Grupy – ćwiczenie 1 1. Sprawdzić, że zbiór M macierzy tworzy grupę

Grupy – ćwiczenie 1
1. Sprawdzić, że zbiór M macierzy tworzy grupę względem mnożenia macierzy.
1 x
1 + a −a
M=
:x∈Z ,
M=
:a∈Z .
0 1
a
1−a
2. Zapisz tabelę operacji dla grupy symetrii prostokąta, który nie jest kwadratem. (jest
to tzw. grupa czwórkowa Kleina, V4 )
3. Znajdź wszystkie podgrupy grupy symetrii kwadratu.
4. Grupę wszystkich symetrii n-kąta foremnego nazywamy grupą diedralną i oznaczamy Dn .
a) Wykaż,że ta grupa jest generowana przez przekształcenia g, h, gdzie g jest obrotem
n- kąta o kąt 2π
n (w kierunku dodatnim), a h jest odbiciem symetrycznym względem
osi przechodzącej przez wierzchołek 1 i środek wielokąta.
b) Wykaż, że w grupie D4 jest gh = hg −1 (stąd g r h = hg −r dla r ∈ N) i sporządź
tabelę grupy D4 .
c) Dn = {e, g, g 2 , . . . , g n−1 , h, gh, gh2 , . . . g n−1 h}
Wsk.: jeśli ponumerujemy wierzchołki 1,2,...,n, to wierzchołki 1,2 muszą przejść albo
na wierzchołki r + 1, r + 2, albo na r + 1, r.
5. Udowodnić, że pierwiastki zespolone stopnia n z 1 tworzą grupę. Pokazać, że jest
to grupa cykliczna, i znaleźć wszystkie generatory tej grupy.
6. Znajdź podgrupę (A) grupy GL2 (R) generowaną przez macierz
# " √
3
1
π
π
−
cos
−
sin
2
2
6
6
√
=
A=
1
3
cos π6
sin π6
2
2
Wyznacz wszystkie podgrupy tej grupy.
7. Niech n ∈ N i niech
Φ(n) = {k ∈ Zn : nwd(k, n) = 1}.
Udowodnić, że zbiór Φ(n) jest grupą względem mnożenia modulo n. Zbudować tabelki
działań w grupach Φ(5) i Φ(12).
8. Znajdź wszystkie podgrupy grupy Φ(8).
9. Utworzyć tabelkę działania w podanej grupie: a) Z2 × Z2 ; b) {−1, 1} × Z3 .
10. Znajdź wszystkie podgrupy grupy Z3 × Z3 .
11. Wykazać, że:
a) jeśli p jest liczbą pierwszą, to ϕ(pr ) = pr − pr−1 ;
b) jeśli nwd(m, n) = 1, to ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
c) Obliczyć ϕ(n) dla n = 6762 = 6 · 23 · 49 oraz n = 4059 = 9 · 11 · 41.
Zadanie domowe.
W.J.Gilbert, W.K.Nicholson, Algebra współczesna z zastosowaniami: 3.3, 3.10, 3.13,
3.25