Sylabus Nazwa przedmiotu (w j. polskim i angielskim) Nazwisko i

Sylabus
Twierdzenia Gődla
(Gődel’s incompleteness theorems)
Nazwa przedmiotu
(w j. polskim i angielskim)
Nazwisko i imię prowadzącego
(stopień i tytuł naukowy)
Gruszczyński Rafał, dr, adiunkt
Rok i semestr studiów
Wymiar godzin
Kod przedmiotu
Kod Erasmus
Liczba punktów ECTS
Język wykładowy
Forma zajęć
Rok II i III, semestry czwarty, piąty i szósty
Sposób zaliczenia
Egzamin ustny
Wymagania wstępne wobec
studenta
Skrócony opis przedmiotu
Ukończona wstęp do logiki i matematyki dla kognitywistów
Pełny opis przedmiotu
Spośród wielu znakomitych udowodnionych przez austriackiego
logika Kurta Gödla twierdzeń trzy noszą zaszczytne miano twierdzeń
Gödla. Są to: twierdzenie o pełności dla teorii pierwszego rzędu,
twierdzenie o niezupełności arytmetyki Peano oraz twierdzenie o
niedowodliwości niesprzeczności arytmetyki Peano. Z wynikami
owymi, zwłaszcza z drugim i trzecim z przywołanych, wiąże się wiele
nieporozumień na polu logiki, a jej adeptom niejaką trudność (czasem
dużą) sprawia nie tylko zrozumienie właściwej ich treści, ale także
właściwe uchwycenie wzajemnych, wielce subtelnych, związków
jakie między owymi twierdzeniami zachodzą.
Głównym celem seminarium jest taka prezentacja i analiza twierdzeń
Gödla, która pozwoli uczestnikom pełne zrozumienie ich treści oraz
konsekwencji jakie niosą ze sobą owe twierdzenia nie tylko dla
matematyki i jej filozofii, ale przede wszystkim filozofii umysłu i
szeroko rozumianej metodologii nauk dedukcyjnych. Analiza owa
zostanie dokonana z zachowaniem szczególnej ścisłości i precyzji
narzędzi logicznych i matematycznych.
Obowiązkowa.
R. Smullyan Gődel’s incompleteness theorems, Oxford 1992
J.R. Lucas Minds, machines and Gödel, Philosophy, XXXVI, 1961
P. Benacerraf God, The Devil, and Gödel, The Monist, 51 No. 1
(1967), 9-32
J. R. Lucas Satan stultified: a rejoinder to Paul Benacerraf, The
Monist, vol.52, No.1, 1968, pp. 145–158
Literatura
90
0951-K-S1-2-SL1
2
polski
Seminarium
Podstawowym celem seminarium jest wnikliwa analiza dwóch
twierdzeń Gődla o niezupełności arytmetyki Peano.
Ponadobowiązkowa
D. R. Hofstadter Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid,
Penguin Books, 2000
S. Krajewski Twierdzenie Gődla i jego interpretacje filozoficzne,
Warszawa 2003
R. Murawski Funkcje rekurencyjne i elementy metamatematyki,
Efekty uczenia się
Poznań 1990
R. Smullyan Na zawsze nierozstrzygnięte, Warszawa 2007
R. Smullyan Recursion theory for metamathematics, Oxford 1993
Wiedza:
student posiada szczegółową wiedzę, związaną z twierdzeniami
Gődla;
rozumie rolę jaką twierdzenia owe odgrywają w filozofii matematyki,
rozumie rolę jaką twierdzenia Gődla mają dla filozofii umysłu
potrafi ulokować je w kontekście historycznym i potrafi uzasadnić ich
doniosłość metodologiczną.
Umiejętności:
student potrafi nakreślić dowody dwóch twierdzeń Gődla; rozwiązuje
samodzielnie zadania; posługuje się sprawnie pojęciami logiki takimi
jak pełność, ω-niesprzeczność, zgodność etc.
Metody i kryteria oceniania
Egzamin ustny.
Zakres tematów (bloki
tematyczne)
Bloki tematyczne:
1. Program Hilberta a twierdzenie Gödla.
2. Pojęcie teorii pierwszego rzędu. Arytmetyka Peano jako
teoria pierwszego rzędu.
3. Pierwsze i drugie twierdzenie Gödla – ich treść i podstawowe
konsekwencje dla logiki i matematyki.
4. Ogólna postać pierwszego twierdzenia Gödla. Ogólne
własności języków, do których stosuje się pierwsze
twierdzenie Gödla.
5. Zbiory liczb naturalnych i ich zdania Gödlowskie.
6. Arytmetyzacja systemu aksjomatycznego – metoda
konkatenacji.
7. Metoda Tarskiego uzyskiwania samoodniesienia w języku
arytmetyki.
8. Twierdzenie Tarskiego dla Arytmetyki.
9. Pojęcia ω-niesprzeczności oraz ω-zupełności.
10. Podsystemy arytmetyki Peano. Arytmetyka Robinsona.
11.
- zupełność arytmetyki.
12. Zdania Rossera. Zdania Rossera a zdania Gödla.
13. Twierdzenie Gödla a filozofia umysłu
14. Argument Lucasa-Penrose’a
15. Argumenty Paula Benaceraffa
Metody dydaktyczne
Praktyki zawodowe w
ramach przedmiotu
Rozwiązywanie zadań
Referowanie zagadnień
Wykład
Brak