Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Wydział Matematyki i Informatyki
http://www.mat.umk.pl/rkm/
Lista rozwiązań zadań nr 11 (4-9.01.2010)
Twierdzenie Eulera
1. Wyliczyć ϕ(m) dla m ∈ {1, 2, 3, . . . , 13}.
Rozwiązanie. Dla dodatniej liczby całkowitej m oznaczmy przez Um zbiór liczb całkowitych dodatnich nie większych niż m i względnie pierwszych z liczbą m. Mamy
następującą tabelę zawierającą odpowiedź na pytanie postawione w zadaniu:
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Um
ϕ(m)
1
1
1
1
1, 2
2
1, 3
2
1, 2, 3, 4
4
1, 5
2
1, 2, 3, 4, 5, 6
6
1, 3, 5, 7
4
1, 2, 4, 5, 7, 8
6
1, 3, 7, 9
4
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
10
1, 5, 7, 11
4
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
12
2. Uzasadnić, że jeśli p jest liczbą pierwszą, to:
a. ϕ(p) = p − 1,
b. ϕ(pk ) = pk − pk−1 dla dowolnej liczby całkowitej k > 0.
Rozwiązanie. (a) Wystarczy zauważyć, że wszystkich dodatnie liczby całkowite mniejsze od p są względnie pierwsze z p, a więc
Up = {1, 2, . . . , p − 1}.
1
(b) Niech l będzie liczbą całkowitą. Wiadomo, że liczby l i pk nie są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy p | l. Stąd
Upk = {1, 2, . . . , pk } \ {l ∈ {1, 2, . . . , pk } : p | l}.
Oczywiście |{1, 2, . . . , pk }| = pk . Ponadto wiadomo, że jeśli m i n są dodatnimi liczbami całkowitymi, to
m
{l ∈ {1, 2, . . . , m} : n | l} =
,
n
a więc
|{l ∈ {1, 2, . . . , pk } : p | l}| = pk−1 ,
co kończy dowód.
3. Wykazać, że jeśli liczby całkowite dodatnie m i n są względnie pierwsze, to
ϕ(m · n) = ϕ(m) · ϕ(n).
Rozwiązanie. Teza jest oczywista jeśli m = 1 lub n = 1, możemy więc założyć, że
m > 1 i n > 1. Niech Um × Un będzie zbiorem par (k, l), gdzie k ∈ Um i l ∈ Un .
Rozważmy funkcję F : Um·n → Um × Un , która liczbie r ∈ Um·n przyporządkowuje
parę składającą z reszt z dzielenia liczby r przez m i n. Łatwo sprawdzić, że funkcja F
jest poprawnie określona, tzn. jeśli liczba r jest względnie pierwsza z m · n, to reszty
z dzielenia liczby r przez m i n są względnie pierwsze z m i n, odpowiednio. Ponadto,
funkcja F ma dwie następujące własności, które gwarantują, że |Um·n | = |Um | · |Un |,
a więc kończą dowód:
1. jeśli F (r) = F (r ′) dla r, r ′ ∈ Um·n , to r = r’,
2. jeśli (k, l) ∈ Um × Un , to istnieje liczba r ∈ Um·n taka, że F (r) = (k, l).
Dla dowodu punktu (1) załóżmy, że F (r) = F (r ′ ) dla r, r ′ ∈ Um·n . Z definicji funkcji F
wynika, że m | r − r ′ oraz n | r − r ′ . Ponieważ liczb m i n są względnie pierwsze, więc
otrzymujemy stąd, że m·n | r−r ′ . Wykorzystując teraz założenie r, r ′ ∈ {1, 2, . . . , m·n}
otrzymujemy, że r = r ′ .
Przypuśćmy teraz, że (k, l) ∈ Um × Un . Ponieważ liczby m i n są względnie pierwsze,
więc istnieją liczby całkowite u i v takie, że 1 = u · m + v · n. Jeśli teraz r jest resztą z
dzielenia liczby
l·u·m+k·v·n
przez m · n, to łatwo sprawdzić, że r ∈ Um·n i F (r) = (k, l).
Jako przykład zastosowania powyższych własności funkcji Eulera można udowodnić
następujący fakt.
Jeśli m > 2, to 2 | ϕ(m).
Rozwiązanie. Przypuśćmy najpierw, że istnieje liczba pierwsza p > 2 taka, że p | m.
Wtedy m = pk · n dla pewnych liczb naturalnych k, n > 0, przy czym p ∤ n. W
szczególności liczby pk i n są względnie pierwsze, więc
ϕ(m) = ϕ(pk ) · ϕ(n) = (pk − pk−1 ) · ϕ(n).
2
Ponieważ liczba p jest nieparzysta, więc 2 | pk − pk−1 , co kończy dowód w tym
przypadku.
Pozostaje do rozważenia przypadek, gdy m = 2k dla pewnej liczb naturalnej k. Ponieważ m > 2, więc k > 1. Stąd
ϕ(m) = ϕ(2k ) = 2k − 2k−1 = 2k−1
jest liczbą parzystą, gdyż k − 1 > 0.
4. Twierdzenie Eulera. Jeśli liczby całkowite a i m są względnie pierwsze, przy czym
m > 0, to
aϕ(m) ≡ 1 (mod m).
Rozwiązanie. Bez straty ogólności możemy założyć, że m > 1. Rozważmy funkcję
F : Um → Um daną wzorem:
F (k) := reszta z dzielenia liczby a · k przez m.
Ponieważ liczby a i m są względnie pierwsze, więc funkcja ta jest poprawnie określona. Zauważmy, że funkcja F jest różnowartościowa, tzn. jeśli F (k) = F (l) dla
k, l ∈ Um , to k = l. W efekcie mamy
Y
k=
k∈Um
Y
k∈Um
F (k) ≡
Y
ak = aϕ(m) ·
k∈Um
Y
k
(mod m).
k∈Um
Ponieważ liczby k∈Um k i m są względnie pierwsze, więc powyższa kongruencja
implikuje tezę twierdzenia Eulera.
Q
5. Znaleźć dwie ostatnie cyfry liczb 32010 i 22010 .
Rozwiązanie. Wykorzystując wcześniejsze zadania łatwo policzyć, że
ϕ(100) = ϕ(4 · 25) = ϕ(4) · ϕ(25) = 2 · 20 = 40,
zatem z twierdzenia Eulera wynika, że 340 ≡ 1 (mod 100). Stąd
32010 = (340 )50 · 310 ≡ 310
(mod 100).
Bezpośrednim rachunkiem sprawdzamy, że 310 ≡ 49 (mod 100), zatem ostatnie dwie
cyfry liczb 32010 to 49.
Zauważmy, że ϕ(25) = 20, zatem 220 ≡ 1 (mod 25). Podobnie jak powyżej prowadzi to
do wniosku, że 22010 ≡ 210 (mod 25). Oczywiście 22010 ≡ 210 (mod 4). Ponieważ liczby
4 i 25 są względnie pierwsze, więc powyższe kongruencje prowadzą do wniosku,
że 22010 ≡ 210 (mod 100). Bezpośredni rachunek pozwala sprawdzić, że 210 ≡ 24
(mod 100), zatem dwie ostatnie cyfry liczby 22010 to 24.
6. Wykazać, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 2, to suma
1p + 2p + · · · + (p − 1)p
jest podzielna przez p.
3
Rozwiązanie. Zauważmy, że z twierdzenia Eulera wynika, że ap−1 ≡ 1 (mod p), a
więc ap ≡ a (mod p), dla każdej liczby a ∈ {1, 2, . . . , p − 1}. Stąd
1p + 2p + · · · + (p − 1)p ≡ 1 + 2 + . . . + (p − 1) (mod p).
Ponieważ
p−1
p(p − 1)
=p·
,
2
2
jest całkowita, gdyż liczba p jest nieparzysta, to kończy dowód.
1 + 2 + . . . + (p − 1) =
przy czym liczba
p−1
2
4