Æwiczenia
Transkrypt
Æwiczenia
Infinitistic methods in mathematics (Ćw) Lista 1 1. Zbiór potęgowy ℘(X) dowolnego zbioru X tworzy algebraiczny zbiór częściowo uporządkowany z inkluzją jako porządkiem. Wykazać, Ŝe zbiór K(℘(X)) elementów zwartych w (℘(X), ⊆) pokrywa się z rodziną skończonych podzbiorów zbioru X. 2. Niech a = {an} będzie dowolnym ciągiem liczbowym. Niech P0 będzie zbiorem skończonych ciągów utworzonych z {an} przez skreślenie wszystkich wyrazów począwszy od pewnego miejsca. Zatem P0 := {(a1, …, an ) : n = 1, 2, …}. Definiujemy relację ≤ w zbiorze P0. Dla p, q ∈ P0 przyjmujemy: p ≤ 0 q ⇔df p jest początkowym odcinkiem ciągu q. Sprawdzić, Ŝe ≤ 0 jest porządkiem liniowym, w którym ciąg 0 := (a1) długości 1 jest elementem najmniejszym. Dla p = (a1, …, an ) ∈ P0 definiujemy F0 (p) jako przedział domknięty [a, b], gdzie a := inf {am : m ≥ n}, b := sup {am : m ≥ n}. Uwaga. MoŜe się zdarzyć, Ŝe przedział [a, b], redukuje się do punktu. Sprawdzić, Ŝe p ≤ 0 q ⇒ F0 (p) ⊇ F0 (q) dla dowolnych p, q ∈ P0. Niech P := P0 ∪ {a }. Niech ≤ będzie porządkiem na P otrzymanym z ≤ 0 przez załoŜenie, Ŝe ciąg a jest elementem największym. Wykazać, Ŝe P = (P, ≤) jest uzupełnieniem algebraicznym porządku P0 = (P0, ≤ 0). Niech Q będzie zbiorem wszystkich zwartych podzbiorów prostej uporządkowanych przez inkluzję odwrotną ⊆d := ⊇. (Zatem X ⊆d Y ⇔ X ⊇ Y.) Elementem największym w Q jest zbiór pusty. Odwzorowanie monotoniczne F0 : P0 → (Q, ⊆d ) rozszerza się do odwzorowania porządkowo ciągłego F : P → (Q, ⊆d ). Sprawdzić, Ŝe F (a) = [liminf an, limsup an]. Ciąg a jest zbieŜny wtedy i tylko wtedy, gdy przedział F(a) redukuje się do punktu. 1 Infinitistic methods in mathematics (Ćw) Lista 2 1. Wykazać na odpowiednim przykładzie, Ŝe przekrój ideałów porządkowych nie musi być ideałem. 2. Niech f : (P 0 , ≤) ≅ (Q 0 , ≤) będzie izomorfizmem porządkowym pomiędzy zbiorami częściowo uporządkowanymi, tj. f : P 0 → Q 0 jest odwzorowaniem róŜnowartościowym typu „na” takim, Ŝe dla dowolnych a, b ∈ P 0, a ≤ b ⇔ f (a) ≤ f(b). Wykazać, Ŝe odwzorowanie f * zdefiniowane wzorem: f * (J ) := f – 1 (J), dla dowolnego J ∈ Id (Q 0 ), jest izomorfizmem porządkowym pomiędzy zbiorami częściowo uporządkowanymi (Id (Q 0), ⊆) oraz (Id (P 0), ⊆), symbolicznie, f * : (Id (Q 0 ), ⊆) ≅ (Id (P 0 ), ⊆). (Uwaga. f – 1(J) jest przeciwobrazem ideału J przez f, tj. f – 1(J) := {a ∈ P 0 : f (a) ∈ J}.) 3. Niech (P 0, ≤) będzie porządkiem z zerem 0. Sprawdzić, Ŝe {0} jest najmniejszym niepustym ideałem w (P 0 , ≤). 4. Niech (P 0, ≤) będzie porządkiem. Dla a ∈ P 0 definiujemy: ↓a := {x ∈ P 0 : x ≤ a}. Wykazać, Ŝe ↓a jest ideałem. Ponadto, dla kaŜdego ideału I w (P 0 , ≤) zachodzi równość I = ∪a ∈ I ↓a. 5. Niech f : (P 0, ≤) ≅ (Q 0, ≤) będzie izomorfizmem porządkowym pomiędzy algebraicznymi zbiorami częściowo uporządkowanymi. (a) Wykazać, Ŝe dla dowolnego a ∈ P 0 zachodzi równowaŜność: a ∈ K(P 0) ⇔ f (a) ∈ K(Q 0). (K(P 0) jest zbiorem wszystkich elementów zwartych w (P0, ≤).) (b) Wywnioskować, Ŝe f jest teŜ izomorfizmem między porządkami (K(P 0), ≤) oraz (K(Q 0), ≤). 6. Niech (P 0, ≤) oraz (Q 0, ≤) będą zbiorami częściowo uporządkowanymi. Odwzorowanie F0 : P 0 → Q 0 jest monotoniczne, gdy dla dowolnych a, b ∈ P0, a ≤ b implikuje F0 (a) ≤ F0 (b). Wykazać, Ŝe jeŜeli F0 jest monotoniczne oraz D jest niepustym skierowanym (liniowym) podzbiorem w (P 0, ≤), to obraz F0(D) := {F0 (d) : d ∈ D} jest zbiorem skierowanym (odpowiednio – liniowym) w (Q 0, ≤). 2 Infinitistic methods in mathematics (Ćw) Lista 3 1. Niech α będzie liczbą porządkową z inkluzją jako (dobrym) porządkiem. Wykazać, Ŝe: (a) JeŜeli α jest następnikowa, tzn. α = β ∪ {β} dla pewnej liczby porządkowej β, to algebraiczne uzupełnienie (α, ⊆) jest izomorficzne z (α, ⊆). (b) JeŜeli α jest niezerową liczba graniczną, to algebraiczne uzupełnienie (α, ⊆) jest izomorficzne z następnikiem (α ∪ {α}, ⊆). 2. Niech (Id (Q), ⊆) będzie zbiorem wszystkich niepustych ideałów zbioru liczb wymiernych (Q, ≤) ze zwykłym porządkiem. Wykazać, Ŝe podzbiór niepusty I ⊆ Q jest ideałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest skierowany w dół, tj., dla dowolnych liczb a, b ∈ Q, a ∈ I oraz b ≤ a implikuje, Ŝe b ∈ I. Wykazać, Ŝe ideałami zwartymi w (Id (Q), ⊆) są zbiory postaci ↓q := {x ∈ Q : x ≤ q}, gdzie q ∈ Q. Ideały właściwe w (Q, ≤) nie będące postaci ↓q, q ∈ Q, nazywamy przekrojami. Przekrojem jest np. kaŜdy ideał postaci Iq := {x ∈ Q : x < q}, q ∈ Q. Podać przykład przekroju, nie będącego postaci Iq := {x ∈ Q : x < q} dla Ŝadnego q ∈ Q. 3. Niech (Id (R), ⊆) będzie zbiorem wszystkich niepustych ideałów prostej (R, ≤) ze zwykłym porządkiem. Wykazać, Ŝe ideałami zwartymi w (Id (R), ⊆) są domknięte półproste postaci ↓r := {x ∈ R : x ≤ r}, gdzie r ∈ R. Wykazać, Ŝe jeŜeli ideał właściwy I nie jest zwarty, to jest on postaci Ir := {x ∈ R : x < r} dla pewnej liczby r ∈ R. 4. Dla dowolnych zbiorów A, B ⊆ R definiujemy: A ⊕ B := { a + b : a ∈ A ∧ b ∈ B }. Wykazać, Ŝe operacja ⊕ jest przemienna i łączna. Wykazać ponadto, Ŝe jeŜeli A i B są zbiorami domkniętymi i jeden z nich jest zwarty, to zbiór A ⊕ B jest teŜ domknięty. Udowodnić, Ŝe dla dowolnych przedziałów domkniętych [a, b ] oraz [c, d ] : [a, b ] ⊕ [c, d ] ⊆ [a + c, b + d ] . 3 Infinitistic methods in mathematics (Ćw) Lista 4 1. Niech I × I będzie kwadratem jednostkowym na płaszczyźnie, gdzie I := {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}. Niech Z będzie zbiorem wszystkich punktów (x, y) w I × I o współrzędnych wymiernych x oraz y.. Wykazać, Ŝe zbiór X nie jest mierzalny w sensie Jordana. 2. ≤d is the divisibility relation on N := {1, 2, 3, …}, i.e., for any a, b ∈ N, a ≤d b if and only if b is divisible by a. lcm(a, b) and gcd(a, b) stand for the least common multiple and the greatest common divisor of numbers a, b, respectively. Show that ≤d is an order in N with 0 := 1 as the least element. The poset N := (N, ≤d, 0) is a lattice in which, for any a, b, c, d ∈ N, sup{a, b} = lcm(a, b) and inf {a, b} = gcd(a, b) and a ≤d b and c ≤d d imply a ⋅ c ≤d b ⋅ d. P , the set of prime numbers, is the set of atoms and the order ≤d is well-founded. (A poset (A, ≤ ) is well-founded if every non-empty subset X ⊆ A contains a minimal element.) 3. Show that the set {2n : n ∈ N }is an example of a proper and non-compact ideal in N := (N, ≤d, 0). 4. For any a ∈ N define a ∞ to be the order ideal of N generated by {an : n ≥ 0}. Thus a ∞ = {x ∈ N : x ≤d an for some n ≥ 1}. Show that for any prime p, p ∞ = {pn : n ≥ 0}. Prove that a ∞ is not compact and ↓a := {x ∈ N : x ≤d a} is a proper subset of a ∞ for all a ≥ 2. (According to the adopted convention, the ideal ↓a is identified with the number a, for all a ∈ N. We may therefore say that the element a ∞ is the limit of the numbers a, a2, a3,… at infinity in the sense that ↓a ⊂ ↓a2 ⊂ ↓a3 ⊂ …for a ≥ 2, and a ∞ is the union of the above chain.) 5. For a number a ∈ N, we let P(a) be the (finite) set of primes occurring in the prime number factorization of a. Thus P(6) = {2, 3}, P(25) = {5}. If X is a non-empty set of prime numbers, then N(X) is the set of all numbers x ∈ N such that P(x) ⊆ X. Prove that for all a ∈ N, a ∞ = N(P(a)). 4