Zadania przygotowawcze część II

Zadania przygotowawcze - część druga
1. Zbadaj w jakich punktach odwzorowanie H : R2 → [0, 1] dane wzorem H(x, y) =
(y, sin x) jest lokalnie odwracalne. Znajdź możliwie duży zbiór po obcięciu do którego
H jest globalnie
odwracalne. Znajdź pochodną odwzorowania odwrotnego w punkcie
√
K = (3, cos 2).
2. Polecenie jak wyżej dla H : R2 → R × R+ , H(x, y) = (x + 7, y 2 ), K = (7, 25).
3. Znajdź pochodne:
a) g 0 (x), jeśli: g(x) = f (x, y(x)), f (x, y) = x2 + 3xy sin x
b)
∂f ∂f
, ,
∂u ∂v
jeśli f (u − v, u + v) = eu · v + u2 ;
c) fz , ft jeśli: f (x, z) = xz · lnz, x = x(z, t) = zt2 .
3. Znajdź punkty, w których funkcja f zadaje y jako funkcję uwikłaną ϕ(x), jeśli f (x, y) =
x2 + y 2 − 4x − 5. Znajdź punkty zerowania się pochodnej funkcji uwikłanej y = ϕ(x).
Stwierdź, czy w tych punktach jest ekstremum, jeśli tak - określ czy jest to maksimum
czy minimum.
4. Dany jest zbiór S = {(x, y) ∈ R2 : x − exy + y 2 + y = 0}. Dobierz wartości a, b tak,
aby punkty (0, a) i (b, 0) należały do zbioru S. Stwierdź, czy możliwe jest w otoczeniu
tych punktów rozwikłanie zmiennej y względem x lub x względem y. Jeśli tak, znajdź
wartości pochodnych funkcji uwikłanych w odpowiednich punktach.
5. Udowodnij prawdziwość wzoru na pochodną funkcji złożonej, tzn udowodnij, że jeśli
f, g - różniczkowalne oraz złożenie f ◦ g istnieje, A = Dfg(p) , B = Dgp , to złożenie jest
różniczkowalne oraz: D(f ◦ g)p = A · B.
6. Udowodnij, że jeśli F = (f1 , f2 , . . . , fn ), fi : Rk → R dla i = 1, 2, . . . , n, oraz każda z
funkcji fi jest różniczkowalna, to funkcja F jest różniczkowalna.
1