupa jest postaci nZ dla pewnego
n ∈ N0 .
Rozważmy dowolną podrupę H grupy Z. Oczywiście 0 ∈ H. Jeśli H = {0}, to H = nZ dla
n = 0. Załóżmy, że H 6= {0}. Zatem do H należy pewna liczba a 6= 0, więc należy również −a.
Oznacza to, że w H są liczby dodatnie (co najmniej jedna). Niech n będzie najmniejszą liczbą
całkowitą dodatnią, należącą do H. Skoro n ∈ H, to nZ ⊂ H. Wykażemy, że zachodzi również
odwrotna inkluzja.
Niech m ∈ H. Podzielmy z resztą m przez n: m = kn + r, k, r ∈ Z, 0 6 r < n. Mamy
r = m − kn, gdzie m, n ∈ H, więc r ∈ H. Gdyby zachodziła nierówność r > 0, to r byłoby liczbą
dodatnią należącą do H, mniejszą od n, co jest niemożliwe. Zatem r = 0, czyli m = kn ∈ nZ.
To oznacza, że H ⊂ nZ, więc ostatecznie H = nZ.
9 Wskazówka. Zauważ, że m · k̄ = 0̄ w Zn dokładnie wtedy, gdy n | mk w Z.
10 a) Rozwiązanie. Oczywiście 4̄, 6̄ ∈ h2̄i, gdyż 4̄ = 2̄ + 2̄ i 6̄ = 2̄ + 2̄ + 2̄, więc h4̄, 6̄i ⊂ h2̄i.
d) Wskazówka. To jest łatwe, wystarczy coś zauważyć.
11 b) Odpowiedź. Grupa Z8 posiada cztery podgrupy: {0̄}, {0̄, 2̄}, {0̄, 2̄, 4̄, 6̄} i Z8 .
Rozwiązanie. Znajdźmy najpierw podrupy generowane przez poszczególne elementy (wypisując kolejne wielokrotności):
h0̄i = {0̄}, h1̄i = {0̄, 1̄, 2̄, 3̄, 4̄, 5̄, 6̄, 7̄}, h2̄i = {0̄, 2̄, 4̄, 6̄}, h3̄i = {0̄, 3̄, 6̄, 1̄, 4̄, 7̄, 2̄, 5̄} = h1̄i, h4̄i =
{0̄, 4̄}, h5̄i = {0̄, 5̄, 2̄, 7̄, 4̄, 1̄, 6̄, 3̄} = h1̄i, h6̄i = {0̄, 6̄, 4̄, 2̄} = h2̄i, h7̄i = {0̄, 7̄, 6̄, 5̄, 4̄, 3̄, 2̄, 1̄} = h1̄i.
Niech H będzie dowolną podgrupą grupy Z8 . Jeśli do H należy co najmniej jeden z elementów
1, 3, 5, 7, to w H jest zawarta podgrupa generowana przez ten element, czyli H = Z8 .
Załóżmy teraz, że 1, 3, 5, 76∈H, czyli H ⊂ {0, 2, 4, 6}. Jeśli 2 ∈ H lub 6 ∈ H, to h2̄i = h6̄i ⊂ H,
czyli H = {0, 2, 4, 6}. Jeśli 2, 66∈H, to H ⊂ {0, 2, 4, 6}, czyli H = {0, 2} lub H = {0}.
12 Wskazówka. Niech H będzie dowolną podrupą grupy Zn , a k najmniejszą liczbą całkowitą
dodatnią, dla której k̄ ∈ H. Zauważ, że m̄ ∈ H ⇔ k | m. W szczególności, k | n.
14 a) Rozwiązanie. Kolejne potęgi elementu g 4 ∈ hgi2002 to:
g 4 , (g 4 )2 = g 8 , . . . , (g 4 )499 = g 1996 , (g 4 )500 = g 2000 , (g 4 )501 = g 2004 = g 2 , (g 4 )502 = g 2008 = g 6 ,
. . . , (g 4 )999 = g 3996 = g 1994 , (g 4 )1000 = g 4000 = g 1998 , (g 4 )1001 = g 4004 = e.
Najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią n, dla której (g 4 )n = e, jest 1001, więc |hg 4 i| = 1001.
15 Wskazówka. Ułóż tabelkę kolejnych potęg elementów grupy hgi12 i odczytaj wszystko z
tej tabelki.
18 Wskazówka.
Pierwsze cztery liczby są łatwe, kolejne trzy trzeba przedstawić w postaci trygonometrycznej
lub narysować na płaszczyźnie, a w następnych trzech zwracamy uwagę na moduł. Jedynie w
przypadku liczby 53 + 45 i trzeba się trochę napracować.
19 Odpowiedź: a) 1, b) 1, c) 2, d) 2, e) 4, f ) 2.
Piotr Jędrzejewicz, Ćwiczenia z algebry, III rok informatyki, wiosna 2003.
Przykłady grup przemiennych, wersja druga, 2 VI 2003.
3