Wprowadzenie 5

Wprowadzenie nr 5* do ćwiczeń z przedmiotu „Wytrzymałość materiałów”
przeznaczone dla studentów II roku studiów dziennych I stopnia w kierunku
„Energetyka” na wydz. Energetyki i Paliw, w semestrze zimowym 2012/2013
1. Zakres wprowadzenia nr 5
To wprowadzenie dotyczy ćwiczenia, na którym kaŜdy student samodzielnie opracowuje „Arkusz
ćwiczeniowy nr 5”. Przez opracowanie tego arkusza studenci nabywają umiejętność analizy i oceny
energetycznej odkształceń spręŜystych materiału z wykorzystaniem podstawowych zaleŜności konstytutywnych
nazywanych uogólnionym prawem Hooke’a .
2. Pojęcia podstawowe
•Odkształcenie bryły: zmiana objętości i postaci bryły
wskutek działania sił zewnętrznych.
•Odkształcenie wybranego punktu bryły: zmiana objętości i postaci elementarnego prostopadłościanu (EP) o początkowych wymiarach dx, dy, dz oraz o początkowych
kątach między krawędziami równych 0,5π , wskutek działania napręŜeń.
•Główne załoŜenie stosowane w analizie odkształceń:
wydłuŜenia
∆x, ∆y, ∆z krawędzi EP są wywoływane przez
napręŜenia normalne, natomiast zmiany γxy , γxz , γyx
kątów pomiędzy poszczególnymi krawędziami EP – przez
napręŜenia styczne.
*Autorem wprowadzenia jest Marek Płachno, prof. ndzw. AGH. Wprowadzenie (8 stron) stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zm.). Autor
1
nie wyraŜa zgody na inne wykorzystywanie wprowadzenia niŜ podane w jego przeznaczeniu
Stan odkształcenia i jego parametry (1)
Odkształcenia objętościowe:
WydłuŜenia względne poszczególnych
krawędzi EP definiowane jako:
εx =
∆dx
,
dx
εy =
Odkształcenia
∆dy
,
dy
εz =
objętościowe
∆dz
dz
powodują
zmianę objętości EP bez zmiany jego
postaci, tzn. odkształcony objętościowo
EP pozostaje prostopadłościanem.
Odkształcenia postaciowe:
Wartości kątów
γxy, γxz, γyz ( w radianach) określające zmianę kształtu ścian EP
z prostokątów w równoległoboki, bez zmiany powierzchni tych ścian.
Odkształcenia postaciowe zmieniają EP w graniastosłup o równoległych podstawach,
ale objętość graniastosłupa pozostaje taka sama jak nieodkształconego EP.
2
1
Stan odkształcenia i jego parametry (2)
Elementarny prostopadłościan
odkształcony objętościowo
Elementarny prostopadłościan
odkształcony postaciowo
3
ZaleŜności pomiędzy parametrami stanu
odkształcenia i napręŜenia (1)
Uogólnione prawo Hooke’a dla odkształcenia objętościowego
ε1 =
1
[ σ 1 − ν ( σ 2 + σ 3 )]
E
ε3 =
,
ε2 =
1
[ σ 2 − ν ( σ 1 + σ 3 )]
E
1
[ σ 3 − ν ( σ 1 + σ 2 )]
E
ε1 , ε2 , ε 3 -
parametry stanu odkształcenia objętościowego w analizowanym punkcie bryły, w kierunku napręŜeń głównych.
σ1 , σ2 , σ3
– napręŜenia główne w analizowanym punkcie bryły,
E – moduł spręŜystości wzdłuŜnej (Younga) dla materiału bryły,
ν -
liczba Poissona dla materiału bryły.
4
2
ZaleŜności pomiędzy parametrami stanu
odkształcenia i napręŜenia (2)
Uogólnione prawo Hooke’a
dla odkształcenia postaciowego
γ xy
=
τ xy
G
,
γ xz = τ xz , γ yz =
τ yz
G
G
γxy , γ xz , γ yz – parametry stanu odkształcenia postaciowego w analizowanym punkcie bryły,
τxy , τxz , τyz - parametry stanu napręŜeń stycznych w analizowanym
punkcie bryły,
G
– moduł spręŜystości postaciowej
(Kirchhoffa), MPa, dla materiału
bryły, przy czym:
G=
E
2( 1 + ν )
5
Uwaga
Uogólnione prawo Hooke’a jest zgodne
z wynikami empirycznymi
dla odkształceń i napręŜeń zmieniających się
od zera
do wartości nazywanych
granicami zakresu spręŜystego
6
3
Energia odkształcenia spręŜystego
Jest to energia zakumulowana w jednostce objętości materiału wskutek
występowania w tym materiale określonego stanu odkształcenia
Energia objętościowego odkształcenia spręŜystego
ΦO =
1 − 2ν
( σ 1 + σ 2 + σ 3 )2
6E
σ1 , σ2 , σ3 – napręŜenia główne w analizowanej objętości materiału,
E – moduł spręŜystości wzdłuŜnej (Younga) dla materiału,
ν -
liczba Poissona dla materiału.
Energia postaciowego odkształcenia spręŜystego
ΦP =
1 +ν
[( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 1 − σ 3 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 ]
6E
Całkowita energia odkształcenia spręŜystego
Φ = ΦO + Φ P
Parametry
własności spręŜystych
róŜnych materiałów
Moduł Younga,
MPa
Liczba
Poissona
Stal węglowa
konstrukcyjna
2,05—105
0,24 ÷ 0,30
Stal
spręŜynowa
2,11 —105
0,24 ÷ 0,30
(1,15 ÷ 1,60) —105
0,23 ÷ 0,27
Stopy
aluminium
0,72 —105
0,26 ÷ 0,36
Stopy tytanu
1,12 —105
-----
Beton
(0,18 ÷ 0,44) —105
0, 16 ÷ 0,18
Szkło
0,6 —105
0, 25÷ 0,30
Materiał
śeliwo
7
Wpływ temperatury na własności
spręŜyste materiałów
na przykładzie stali węglowej
8
4
Kierunki analizowania odkształceń
1. Kierunki osi x, y, z, pokrywające się z kierunkami przyjętymi dla
napręŜeń w analizowanym punkcie bryły.
2. Kierunki 1, 2, 3 wzajemnie prostopadłe, pokrywające się z kierunkami
głównymi stanu napręŜenia w analizowanym punkcie bryły.
Odkształcenia o kierunkach napręŜeń głównych,
ε1, ε2, ε3
mają nazwę
„odkształcenia główne”
Przypadki stanów odkształceń
Stan odkształcenia, w którym:
ε1 ≠ 0 , ε2 ≠ 0 , ε3 ≠ 0
Przestrzenny (trójosiowy) stan
odkształcenia:
ε1 ≥ ε2 ≥ ε3
Stan odkształcenia, w którym np.:
Płaski (dwuosiowy) stan
odkształcenia:
ε3 = 0 oraz ε1 ≥ ε2 >0
Stan odkształcenia, w którym np.:
ε2 = ε3 = 0 oraz ε1 > 0
9
Jednoosiowy stan
odkształcenia:
Analiza stanu odkształcenia
Przykład obliczeniowy 1
Sześcian o krawędzi
a został obciąŜony
siłą P, która w kaŜdym punkcie objętości
sześcianu wywołuje jednoosiowy stan
napręŜeń głównych:
σ1 = σ2 = 0 , σ3 = -100 MPa
Obliczyć odkształcenia ε1, ε2, ε3 dla dwu wykonań sześcianu, tj.:
• ze stali konstrukcyjnej , której
parametry własności spręŜystych
mają wartości: ES = 2,05 —105 MPa,
νS =
0,26,
• ze stopu aluminium, którego parametry własności spręŜystych są określone jako: EA = 0,72 ·105 MPa,
νA =
0, 26.
10
5
Analiza stanu odkształcenia
Przykład obliczeniowy 1 (c.d.)
Dane dla sześcianu ze stali:
σ1 = σ2 = 0
σ3 = -100 MPa
ES = 2,05 —105 MPa,
νS =
Obliczenia odkształceń
0,26
ε1, ε2, ε3 dla sześcianu ze stali:
ε1 =
1
1
[ σ 1 − ν ( σ 2 + σ 3 )] =
[0 − 0,26(0 − 100)] = 0,13 ⋅ 10 − 3
E
2,05 ⋅ 10 5
ε2 =
1
1
[ σ 2 − ν ( σ 1 + σ 3 )] =
[0 − 0,26(0 − 100)] = 0,13 ⋅ 10 − 3
E
2,05 ⋅ 10 5
ε3 =
1
1
[ σ 3 − ν ( σ 1 + σ 2 )] =
[ −100 − 0,26(0 + 0)] = − 0,49 ⋅ 10 − 3
E
2,05 ⋅ 10 5
11
Analiza stanu odkształcenia
Przykład obliczeniowy 1 (c.d.)
Wyniki obliczeń
Materiał
sześcianu
Sześcian ze stali
o parametrach
E = 2,05·105 MPa
ν = 0,26
Sześcian ze stopu
aluminium
o parametrach
E = 0,72·105 MPa
ν = 0,26
NapręŜenia i odkształcenia
σ1
ε1
σ2
ε2
σ3
ε3
0
0,13· 10-3
0
0,13· 10-3
- 100 MPa - 0,49· 10-3
0
0, 37· 10-3
0
0, 37·10-3
- 100 MPa - 1,39 ·10-3
Wniosek
Przy takich samych napręŜeniach materiału, jego odkształcenia
są tym większe, im mniejszy jest moduł
E spręŜystości wzdłuŜnej
(moduł Younga) tego materiału
12
6
Analiza stanu odkształcenia
Przykład obliczeniowy 2
Sześcian pokazany na rysunku pozbawiono moŜliwości
odkształceń w kierunku osi 2, aby spowodować w sześcianie dwuosiowy stan napręŜeń. W tym celu umieszczono sześcian w wycięciu sztywnej płyty.
σ2 oraz odkształcenia ε1 i ε3 przy załoŜeniu, Ŝe ε2 = 0 oraz
Ŝe σ1 = 0, σ3 =-100 MPa, a sześcian jest
Obliczyć napręŜenie
wykonany ze stopu aluminium jak przykładzie 1.
Obliczony stan odkształceń i napręŜeń sześcianu nieswobodnego
(umieszczonego w wycięciu płyty) porównać ze stanem napręŜeń i odkształceń obliczonym w przykładzie 1 dla sześcianu swobodnego.
13
Analiza stanu odkształcenia
Przykład obliczeniowy 2 (c.d.)
Dane:
σ1 = 0, σ3 =-100 MPa , ε2 = 0
E = 0,72—105 MPa, ν = 0, 26
σ 2 , ε1 , ε3
Równanie do obliczeń i obliczenie napręŜenia σ2:
Obliczyć :
ε 2 = 1 [ σ 2 − ν ( σ 1 + σ 3 )] = 0
E
⇒ σ 2 = ν ( σ 1 + σ 3 ) = 0,26 ⋅ (0 − 100) = −26 MPa
Wzór do obliczeń i obliczenie odkształcenia
ε 1 = 1 [ σ 1 − ν ( σ 2 + σ 3 )] =
E
1
0,72 ⋅10 5
ε1:
−3
[0 − 0,26( −26 − 100)] = 0,46 ⋅ 10
Wzór do obliczeń i obliczenie odkształcenia
ε 3 = 1 [ σ 3 − ν ( σ1 + σ 2 )] =
E
1
0,72 ⋅ 10 5
ε3:
[ −100 − 0,26 ⋅ (0 − 26)] = −1,31 ⋅ 10 − 3
14
7
Analiza stanu odkształcenia - przykład obliczeniowy 2 (c.d.)
Wyniki obliczeń
NapręŜenia i odkształcenia
Sześcian
σ1
ε1
σ2
ε2
σ3
ε3
Swobodny
(rys. z lewej strony)
0
0, 37· 10-3
0
0, 37· 10-3
- 100 MPa
-1, 39·10-3
Nieswobodny
(rys. z prawej strony)
0
0, 46· 10-3
- 26 MPa
0
- 100 MPa
- 1, 31·10-3
Wniosek
Ograniczenie swobody odkształceń materiału powoduje wzrost napręŜeń
w materiale tym większy, im większa jest liczba Poissona
Koniec wprowadzenia nr 5
ν
tego materiału.
15
8