Streszczenie: W artykule omówiono praktyczne podstawy

Streszczenie:
W artykule omówiono praktyczne podstawy projektowania konstrukcji budowlanych według
Eurokodu PN-EN 1990. Podano metody i procedury probabilistyczne analizy niezawodności
konstrukcji. Podano związek między prawdopodobieństwem zniszczenia (awarią wyczerpania
nośności) a wskaźnikiem niezawodności. Przedstawiono przyjęte w Eurokodach standardy i
wymagania związane z jakością konstrukcji budowlanych oraz zarządzanie ich
niezawodnością.
Słowa kluczowe: bezpieczeństwo konstrukcji, współczynnik niezawodności konstrukcji,
stany graniczne nośności, standardy jakościowe konstrukcji
Zasady projektowania konstrukcji budowlanych z uwzględnieniem aspektów ich
niezawodności wg Eurokodu PN-EN 1990
Autor:
prof. dr hab. inż. Antoni Biegus
W metodach probabilistycznych analizy niezawodności konstrukcji budowlanych miarą
bezpieczeństwa jest prawdopodobieństwo zawodności (awarii, wyczerpania nośności) pf, przy
założonym modelu zniszczenia i odpowiednio przyjętym okresie eksploatacji obiektu.
Wartości te oblicza się i porównuje z wartością docelową p0. Jeśli prawdopodobieństwo
zawodności pf < p0, to konstrukcję uważa się za bezpieczną. Jest to najbardziej obiektywna
miara ryzyka awarii konstrukcji budowlanych.
Procedury probabilistycznego sprawdzania bezpieczeństwa konstrukcji budowlanych
można podzielić na dwie klasy:
− metody w pełni probabilistyczne (poziomu III), oraz
− metody niezawodności I rzędu (FORM – first order reliability methods, poziomu II).
Metody w pełni probabilistyczne (poziomu III) umożliwiają w zasadzie uzyskanie
poprawnego rozwiązania problemu oceny niezawodności konstrukcji budowlanych. Metody
te są jednak rzadko stosowane do kalibracji miar bezpieczeństwa w normach. Powodem jest
brak niezbędnych do analiz probabilistycznych pełnych danych statystycznych dotyczących
parametrów generujących efekty obciążenia oraz nośności.
Metody probabilistyczne poziomu II wykorzystują pewne dobrze zdefiniowane
przybliżenia i pozwalają na uzyskanie wyników, które w większości przypadków zastosowań
konstrukcyjnych mogą być uważane za wystarczająco dokładne.
Miarę niezawodności konstrukcji budowlanych w metodach poziomu III i poziomu II
należy identyfikować z prawdopodobieństwem przetrwania (niezniszczenia) ps = (1 – pf),
gdzie pf jest prawdopodobieństwem zniszczenia rozważanej postaci wyczerpania nośności, w
zakresie odpowiedniego przedziału czasu (miara awaryjności). Jeśli oszacowane
prawdopodobieństwo zniszczenia pf jest większe od ustalonej wartości docelowej p0, to uważa
się, że konstrukcja jest bezpieczna.
Metody probabilistyczne poziomu II posługują się alternatywną miarą bezpieczeństwa
konstrukcji w postaci wskaźnika niezawodności β, związanego z prawdopodobieństwem
zniszczenia pf zależnością:
p f = φ (− β )
(2.40)
gdzie: φ – funkcja prawdopodobieństwa standaryzowanego rozkładu normalnego.
Związek między wskaźnikiem niezawodności β i prawdopodobieństwem zniszczenia pf
podano w tabeli 2.10., wartości docelowe wskaźnika niezawodności β dla elementów
konstrukcyjnych klasy RC2 według PN-EN 1990 podano zaś w tabeli 2.11.
Tabela 2.10. Związek między prawdopodobieństwem zniszczenia pf i wskaźnikiem
niezawodności β
Awaryjność pf
Wskaźnik niezawodności β
10–1
1,28
10–2
2,32
10–3
3,09
10–4
3,72
10–5
4,27
10–6
4,75
10–7
5,20
Wartości wskaźnika niezawodności β i odpowiadające im prawdopodobieństwa
zniszczenia pf są wartościami formalnymi lub pojęciowymi, których zadaniem jest służyć
raczej jako narzędzie do opracowywania spójnych reguł wymiarowania, niż jako docelowy
opis częstości zniszczenia konstrukcji.
Tabela 2.11. Wartości docelowe wskaźnika niezawodności β elementów
konstrukcyjnych klasy RC2 według PN-EN 1990
Stan graniczny
Docelowy wskaźnik niezawodności
1 rok
50 lat
Nośności
4,7
3,8
Zmęczenia
1,5 do 3,8*
Użytkowalności (nieodwracalny)
2,9
1,5
*
Zależy od stopnia inspekcji, możliwości reperacji i tolerancji uszkodzenia
Wartości podane w tabeli 2.11. należy uważać za racjonalne wymagania minimalne,
wynikające z obliczeń kalibracyjnych norm projektowania. W obliczeniach tych przyjmuje się
zwykle w przypadku parametrów wytrzymałościowych i niepewności modelu rozkłady
logarytmiczno-normalne lub Weibulla. Rozkłady normalne zakłada się zwykle w odniesieniu
do ciężaru własnego, a do obciążeń zmiennych – rozkłady ekstremalne. Należy podkreślić, że
obliczenia kalibracyjne wykazały duży rozrzut wartości, rodzaju komponentu konstrukcji i
kwantyfikacji różnych niepewności. Wartość wskaźnika niezawodności 3,8 dla stanu
granicznego nośności przyjęta została w wielu zastosowaniach, dotyczących głównie
nośności. Nie oznacza to jednak, że standardowe wymiarowanie zgodnie z Eurokodami
prowadzi do wartości wskaźnika niezawodności β równych lub bliskich takiemu założeniu. W
rzeczywistości dotychczas nie oceniono Eurokodów z tego punktu widzenia.
Niezawodność konstrukcji zależy od losowego rozkładu dwóch podstawowych wielkości
ją generujących: nośności R(ω) i efektów obciążeń E(ω). Aby szacować niezawodność,
należy znać rozkłady losowej funkcji nośności fR i losowej funkcji efektów obciążeń fE (rys.
2.9.). Obie funkcje, obciążenie fE i nośność fR są losowymi funkcjami czasu. W
probabilistycznym sensie niezawodność definiuje się jako prawdopodobieństwo, że
konstrukcja jest zdolna przenieść obciążenia, które na nią działają, bez zniszczenia, w
określonym przedziale czasu (z uwzględnieniem funkcji czasu).
Prawdopodobieństwo zniszczenia konstrukcji pf może być wyrażone za pomocą losowej
funkcji jej stanu granicznego g(ω) (nazywaną również funkcją zapasu nośności lub funkcją
niezniszczenia), tak sformułowanej, aby: gdy g(ω) > 0 – konstrukcja była uważana za
bezpieczną, a gdy g(ω) < 0 – za niebezpieczną. Prawdopodobieństwo zniszczenia konstrukcji
pf opisuje zależność:
p f = Pr{ g (ω ) ≤ 0}
(2.41)
gdzie Pr{.} – prawdopodobieństwo.
Losową funkcję stanu granicznego g(ω), pokazaną na rysunku 2.9., wyznacza się ze
wzoru:
g (ω ) = R (ω ) − E (ω )
(2.42)
gdzie:
R(ω) – losowa funkcja nośności,
E(ω) – losowa funkcja efektu obciążeń.
Konstrukcję określa się jako bezpieczną, gdy:
g (ω ) = R (ω ) − E (ω ) > 0
(2.43)
a w stanie awaryjnym, gdy:
g (ω ) = R (ω ) − E (ω ) ≤ 0
(2.44)
Rys. 2.9. Analiza losowej funkcji stanu granicznego konstrukcji
Losowa funkcja stanu granicznego konstrukcji g(ω) może przybierać wartości dodatnie,
ujemne i zero (patrz rys. 2.9.).
Zakładając, że zmienne losowe nośności konstrukcji R(ω) i jej losowych efektów
obciążenia E(ω) mają rozkłady normalne – odpowiednio fR oraz fE, to zmienną losową stanu
granicznego g(ω) opisuje również rozkład normalny fg, wyrażony zależnością:
fg =
1
−( g − g ) 2 / 2 sg
e
sg 2π
(2.45)
Parametry losowej funkcji stanu granicznego, tj. wartość średnią g i odchylenia
standardowe sg, oblicza się ze wzorów:
g =R −E
(2.46)
sg = sR2 + sE2
(2.47)
gdzie:
R , E – wartość średnia odpowiednio nośności i efektów obciążeń;
sR, sE – odchylenie standardowe odpowiednio nośności i efektów obciążeń.
Niezawodność konstrukcji wyraża się przez prawdopodobieństwo, że funkcja stanu
granicznego g(ω) nie przybierze ujemnych wartości (rys. 2.9.). Awaryjność (zawodność)
konstrukcji (pole zakreskowane na rys. 2.9.) wyraża całka:
0
pf =
∫ f dg
g
(2.48)
−∞
Alternatywnie niezawodność konstrukcji można oszacować, analizując, przy jakiej
wartości β (patrz rys. 2.9.) funkcja stanu granicznego g(ω) przybiera wartość równą zeru,
przyjmując jako miarę odchylenie standardowe zapasu nośności sg. Należy więc rozwiązać
równanie:
g − β sg = 0
(2.49)
Parametr β oblicza się więc ze wzoru:
β=
g
sg
(2.50)
Określa się go wskaźnikiem niezawodności β (lub współczynnikiem ufności) i wyznacza
ze wzoru:
β=
R −E
sR2 + sE2
(2.51)
Po obliczeniu wskaźnika niezawodności β, z tablic rozkładu normalnego można oszacować
prawdopodobieństwo zniszczenia konstrukcji pf. Na rysunku 2.10. pokazano zależność
prawdopodobieństwa zniszczenia konstrukcji pf w funkcji wskaźnika niezawodności β .
Rys. 2.10. Zależność prawdopodobieństwa zniszczenia konstrukcji pf w funkcji wskaźnika
niezawodności β
Wskaźnik niezawodności β (2.51) stanowi obiektywną miarę bezpieczeństwa konstrukcji.
Jeśli wskaźnik niezawodności β przybiera duże wartości, to konstrukcja ma większe
bezpieczeństwo.
Metody probabilistyczne analizy niezawodności konstrukcji budowlanych, wykorzystujące
specyfikacje według tabeli 2.11., są zalecane w postanowieniach PN-EN 1990 do
kalibrowania miar niezawodności w inżynierskiej metodzie stanów granicznych i
współczynników częściowych. W tabeli 2.12. podano minimalne wartości wskaźnika
niezawodności βu przypisane klasom niezawodności RC w stanach granicznych nośności.
Przykładowo, w przypadku 50-letniego okresu odniesienia w stanie granicznym
konstrukcji klasy niezawodności RC2, wskaźnik niezawodności βu = 3,8, któremu odpowiada
prawdopodobieństwo zniszczenia pf = 0,00007.
Tabela 2.12. Minimalne wartości wskaźnika niezawodności βu przypisane klasom
niezawodności RCX w stanach granicznych nośności według PN-EN 1990
Klasa niezawodności
RC3
RC2
RC1
Minimalny wskaźnik niezawodności βu
dla okresu odniesienia
1 rok
50 lat
5,2
4,3
4,7
3,8
4,2
3,3
Prezentowane podejście do analizy szacowania bezpieczeństwa konstrukcji umożliwia w
sposób świadomy generowanie zapasu nośności konstrukcji, w wyniku indywidualnie
przyjmowanego indeksu niezawodności β, w zależności od prognozowanych następstw
zniszczenia ustroju. W zależności od skutków awarii (zagrożenia dla ludzi, strat materialnych)
można więc przyjąć optymalny w analizowanym obiekcie wskaźnik niezawodności β.
Przedstawiona analiza szacowania bezpieczeństwa konstrukcji może być wykorzystana w
prognozowaniu niezawodności nietypowych obiektów budowlanych (na przykład
ekspertyzach obiektów projektowanych według nieaktualnych obecnie przepisów
normowych, obiektów niekonwencjonalnie obciążonych lub konstrukcji, których nośność
została określona metodami eksperymentalnymi).
Należy zwrócić uwagę, że rzeczywista częstość zniszczenia w znacznym stopniu zależy od
błędu ludzkiego, który nie jest uwzględniony w obliczeniach według metody współczynników
częściowych. Dlatego wskaźnik niezawodności β niekoniecznie zawiera wskazania o
rzeczywistej częstości zniszczenia konstrukcji.
Artykuł jest fragmentem książki „VADEMECUM PROJEKTANTA tom 1. Podstawy
projektowania konstrukcji budowlanych”, Oficyna Wydawnicza POLCEN 2016.