2 Procenty

Transkrypt

2 Procenty

TORUS Kursy matematyki. Poziom podstawowy. Procenty.
2
Procenty
W tej lekcji przypomnimy sobie poj¦cie procentu i zwi¡zane z nim podstawowe typy zada«.
Prosimy o zapoznanie si¦ z regulaminem na ostatniej stronie.
2.1
Poj¦cie procentu
1
Procent jest to jedna setna pewnej wielko±ci. To po prostu skrócony zapis uªamka 100
. Przykªady:
• 1% =
1
100
,
• 15% = 15 ·
1
100
=
15
100
= 0, 15,
• 30% = 0, 30,
• liczba 20 stanowi 20% liczby 100: 20 = 20% liczby 100 = 0, 2 · 100.
W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci:
• znajdowanie procentu danej liczby,
• obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba,
• znajdowanie liczby, której dany procent jest inn¡ liczb¡.
2.2
Znajdowanie procentu danej liczby
Aby obliczy¢ p% liczby x, zamieniamy p% na uªamek (zwykªy:
mno»ymy przez x.
p
100
lub dziesi¦tny: 0, 01p) i
Przykªady.
• 25% liczby 150 =
25
100
· 150 =
150
4
= 37, 5;
• 37% liczby 11 = 0, 37 · 11 = 4, 07;
• 4, 05% liczby 24 = 0, 0405 · 24 = 0, 972;
• 600% liczby 13 =
2.3
600
100
· 13 = 6 · 13 = 78.
Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba
Aby obliczy¢, jakim procentem liczby a jest liczba b, nale»y pomno»y¢ uªamek
Przykªad.
b
a
przez 100%.
Jakim procentem liczby a jest liczba b, je±li:
(a)
a = 20, b = 4;
(b)
a = 5000, b = 9;
(c)
a = 21, b = 63.
Rozwi¡zanie.
TORUS Kursy matematyki http://torus.edu.pl/ [email protected] tel. 698 991 340
· 100% = 4 · 5% = 20%, zatem liczba 4 stanowi 20% liczby 20;
(a)
b
a
· 100% =
4
20
(b)
b
a
· 100% =
9
5000
(c)
b
a
· 100% =
63
21
2.4
· 100% =
9
%
50
= 0, 18%, zatem liczba 9 stanowi 0,18% liczby 5000;
· 100% = 3 · 100% = 300%, zatem liczba 63 stanowi 300% liczby 21.
Znajdowanie liczby, której dany procent jest inn¡ liczb¡
Najªatwiej zobaczy¢, o co chodzi na przykªadzie.
Przykªad.
Znajdziemy liczb¦ x, tak¡ »e:
(a)
55% liczby x jest równe 44;
(b)
0,2% liczby x jest równe 3.
Rozwi¡zanie.
(a)
Rozwi¡zujemy równanie:
55% liczby x = 44,
0, 55 · x = 44,
44
,
x = 0,55
x = 80.
(b)
Rozwi¡zujemy równanie:
0,2% liczby x = 3,
0, 002 · x = 3,
3
,
x = 0,002
x = 1500.
2.5
Poj¦cie punktu procentowego
Gdy rozpatrujemy zmian¦ pewnej wielko±ci, która sama jest wyra»ona w procentach, mo»e
doj±¢ do pewnych nieporozumie«. Zobaczmy to na przykªadzie.
Przykªad.
Inacja wynosiªa 5%, a nast¦pnie wzrosªa o 20%. Ile teraz wynosi inacja?
Rozwi¡zanie.
5%, to znaczy:
Poniewa» inacja wzrosªa o 20%, jej obecna warto±¢ stanowi 100%+20% z warto±ci
(100% + 20%) liczby 5 = 120% liczby 5 = 1, 2 · 5 = 6(%).
Mogªoby si¦ wydawa¢, »e inacja, wzrastaj¡c o 20%, powinna teraz wynosi¢ 25%. Ale jest to bª¦dne
rozumowanie. Aby unikn¡¢ nieporozumie«, wprowadza si¦ poj¦cie punktu procentowego. Jest to
ró»nica mi¦dzy dwiema warto±ciami danej wielko±ci podanymi w procentach. Na przykªad:
• inacja, wzrastaj¡c z poziomu 5% do poziomu 6%, zwi¦kszyªa si¦ o 1 punkt procentowy (ale
nie o 1 procent);
• inacja, wzrastaj¡c z poziomu 5% do poziomu 25%, zwi¦kszyªa si¦ o 20 punktów procen-
towych (ale nie o 20 procent).
2.6
Przykªadowe zadania
Rozwi¡»my jeszcze kilka przykªadowych zada« na procenty.
Maksymalna dªugo±¢ nart skoczka narciarskiego wynosi 146% jego wzrostu, przy
czym otrzymany wynik zaokr¡gla si¦ do 1 cm. Jak¡ najwi¦ksz¡ dªugo±¢ mog¡ mie¢ narty skoczka,
który ma 169 cm wzrostu?
Zadanie 1.
Rozwi¡zanie.
Obliczamy
146% liczby 169 = 1, 46 · 169 = 246, 74 (cm)
i zaokr¡glamy do peªnych centymetrów:
246, 74 ≈ 247.
Odpowied¹.
Narty skoczka mog¡ mie¢ maksymalnie 247 cm dªugo±ci.
Na wycieczk¦ pojechaªo 7 dziewczyn, które stanowiªy 43,75% liczby wszystkich uczestników wycieczki. Ile osób pojechaªo na wycieczk¦?
Zadanie 2.
Rozwi¡zanie.
nanie:
Odpowied¹.
Oznaczmy liczb¦ osób, które pojechaªy na wycieczk¦ przez x. Rozwi¡zujemy rów43, 75% liczby x = 7
43, 75
·x=7
100
700
x=
= 16
43, 75
Na wycieczk¦ pojechaªo 16 osób.
Pan Marek zªo»yª w banku 2400 zª na trzymiesi¦czn¡ lokat¦ o staªym oprocentowaniu.
Odsetki po trzech miesi¡cach wyniosªy 19,20 zª. Jakie byªo oprocentowanie tej lokaty w skali roku?
Zadanie 3.
Po roku odsetki wyniosªyby 4 · 19, 20 = 76, 80 (zª), zatem oprocentowanie lokaty w
skali roku jest równe:
Rozwi¡zanie.
76, 80
· 100% = 3, 2%
2400
Odpowied¹.
Oprocentowanie lokaty w skali roku jest równe 3,2%.
Oprocentowanie trzymiesi¦cznej lokaty spadªo z poziomu 8% do poziomu 6%. O ile
procent spadªo oprocentowanie tej lokaty? O ile punktów procentowych spadªo?
Zadanie 4.
Rozwi¡zanie.
8% − 6% = 2%, zatem oprocentowanie spadªo o 2 punkty procentowe.
25%, zatem oprocentowanie spadªo o 25%.
Odpowied¹.
2
8
· 100% =
Oprocentowanie lokaty spadªo o 25%, czyli o 2 punkty procentowe.
Ze 100 kg mleka o zawarto±ci 3,8% tªuszczu odci¡gni¦to 10 kg ±mietanki zawieraj¡cej 20% tªuszczu. Ile procent tªuszczu zawiera odtªuszczone mleko?
Zadanie 5.
3,8
· 100 kg = 3, 8 kg tªuszczu. Po odMleko przed odtªuszczeniem zawieraªo 100
ci¡gni¦ciu ±mietanki ubyªo 20% z 10 kg, czyli 2 kg tªuszczu. Zatem obecnie odtªuszczone mleko
zawiera 1,8 kg tªuszczu. Ponadto masa odtªuszczonego mleka jest równa 90 kg (odj¦li±my 10 kg
±mietanki od 100 kg mleka). Zatem odtªuszczone mleko zawiera
Rozwi¡zanie.
1, 8
· 100% = 2%
90
tªuszczu.
Odpowied¹.
Odtªuszczone mleko zawiera 2% tªuszczu.
Janek hoduje rybki akwariowe. Rok temu rybki »yworodne stanowiªy 20% liczby
wszystkich rybek w akwarium Janka. Obecnie liczba rybek »yworodnych jest o 50% wi¦ksza, a
liczba rybek jajorodnych zwi¦kszyªa si¦ o 18,75%. Jaki procent wszystkich rybek stanowi¡ obecnie
rybki »yworodne?
Zadanie 6.
Oznaczmy przez x liczb¦ wszystkich rybek w akwarium rok temu. Wtedy liczba rybek »yworodnych wynosiªa 0, 2x, a wi¦c liczba rybek jajorodnych wynosiªa x − 0, 2x = 0, 8x. Teraz
liczba rybek »yworodnych jest równa (100% + 50%) · 0, 2x = 1, 5 · 0, 2x = 0, 3x, natomiast liczba
rybek jajorodnych wynosi teraz 118, 75% · 0, 8x = 1, 1875 · 0, 8x = 0, 95x. Zatem liczba wszystkich
0,3x
· 100% = 24%
rybek jest równa obecnie 0, 3x + 0, 95x = 1, 25x, czyli rybki »yworodne stanowi¡ 1,25x
liczby wszystkich rybek.
Rozwi¡zanie.
Odpowied¹.
2.7
Obecnie rybki »yworodne stanowi¡ 24% wszystkich rybek.
Zadania do rozwi¡zania
Mam nadziej¦, »e powy»sze przykªady pozwoliªy Ci zrozumie¢ poj¦cie procentu. W celu utrwalenia zdobytej wiedzy rozwi¡» poni»sze zadania.
1. Oblicz
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
24% liczby 120;
0,8% liczby 2,5;
250% liczby 8;
jakim procentem liczby 400 jest liczba 76;
jakim procentem liczby 35 jest liczba 1050;
jakim procentem liczby 16 jest liczba 0,01;
o ile procent liczba 50 jest wi¦ksza od liczby 40;
o ile procent liczba 40 jest mniejsza od liczby 50;
liczb¦, której 24% jest równe 17,28;
liczb¦, której 150% jest równe 90.
2. W sonda»u z grudnia 2009 poparcie spoªeczne dla Donalda Kaczy«skiego wynosiªo 40%.
Sonda» ze stycznia 2010 wykazaª, »e poparcie to zmalaªo o 5 punktów procentowych. Ile
wynosiªo poparcie dla Donalda Kaczy«skiego w styczniu 2010 i o ile procent zmalaªo w
stosunku do grudnia 2009?
3. Pogªowie wielbª¡dów na ±wiecie wynosi 19,4 mln sztuk, z czego 6,1 mln to wielbª¡dy »yj¡ce
w Somalii. Jaki procent ±wiatowego pogªowia wielbª¡dów »yje w Somalii? Wynik zaokr¡glij
do dziesi¡tej cz¦±ci procentu.
4. Pan Kowalski wpªaciª 5000 zª na póªroczn¡ lokat¦ o rocznym oprocentowaniu 4,4%. Wiedz¡c,
»e banki potr¡caj¡ 19-procentowy podatek od odsetek, oblicz, o jak¡ kwot¦ powi¦kszyª si¦
stan konta pana Kowalskiego po 6 miesi¡cach od momentu zaªo»enia lokaty.
5. W 210 kg nasion zanieczyszczenia stanowi¡ 8%. Ile kg zanieczyszcze« nale»y usun¡¢, aby
nasiona zawieraªy 3,4% zanieczyszcze«?
6. Ewa w w dniu imienin dostaªa od kole»anek dwie czekolady o ró»nych masach. Jeszcze tego
samego dnia zjadªa caª¡ mniejsz¡ czekolad¦. Nast¦pnego dnia zjadªa 40% wi¦kszej czekolady
i zauwa»yªa, »e zjadªa o 20% wi¦cej czekolady ni» dnia poprzedniego. Wyznacz stosunek mas
czekolad.
7. Litr benzyny przed zmianami cen kosztowaª 4,20 zª. Po pierwszej zmianie cen podro»aª o
20%, za± po drugiej zmianie jego cena zmalaªa o 20%. Ile kosztowaª litr benzyny po drugiej
zmianie cen? Czy jego cena zmieniªa si¦ w porównaniu z cen¡ przed zmianami? Je±li tak, to
o ile procent?
Po tej lekcji powiniene± umie¢:
• posªugiwa¢ si¦ poj¦ciem procentu w rozwi¡zywaniu zada«;
• rozumie¢ poj¦cie punktu procentowego i odró»nia¢ je od poj¦cia procentu.
Je±li masz jeszcze jakie± trudno±ci, po¢wicz wi¦cej lub zapisz si¦ na kurs. Szczegóªy znajdziesz na
stronie http://torus.edu.pl.
W razie jakichkolwiek pyta« lub w¡tpliwo±ci dotycz¡cych przerabianego materiaªu wy±lij maila
na adres [email protected] lub zadzwo« pod numer 698 991 340. Zawsze mo»esz liczy¢ na nasz¡
pomoc.
Nast¦pna lekcja: Pot¦gi.
Odpowiedzi do zada«:
1. (a) 28,8; (b) 0,02; (c) 20; (d) 19%; (e) 3000%; (f) 0,0625% (g) 25%; (h) 20%; (i) 72; (j) 60.
2. 35%; 12,5%.
3. 31,4%.
4. 89,10 zª.
5. 10 kg.
6. 1:3.
7. 4,032 zª; cena zmniejszyªa si¦ o 4%.
Regulamin
1. Wªa±cicielem wszelkich praw autorskich jest Akademia Matematyki TORUS, prowadzona
przez rm¦ LEMONET ukasz Kidzi«ski, zarejestrowan¡ w Brwinowie przy ul. K¦pi«skiej
14a 05-840 Brwinów, zwan¡ dalej TORUS.
2. TORUS zobowi¡zuje si¦ dystrybuowa¢ niniejsz¡ publikacj¦, zwan¡ dalej Kursem. Kurs rozpowszechniany jest w±ród osób zapisanych do mailingu poprzez stron¦ http://torus.edu.pl/ zwanych
dalej U»ytkownikami.
3. Jedynym ±rodkiem dystrybucji Kursu jest mailing na stronie internetowej http://torus.edu.pl/.
4. Kurs rozpowszechniany jest na bezpªatnej licencji, która pozwala na nieograniczone korzystanie z kursu wyª¡cznie przez U»ytkowników.
5. Kurs mo»e by¢ kopiowany i rozpowszechniany wyª¡cznie przez TORUS. Rozpowszechnianie
kursu bez wiedzy lub zgody wªa±ciciela podlega karze grzywny zgodnie z Kodeksem Cywilnym.
6. TORUS zastrzega sobie prawo do wprowadzenia zmian w regulaminie.
7. TORUS nie gwarantuje przesªania kopii kursu w przypadku powstaªej awarii pliku Kursu
lub utracenia go w inny sposób przez U»ytkownika.
8. TORUS doªo»yª wszelkich stara«, by Kurs byª wolny od wirusów, ale nie odpowiada za
wszelkie szkody wynikªe podczas jego u»ytkowania.

2 Procenty

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zadania domowe z Algebry liniowej II. Seria 1, kwiecie« 2016

Mathematica część 1

KAMA Kowalski 87-630 Skępe, Rumunki Skępskie 28A tel: 54 287

ROZWIĄZANIE UMOWY O PRACĘ BEZ WYPOWIEDZENIA

Rozwiązanie umowy na wywóz odpadów

3 Potęgi i pierwiastki