atematyka

Matematyka
nych aksjomatów (faktów oczywistych, których nie wywodzimy z prostszych reguł, np. że 1≠ 0 – red.), dzięki którym – posługując się logiką i zbiorem prostych reguł – można wykazać
prawdziwość lub fałszywość każdego dowodu. Powinien istnieć
algorytm, który mechanicznie wygenerowałby wszystkie prawdy matematyczne. Powinna nawet istnieć maszyna, która wywodziłaby z aksjomatów wszystkie twierdzenia. Nie można tego
zrobić w praktyce, bo za długo by to trwało. Ale matematycy nie
dbają o czas. W teorii jest to możliwe. Bardzo ciekawy pomysł.
Wkrótce potem obalony.
Przez Kurta Gödla w 1931 r., a potem przez Alana Turinga w 1936 r. Zaczyna Gödel, zauważając, że nie można znaleźć zbioru aksjomatów dla wszystkich prawd matematycznych.
Skończonego zbioru. Istnieją prawdy, których nie da się udowodnić. Chociażby takie jak ta: Tego zdania nie da się udowodnić. Bo jeśli mamy stwierdzenie, które mówi, że nie można go
udowodnić, to jest ono prawdziwe tylko wtedy, kiedy nie można go udowodnić. Gdyby można je było udowodnić, dowiedlibyśmy, że jest fałszywe. Trochę to dziwne.
Bardziej fundamentalny wydaje mi się dowód Turinga. Wykazuje on, że są pytania w matematyce, na które nie da się odpowiedzieć za pomocą jakiejś mechanicznej procedury. Nie da się
systematycznie, mechanicznie wygenerować wszystkich prawd
matematycznych.
Co to oznacza dla matematyki?
sób statystyczny, takich, które tylko coś sugerują. Podobnych do
tych stosowanych w fizyce. Ponadto przekonuję, że istotą teorii
jest kompresja (początków tej idei można szukać w „Discours de
Métaphysique” Leibniza z 1686 r.). Ostatecznie teorii fizycznej
lub matematycznej wierzymy wtedy, jak mi się wydaje, gdy redukuje wiele faktów do małego zbioru aksjomatów i praw. Wierzymy w teorie, które kompresują nasze doświadczenie. Im bardziej, tym lepiej. Powiedziałbym, że w pewien sposób zrozumienie oznacza skondensowanie. W fizyce, w naukach empirycznych
to nic nowego. Ale system immunologiczny środowiska matematycznego odrzuca te idee.
Czy matematyka, w której jakość dowodu mierzy się jego długością,
nie traci na urodzie?
Co to znaczy, że coś jest piękne? Piękno jest subiektywne. Różni ludzie różnie je postrzegają. Szczęśliwie – bo w przeciwnym razie wszyscy chcielibyśmy ożenić się z tą samą kobietą, prawda? Zająłem się taką, a nie inną matematyką, bo wydała mi się piękna.
Fascynująca. Stała się źródłem obsesji. Wydaje mi się, że piękno to
dobre kryterium oceny teorii. Piękne teorie mogą inspirować do
ich badania. Brzydkie teorie – a kogo one obchodzą?
Poza tym – a po co istnieje gatunek ludzki? Myślę, że ostatecznie po to, by tworzyć piękno lub próbować zrozumieć Wszechświat. Teorię nazywamy piękną m.in. dlatego, że ma piękną
strukturę lub pomaga coś zrozumieć. Wielu z nas pracuje na
rzecz piękna. Ktoś wykonujący meble też. Może wszystko jest
pięknem? Może da się uzasadnić tezę, że wszystko jest zmysłowością – pięknymi ideami? Nie wiem. Na pewno teoria musi być
prosta. Gdyby mogła być arbitralnie skomplikowana, jej pojęcie
stałoby się bezsensowne. Bo wtedy zawsze byłaby jakaś teoria.
Może że jej prawdy są z natury wynikiem aktu twórczego?
Któż to może wiedzieć... Pytanie o pochodzenie matematyki jest
tak niepokojące, że w zasadzie wszyscy woleli o nim w ogóle nie
rozmawiać. Matematycy chcieli przecież mieć kuszące syrenim
śpiewem prawdy absolutne. Większość z nich sądziła, że to HilL i c zb owa w y ro c zn i a o r fi ck a
bert miał rację. Próbowała z całych sił ignorować Gödla i Turinga. I udało się – wydaje mi się, że znaczna część środowiska poŻegnamy się z prawdą absolutną w matematyce. Ale jakby tego było
stępuje tak, jakby chciała o nich zapomnieć.
mało, nie wiadomo, czy istnieje coś, tak wydawałoby się oczywistego,
Moim błędem było, że będąc dzieckiem dałem się opętać ideami
jak liczby rzeczywiste?
Gödla. Czułem, że to wyjątkowe odkrycia, które oznaczają, że maTak. W 1936 r. wspominał o tym Turing, ale nie poszedł na catematyka jest czymś zupełnie innym, niż się
łość. W słynnej pracy poświęconej matewszystkim wydawało. Postawiłem na to ca- Brytyjskie wydanie Meta Maths!:
matycznej idei komputera zastanawiał się,
łe swoje życie. Ale mogłem się mylić...
The Quest for Omega z 2005 r.
czy można obliczyć, cyfra po cyfrze, doNie ma pan pewności?
kładną wartość π (stosunku długości obNie potrafię skonstruować niezbitego dowodu koła do długości jego średnicy – red.)
wodu na to, że odkrycie Gödla jest rewolulub innych liczb, które matematycy znają
cyjne i całkowicie zmienia obraz matematyi kochają. Można by się spodziewać, że każki. Sam nie jestem o tym całkowicie przekodą liczbę rzeczywistą można obliczyć z donany. Wydaje mi się, że wyniki mojej prawolną dokładnością. Tymczasem okazało
cy naukowej zmierzają w tym kierunku i że
się (do czego przyczynił się Gödel), że jest
są jakąś propozycją dla przyszłych pokoleń
wprost przeciwnie. Szokujące odkrycie.
– jeśli tylko będą chciały o tym rozmyślać.
Pojęcie liczby rzeczywistej (liczb użyNie sądzę, żebym sam wpadł jeszcze na jawanych przez nas na co dzień, liczb całkokieś fundamentalnie nowe pomysły. Chociaż
witych, ułamków itp. – red.) w pewnym
nigdy nie wiadomo. Może będę miał szczęsensie jest jak jednorożec. To piękny maście. Prawdopodobnie jednak skupię się na
tematyczny koncept świetnie sprawdzająbudowaniu jak najlepszej argumentacji przecy się chociażby w rachunku różniczkociwko konwencjonalnej wizji matematyki.
wym (którego współautorem jest mój idol
Na przykład przekonując, że dowody maGottfried Wilhelm Leibniz), ale pojedyntematyczne mogą być mniej lub bardziej
cza liczba rzeczywista to rodzaj bajki.
prawdziwe?
Są ludzie, jak Stephen Wolfram (konPodsuwam myśl, że pojęcie dowodu ma
trowersyjny fizyk, matematyk i biznesmen
charakter ciągły – od dowodów całkowicie
brytyjski – red.) oraz ja sam, którzy twierprzekonujących do wiarygodnych w spodzą wręcz, że być może liczby rzeczywiste
26
N I E Z B Ę D N I K I N T E L I G E N T A P O L I T Y K A NR 8 (2693), 21 LUTEGO 2009